精品解析：2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题(四)

2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（四） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2024年底，联合国教科文组织将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．下列有关春节的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据交通运输部统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量达到90.2亿人次，创历史新纪录．将数据90.2亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 开封的传统民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术功力项目，产生于唐宋时期，2011年6月入选第三批国家级非物质文化遗产名录．如图，这是一个常见石锁，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角板，依次画出了直线．如果，则的度数为（ ） A. 115° B. 65° C. 35° D. 30° 7. 如图，已知在平行四边形中，平分，交于点，连接，以点为中心，把顺时针旋转一定角度，得到，此时点与点恰好重合．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为___． 10. 如图，两个同心圆的圆心为，大圆的弦切小圆于，小圆的半径为1，弦的长为2，则大圆的半径为___________；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为___________． 11. 中国力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．内蒙古自治区风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是某校数学兴趣小组开展了实践活动，利用无人机测量风电塔筒的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得风电塔筒顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得风电塔筒底端的俯角为，则风电塔筒的高度约为___________．（结果精确到1m，参考数据：，） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点和点是反比例函数图象上的两点，以为边作等边，反比例函数恰好过点，则的值为___________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 包头市某校2025年开展了经典诵读活动．为了解八年级学生对古诗词知识掌握的情况，随机抽取该校20名八年级学生进行了测试．测试后，学校将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，收集整理的数据制成了下列统计图表：（测试满分为10分） 平均数 中位数 众数 甲组 9 9 乙组 8.3 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：_______，_______，_______； （2）该校八年级共有480名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组得满分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 15. 内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨） A 甲 20 25 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 16. 如图，为圆的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，连接，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，连接，求的值． 17. 如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 18. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（四） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2024年底，联合国教科文组织将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．下列有关春节的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式的计算进行判定即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3. 据交通运输部统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量达到90.2亿人次，创历史新纪录．将数据90.2亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：90.2亿， 故选：C． 4. 开封的传统民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术功力项目，产生于唐宋时期，2011年6月入选第三批国家级非物质文化遗产名录．如图，这是一个常见石锁，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，整体是一个长方形，中间有3个横着放置的长方形，左右两侧是竖着放置的长方形，且中间的棱都能看见，应为实线， 故选：C． 5. 现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率以及三角形的三边关系，找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可用概率公式求解． 【详解】解：从长度分别为3，6，9，11的四条线段中任选三条有如下四种情况： 3，6，9；3，6，11；3，9，11；6，9，11， 能组成三角形的有3，9，11和6，9，11这两组， ∴能组成三角形的概率是， 故选：B． 6. 如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角板，依次画出了直线．如果，则的度数为（ ） A. 115° B. 65° C. 35° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先证明，得到，再根据三角形的外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：（同位角相等，两直线平行），由题意，得：， ∴， ∴； 故选：C． 7. 如图，已知在平行四边形中，平分，交于点，连接，以点为中心，把顺时针旋转一定角度，得到，此时点与点恰好重合．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质得到，根据旋转的性质，三角形内角和定理得到，，根据周角的度数计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵以点为中心，把顺时针旋转一定角度，得到，此时点与点恰好重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C ． 8. 如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质及函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数在坐标系中的平移与变换后的二次函数图象的位置关系． 先找到一次函数与新图象有三个交点的和，再求出此时m的取值，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得， 令，则， 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，如图所示： ①当直线位于时，此时l1过点， ∴，即； ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴方程， 即有两个相等实根， ∴， 即 由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为． 故选C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为___． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 10. 如图，两个同心圆的圆心为，大圆的弦切小圆于，小圆的半径为1，弦的长为2，则大圆的半径为___________；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理以及逆定理，弧长公式，圆锥的底面积问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质以及垂径定理得到，再由勾股定理求出大圆半径即可，然后由勾股定理逆定理证明，则阴影部分扇形圆心角即可确定，再由圆锥底面圆的面积为扇形弧长建立方程求解． 【详解】解：连接， ∵大圆的弦切小圆于， ∴， ∴， ∵小圆的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分扇形的圆心角为， 设圆锥的底面半径为，则， 解得：， 故答案为：；． 11. 中国力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．内蒙古自治区风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是某校数学兴趣小组开展了实践活动，利用无人机测量风电塔筒的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得风电塔筒顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得风电塔筒底端的俯角为，则风电塔筒的高度约为___________．（结果精确到1m，参考数据：，） 【答案】109 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点E，在中，根据，得出为等腰直角三角形，说明，在中根据，，进而求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点E，则，． 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 在中，，， ， ， 故答案为：109． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点和点是反比例函数图象上的两点，以为边作等边，反比例函数恰好过点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，由是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设，则， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键． （1）先逐项化简，再算加减； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 14. 包头市某校2025年开展了经典诵读活动．为了解八年级学生对古诗词知识掌握的情况，随机抽取该校20名八年级学生进行了测试．测试后，学校将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，收集整理的数据制成了下列统计图表：（测试满分为10分） 平均数 中位数 众数 甲组 9 9 乙组 8.3 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：_______，_______，_______； （2）该校八年级共有480名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组得满分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1），，； （2）估计竞赛成绩达到分及以上的人数约为216人； （3）． 【解析】 【分析】从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有2人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； 用样本估计总体即可. 运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有2人，得分的有6人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； 【小问2详解】 解：共抽测了人，得分及以上的有9人，点总人数的， 八年级人，成绩达到分及以上的有人； 【小问3详解】 解：甲组得分的有人，乙组得分的有人， 列表如下， 从表中可以看出任意抽取名同学的情况共有种，恰好一人来自甲组、一人来自乙组的有种情况， 抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 15. 内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨） A 甲 20 25 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 【答案】（1）甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨 （2）；甲厂200吨全部运往地，乙厂运往地240吨，运往地60吨 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组求解． （1）设这批物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设甲厂生产这批物资吨，乙厂生产这批物资吨， 由题意，得， 解得，， 所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨； 【小问2详解】 解：∵ ， ∵， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时运费最小． 所以总运费最少的方案是：甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨． 16. 如图，为圆的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，连接，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证，从而利用平行线的性质可得，即可解答； （2）由圆周角定理得到，利用互余关系得到，则，那么，代入数据可得，再对由勾股定理建立方程求出，最后由正切的定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故（舍） ∴的值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17. 如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ∴． （2）①证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， ∴平分； ② 【解析】 【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，则，然后证，则，由即可得出结论； （2）①连接，先证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论； ②先证，得，进而证，得，则，然后求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 即， 两边除以得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 18. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）点P坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴，交于点，过点作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点， 抛物线与轴交于、两点， 时，， 解得，， ， ，， 在中，， ， 则， ， ， ， 轴，轴， ，， ， 又， ， ， 设点坐标为，则，， ， 解得（舍去）或， 点坐标为； 【小问3详解】 解：如图2，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $