精品解析：四川省绵阳市三台县2024-2025学年高二下学期期中教学质量调研测试数学试题

三台县2025年春高二半期教学质量调研测试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，.若，，三个数成等差数列，则（ ） A. 10 B. 5 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项运算求解即可. 【详解】因为，， 若，，三个数成等差数列，所以. 故选：B. 2. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，则汽车在第时的瞬时加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义可知处瞬时加速度为函数在处的导数求解即可. 【详解】，所以， 所以汽车在第时的瞬时加速度为. 故选：B 3. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比, 所以成等比数列 所以，所以，解得. 故选：C. 4. 下列说法正确的是为（ ） A. 函数的极大值可以小于该函数的极小值 B. 函数的增区间为 C. 若函数的导数，则函数在处取得极值 D. 若函数的极小值点为 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 函数的极大值可以小于该函数的极小值，故该选项是正确的； B. 函数的增区间为，不能说函数的增区间为，例如，，故该选项是错误的； C. 若为的导函数，则是在某一区间存在极值的非充分条件， 如函数，但是函数是R上的增函数，所以并不是函数的极值点.故该选项是错误的； D. 函数，， 单调递减，单调递增，所以是极小值点，故该选项是错误的. 故选：A. 5. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解. 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小， 结合选项，可得选项D复合题意. 故选：D. 6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7＞0，a6+a8＜0，则Sn最大时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】当时，则有最大，即可求出答案. 【详解】, , ,最大. 故选:C 【点睛】本题考查等差数列的前和的最值，以及等差数列的性质，属于基础题. 7. 将一个边长为（单位：）的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设无盖方盒的底面边长为，小正方形的边长为，则，则无盖方盒的容积为：，求出函数的导数，根据函数的单调性求出截去的小正方形的边长为多少时，无盖方盒的容积最大. 【详解】设无盖方盒的底面边长为，小正方形的边长为，则， 则无盖方盒的容积为：，得， 令，解得或， 令，解得， 函数的定义域为， 函数的单调增区间是：，函数的单调减区间是： 令，得或（舍），求得， 由的单调性知，16为的最大值， 故截去的小正方形的边长为1m时，无盖方盒的容积最大， 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数解题易错点是理不清数量间的相互关系，不能正确地列方程. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整数，根据上述运算法则得出．递推关系如下：数列满足，若，则所有可能的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，且，逆向推理求解. 【详解】解：因为，且， 则，则，则或； 当时，则，或，或； 当时，则或（舍去）， 当时，则，或， 所以所有可能的取值集合是， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则与复合函数的求导法则，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确； 故选：BD. 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ） A. B. 当时，数列的公差为2 C. 当时，是数列中的项 D. 若是数列的项，则正整数的取值为、、 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式判断A，根据题意与等差数列的通项公式判断B；利用等差数列的通项公式求得，进而求得，再进行检验可判断C；根据题意分析得，从而得到，再分析的取值即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，当时，数列的公差为，故B错误； 对于C，当时，数列的首项为2，公差为， 故，故， 令，解得，所以是数列的第8项，故C正确； 对于D，插入个数，则，，，，， 所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是 以1为首项，为公差的等差数列，即， 若是数列的项，则，即， 因为，所以的可能取值为， 则正整数的取值为、、，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的单调增区间为， C. 函数的极大值为1，函数的极小值为 D. 方程恰有2个解时实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，极值，即可判断选项A，B，C；取极限画出的图象即可判断出选项D. 【详解】的定义域为， ，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的单调递增区间为，；的单调递增区间为，.故A错误，B正确. 所以当时，有极大值为； 所以当时，有极小值为，故C正确. 当时，，当时，， 当时，，当时，， 则的图象如下： 方程恰有2个解时实数的取值范围为，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由的关系式，分类讨论求出，然后求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 经检验得时符合上式，所以， 由，即，解得， 故答案为： 14. 已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出切点，利用导数几何意义得到方程组，求出，. 【详解】设直线与函数相切于点， 与相切于点， 其中，， 故且，， 联立与得，解得，故， 又，故，即， 化简得 将代入中得 ，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式，结合等比中项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合（1）中结论，利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以，整理得， 因为成等比数列，所以， 整理得，则或（舍去）， 联立，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得， 则 . 16. 已知在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解并检验即可； （2）由（1）可知函数在上的单调性，进而求解最值. 【小问1详解】 由，则， 因为在处取得极值， 所以，解得， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极小值，符合题意，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加. （1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量； （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量＝月产量（1－月产品合格率） 参考数据：，，， 【答案】（1）20000升 （2）第12个月，不合格的量能一直控制在120升以内 【解析】 【分析】（1）设各月的产量构成数列，分析可知数列是以公比为的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解； （2）设月不合格率构成数列，则不合格品量为，根据题意结合数列单调性分析求解. 【小问1详解】 设从今年1月起，各月的产量构成数列， 因为，且， 可知数列是以公比为的等比数列， 所以今年1月到12月该消毒剂的总产量为升. 【小问2详解】 设从今年1月起，各月不合格率构成数列， 则，， 则从今年1月起，各月不合格产品数量是， 因为 ， 当时，；当时，；当时，； 且，， 所以第12个月，不合格的量能一直控制在120升以内. 18. 已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 【答案】（1） 因为， 所以， 又，则，故， 所以是首项与公比都为的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用与的关系式，结合常数列的定义即可得解； （3）利用（1）与（2）的结论化简，再利用错位相减法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 当时，， 两式相减，得 整理得，即，则， 又，所以， 所以是各项为的常数列， 所以，即. 【小问3详解】 由（1）得，即， 所以， 则， 所以， 两式相减，得 . 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求证； （2）讨论的单调性； （3）讨论零点个数. 【答案】（1） 若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2） 若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （3） 当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数单调性； （3）根据（2）的单调区间，对a进行分类讨论，结合单调性和极值，即可得零点个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. 【小问3详解】 若，可知在上单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知有且仅有1个零点； 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 当趋近于，时，趋近于 则， 可知在内单调递增，且， 当时，则，即，可知无零点； 当时，则，可知有且仅有1个零点； 当时，则，可知有且仅有2个零点； 综上所述：当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台县2025年春高二半期教学质量调研测试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，.若，，三个数成等差数列，则（ ） A. 10 B. 5 C. 1 D. 2. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，则汽车在第时的瞬时加速度为（ ） A. B. C. D. 3. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 4. 下列说法正确的是为（ ） A. 函数的极大值可以小于该函数的极小值 B. 函数的增区间为 C. 若函数的导数，则函数在处取得极值 D. 若函数的极小值点为 5. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7＞0，a6+a8＜0，则Sn最大时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 将一个边长为（单位：）的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积最大为（ ） A. B. C. D. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整数，根据上述运算法则得出．递推关系如下：数列满足，若，则所有可能的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ） A. B. 当时，数列的公差为2 C. 当时，是数列中的项 D. 若是数列的项，则正整数的取值为、、 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的单调增区间为， C. 函数的极大值为1，函数的极小值为 D. 方程恰有2个解时实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为__________． 13. 已知数列的前项和为，若，且，则______. 14. 已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加. （1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量； （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量＝月产量（1－月产品合格率） 参考数据：，，， 18. 已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 19. 已知函数. （1）当时，求证； （2）讨论的单调性； （3）讨论零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $