精品解析：湖北省部分高中联考协作体2024-2025年高一下学期期中考试数学试题

2025年春季湖北省部分高中联考协作体期中考试 高一数学试卷 命题学校：天门市陆羽高级中学 命题教师：张正昌 审题学校：天门市竟陵高级中学 审题教师：曾文 试卷满分：150分考试时间：2025年4月22日8：00-10：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效， 3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数化简，即可得答案 【详解】解：， 所以复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 3. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数周期公式及奇偶性即可求解． 【详解】设， ，所以为偶函数， 因为的周期为， 所以的周期为， 故选：D． 4. 在中，，角，则的外接圆半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由，得， 设外接圆的半径为， 由正弦定理，得， 所以. 故选：C 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角差的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 则 ， 故选：A． 6. 函数的零点个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】可知为偶函数，令，结合图象分析与的交点个数，即可得结果. 【详解】由题意可知：定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得， 由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 故选：D. 7. 点在线段上（异于A，C两点），为直线外一点，若，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线的结论可知，且，利用乘“1”结合基本不等式运算求解. 详解】由题意可知：，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 8. 已知，对于恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析函数在的零点和正负区间，再根据不等式恒成立得出的零点，根据韦达定理得出的关系，再根据基本不等式求解即可． 【详解】当，则， 当； 当， 当， 当， 若，对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别为1和7， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 已知，下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】当时即可判断A；利用作商法即可判断B；当趋于0时即可判断C；结合三角函数的定义即可判断D. 【详解】A：当时，，故A错误； B：因为，所以， 则，即，故B正确； C：当趋于0时，趋于0，趋于1，故C错误； D：如图，在单位圆中，为的终边，点， 由图可知，所对的弧长大于点的纵坐标，即，故D正确. 故选：BD 10. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可判断ABC；根据平面向量夹角的余弦公式即可判断D． 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D，， 则， ， 则，故D正确； 故选：ABD． 11. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，再逐一验证即可求解． 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为为图象的一个对称中心， 所以①， 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 所以可取， 当时，，， 当时，，在单调递减，符合题意； 当时，，， 又，所以没有符合题意的值，故不合题意； 当时，，，取， 当时，，在单调递减，符合题意； 综上所述，符合题意的， 故选：AC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点B，则B的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式，即可求出结果． 【详解】角的终边与单位圆交于点，即， 所以将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点 ， 故答案为：． 13. 已知，，则在方向上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 14. 若函数，对于任意都有成立，则称与为区间上的“m阶依附函数”.若，为的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】或， 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数的最值问题，即可根据三角函数的性质求解最值得解. 【详解】根据对任意的恒成立， 故对任意的， 故， 时，，故， 时，，故， 故，即，解得或， 故答案为：或， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算. （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解； （2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解. 【小问1详解】 因为， 原式 . 【小问2详解】 原式. 16. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直坐标运算可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得函数的解析式，再由正弦型函数的值域即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，即， 则. 【小问2详解】 ， 由可得， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， 所以的值域为. 17. 函数，其中，，,图象经过同一个周期上最高点和最低点. （1）求的解析式； （2）求在的单调递增区间； （3）的图象经过怎样的变换可以得到的图象?写出变换过程. 【答案】（1） （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式； （2）由，可求得单调区间，即可对取值求解. （3）根据函数图象的平移和伸缩变换的性质即可求解. 【小问1详解】 依题意，得 由于，∴，∴ ∴，把代入上式，得 又，∴，∴ ∴ 【小问2详解】 令，由得： 解得（）， 当时， 取，则， ，则，当，则， ∴在的单调递增区间为，， 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位可得的图象，进而将的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，此时可得的图象. 18. 如图所示，线段与交于的中点，已知，，且. （1）求线段的长； （2）若，求线段的长及的面积 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）在、中，利用余弦定理结合运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，设，利用余弦定理和面积公式运算求解. 【小问1详解】 在中，， 在中，， 因为，则， 整理可得，即. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 设，则， 由（1）可知：，即， 整理可得，解得或（舍去）， 则，的面积. 19. 如图所示，在中，，，，，． （1）求的值． （2）线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． （3）若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）应用向量加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． 【小问3详解】 ， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季湖北省部分高中联考协作体期中考试 高一数学试卷 命题学校：天门市陆羽高级中学 命题教师：张正昌 审题学校：天门市竟陵高级中学 审题教师：曾文 试卷满分：150分考试时间：2025年4月22日8：00-10：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效， 3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A 2 B. C. -2 D. ±2 3. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为偶函数 D. 周期为的偶函数 4. 在中，，角，则的外接圆半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 7. 点在线段上（异于A，C两点），为直线外一点，若，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 8. 已知，对于恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 已知，下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 11. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点B，则B的坐标为_______． 13. 已知，，则在方向上投影向量为________. 14. 若函数，对于任意都有成立，则称与为区间上的“m阶依附函数”.若，为的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算. （1）； （2） 16 已知，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值域. 17. 函数，其中，，,图象经过同一个周期上最高点和最低点. （1）求的解析式； （2）求在的单调递增区间； （3）的图象经过怎样的变换可以得到的图象?写出变换过程. 18. 如图所示，线段与交于的中点，已知，，且. （1）求线段的长； （2）若，求线段的长及的面积 19. 如图所示，在中，，，，，． （1）求的值． （2）线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． （3）若是内一点，且满足，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$