精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第二学区2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2025年初中学业水平考试数学测试卷（六） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在世界数学史上，中国古代数学著作《九章算术》首次正式引入负数．如果盈利80元记作元，那么元表示（　　） A. 亏损25元 B. 亏损55元 C. 盈利25元 D. 盈利55元 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：如果盈利80元记作元，那么元表示亏损55元， 故选：B． 2. 2024年8月20日正式发售的游戏《黑神话：悟空》，五天销量达到1200万，则“1200万”用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：1200万用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，去括号的计算判定即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 4. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 5. 某热门旅游景点酒店外观的三视图如图所示，那么这个酒店外观的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 【详解】解：观察图形可知，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 故选：C． 6. 湖南革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵湖南革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形， ∴． ∴这个八边形的内角和是． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 7. 某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数（单位：环）与方差如右表所示．根据表中数据，这四人中成绩好且发挥稳定的是（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平均数和方差的意义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较成绩的稳定程度即可． 【详解】解：甲、丙、丁射击成绩的平均成绩相同， ∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差， ∴丁的成绩比较稳定， ∴成绩好且发挥稳定的运动员是丁， 故选：D． 8. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用．过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ， ∵， ， ， 解得：． 故选：A． 9. 我省某旅游景点的旅客人数逐年增加．据旅游部门统计，2022年“五一”共接待游客约3500万人次，2024年“五一”共接待游客约3800万人次．设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设游客人数年平均增长率为，则2023年接待游客约万人次，则2024年待游客约万人次，据此列出方程即可. 【详解】解：设游客人数年平均增长率为， 由题意得，， 故选：B. 10. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，第个单项式的系数为序号的平方减1，次数为序号减1，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第5个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故选：A． 11. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，由此问题可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 12. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等．利用格点和勾股定理求出各边长，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求出的值即可． 【详解】解：连接， ，，， ， 是直角三角形，， ， 故选：D． 13. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，先由垂径定理和三角形内角和定理得到，，再由圆周角定理可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14. 分解因式：（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 15. 在艺术课上，王老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为，将帽子展开得到的扇形的圆心角，则制作这种帽子需要的材料面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积．根据题意得：扇形弧长是：，设扇形的半径是，根据弧长公式求出，再根据扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：扇形弧长是：， 设扇形的半径是，则 ， 解得：， ∴制作这种帽子需要的材料面积为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如果关于的方程（k为常数）有两个相等的实数根，那么 _______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值． 【详解】解: , 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把，代入反比例函数，求出m、n的值即可． 【详解】∵点，都在反比例函数的图象上 ∴，解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，把坐标代入解析式是解题的关键． 18. 如图，与交于点，且．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．证明，根据相似三角形的性质得出相似比为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 即， 故答案为：． 19. 某学校优化作业管理，探索减负增效新举措，就学生做作业的时间进行问卷调查，将收集到的信息统计分成四个层级，其中分钟以上，分钟，分钟，分钟以下，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据上述信息解答下列问题：全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有___________人． 【答案】225 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，用样本中C等级的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，再用1500乘以样本中，A等级的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴一共调查了40人， 人， ∴估计“A”层级的学生约有225人， 故答案为：225． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幂以及零指数幂等知识．先求解算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数幂，再进行有理数的运算，即可作答． 【详解】解： ． 21. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 【答案】 解：∵， ∴， 即：， ∵ ∴ 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 平行线的性质，由线段的和差关系可得出，由平行线的性质可得出，即可得出． 【详解】略 22. 某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔．已知毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1 500元，购买毛笔用了1 800元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支．求钢笔的单价． 【答案】10元． 【解析】 【分析】设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为1.5x元/支，根据数量=总价÷单价结合购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】设钢笔的单价是x元，则毛笔的单价为1.5x元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：钢笔的单价是10元/支． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23. 动力电池契合碳中和的理念，常常应用于电动汽车、电动船、电动列车、电动自行车等交通工具．为拓宽学生科技视野，某校开展科普知识进校园活动．九年级（1）班选出小致为全校同学介绍应用动力电池的两种交通工具（图片除编号和内容外，其余完全相同）．将这四张图片背面朝上，洗匀放好，小致先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出小致两次随机抽取的所有可能出现的结果； （2）求小致抽到的两张图片的编号恰好是和的概率． 【答案】（1）画树状图如下： 由树状图可知，有，，，共12种等可能性的结果数； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画树状图即可 （2）由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小致抽到的两张图片编号恰好是A和D的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）可得共有12种等可能的结果，其中小致抽到的两张图片编号恰好是A和D的结果有2种、， ∴他抽到的两张图片编号恰好是A和D的概率为． 24. 如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，四边形是菱形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，矩形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点，，，分别是各边的中点， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质和三角形的中位线定理，得到，证明四边形为平行四边形，再根据对角线相等的四边形是矩形即可得证； （2）设，，得到，，根据，利用完全平方公式变形求得的长，利用三角形的中位线定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， ∵，矩形的面积为， ∴，， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定，菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25. 为实现乡村振兴目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了A，B两种新型农产品，并投入市场试销了3天，第一天销售产品100件，产品80件，销售额为4600元；第二天销售产品120件，产品100件，销售额为5600元． （1）求试销期间A，B两种产品的单价； （2）三天后开始网上试销，网上每天销售A，B两种型号的产品共200件，且每天销售B产品的数量不少于产品的数量的一半，产品价格保持市场销售价格不变．已知产品每件成本12元，产品每件成本8元，问两种型号产品各销售多少件时，可以使销售利润最大？ 【答案】（1）试销期间A产品的单价为30元，B产品的单价为20元； （2）销售A产品133件、B产品67件时，销售利润最大． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，正确找出题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设试销期间A，B两种产品的单价分别为m元、n元．根据“第一天销售A产品100件，B产品80件，销售额为4600元；第二天销售A产品120件，B产品100件，销售额为5600元．”列方程组求解即可； （2）设销售A产品x件；则销售B产品件，销售利润为y元，列一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设试销期间A，B两种产品的单价分别为m元、n元． 依题意得 解得 答：试销期间A产品的单价为30元，B产品的单价为20元； 【小问2详解】 解：设销售A产品x件；则销售B产品件，销售利润为y元． 根据题意得． 由，解得， ∴正整数x的最大值为133． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，此时． 答：销售A产品133件、B产品67件时，销售利润最大． 26. 已知抛物线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （1）求和的值； （2）记，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）∴当时，，当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把代入解析式中可求出c的值，根据增减性可得对称轴为直线，据此根据对称轴计算公式可得b的值； （2）把代入解析式中可得，或，再证明，进而推出，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交点的坐标为， ∴，即； ∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， 把代入中得， ∴，或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，当时，． 27. 如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）若的半径为，求． （2）求证：与相切． （3）如图2，若正方形的边长为，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】（1）； （2） 证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 与相切． （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，由正方形的性质得到，再解直角三角形即可求出答案； （2）连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； （3）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求出半径长．连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中，， ， ， ， 又正方形的边长为． 在中，， ， ， ． ∴的半径为． 连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试数学测试卷（六） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在世界数学史上，中国古代数学著作《九章算术》首次正式引入负数．如果盈利80元记作元，那么元表示（　　） A. 亏损25元 B. 亏损55元 C. 盈利25元 D. 盈利55元 2. 2024年8月20日正式发售的游戏《黑神话：悟空》，五天销量达到1200万，则“1200万”用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 某热门旅游景点酒店外观的三视图如图所示，那么这个酒店外观的图形是（　　） A. B. C. D. 6. 湖南革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和（ ） A. B. C. D. 7. 某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数（单位：环）与方差如右表所示．根据表中数据，这四人中成绩好且发挥稳定的是（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 9. 我省某旅游景点的旅客人数逐年增加．据旅游部门统计，2022年“五一”共接待游客约3500万人次，2024年“五一”共接待游客约3800万人次．设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（　　） A. B. C. D. 11. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 13. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 14. 分解因式：（　　） A. B. C. D. 15. 在艺术课上，王老师带着学生们制作圆锥形的帽子．经测量要制作的帽子底面直径为，将帽子展开得到的扇形的圆心角，则制作这种帽子需要的材料面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如果关于的方程（k为常数）有两个相等的实数根，那么 _______． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为______． 18. 如图，与交于点，且．若，则___________． 19. 某学校优化作业管理，探索减负增效新举措，就学生做作业的时间进行问卷调查，将收集到的信息统计分成四个层级，其中分钟以上，分钟，分钟，分钟以下，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据上述信息解答下列问题：全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有___________人． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 22. 某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔．已知毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1 500元，购买毛笔用了1 800元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支．求钢笔的单价． 23. 动力电池契合碳中和的理念，常常应用于电动汽车、电动船、电动列车、电动自行车等交通工具．为拓宽学生科技视野，某校开展科普知识进校园活动．九年级（1）班选出小致为全校同学介绍应用动力电池的两种交通工具（图片除编号和内容外，其余完全相同）．将这四张图片背面朝上，洗匀放好，小致先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出小致两次随机抽取的所有可能出现的结果； （2）求小致抽到的两张图片的编号恰好是和的概率． 24. 如图，在四边形中，点，，，分别是各边的中点，且，四边形是菱形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，矩形的面积为，求的长． 25. 为实现乡村振兴目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了A，B两种新型农产品，并投入市场试销了3天，第一天销售产品100件，产品80件，销售额为4600元；第二天销售产品120件，产品100件，销售额为5600元． （1）求试销期间A，B两种产品的单价； （2）三天后开始网上试销，网上每天销售A，B两种型号的产品共200件，且每天销售B产品的数量不少于产品的数量的一半，产品价格保持市场销售价格不变．已知产品每件成本12元，产品每件成本8元，问两种型号产品各销售多少件时，可以使销售利润最大？ 26. 已知抛物线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （1）求和的值； （2）记，比较与的大小． 27. 如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）若的半径为，求． （2）求证：与相切． （3）如图2，若正方形的边长为，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $