四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

数学 第 1 页 共 4 页 合江中学高 2024 级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第 I卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第 II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第 I 卷（选择题 共 58 分） 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。 1． 设复数 i i1 z ，则 z的共轭复数为（ ） A． i1 B． i1 C．1 D．i 2． 若向量  2,1AB ，  2,4BC ，则 AC （ ） A． 52 B．5 C．20 D．25 3．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 3a ， 23b ，  45B ，则 A （ ） A．30° B．60° C．90° D．30°或 150° 4． 为了得到函数        6 π2sin3 xy 的图象，只需把函数 xy sin3 图象上所有点的（ ） A．横坐标缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 6 π ． B．横坐标缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 12 π ． C．横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 6 π ． D．横坐标缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移 12 π ． 5． 已知  π,0,  ，且 7 1tan  ， 5 4cos  ，则   （ ） A． 4 π B． 4 3π C． 6 π D． 3 2π 6． 如图，在△ABC中，P在线段 BC上，满足 PCBP 2 ，O为线段 AP 上一点，且 BCBABO  3 1 ，则的值为（ ） A． 3 1 B． 9 7 C． 3 2 D． 9 2 数学 第 2 页 共 4 页 7． 已知函数          6 π 2 1sin xxf ，则下列结论正确的是（ ） A．  xf 的图象关于点       0, 3 5π 对称 B．  xf 的图象关于直线 3 π x 对称 C．  xf 在区间  π,π 内有 2个零点 D．  xf 在区间     0, 2 π 上单调递增 8． 如图，摩天轮的半径为 40m，摩天轮的中心点 O距地面的高度为 50m，摩天轮做匀速转动，每 36min转一圈，摩天轮上点 P的起 始位置在最低点处．则在摩天轮转动的一圈内，点 P距离地面超 过 70m的时长为（ ） A．10min B．12min C．14min D．16min 二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多 个选项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9． 已知 i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A．若复数 i431 z ， i432 z ，则 21 zz  B．若复数 i1 i31   z ，则复数 z的虚部等于 i2 C．若复数    Ri242  mmmz 为纯虚数，则 2m D． ii5  10．在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若 BA sinsin  ，则 BA  B．若 BbAa coscos  ，则△ABC是等腰三角形 C．若 BA cossin  ，则△ABC是直角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则 BA cossin  11．已知函数   xxxf  2cossin  ，则（ ） A．对于任意的，  xf 均为偶函数 B．当 1 时，  xf 的最小正周期为 π C．当 1 时，   0xf D．当 1 时，  xf 在        π8,π2 上有 12个零点 数学 第 3 页 共 4 页 第 II 卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知向量  2,1a ，  kb ,3 ，若 ba // ，则实数 k _______________． 13．已知复数 z满足 1z ，则 i2 z 的最大值为_______________． 14．已知锐角△ABC中，内角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，且满足： 022  acab ， 则角 A的取值范围是_______________． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知 a与b是平面内的两个向量， 2a ， 1b ， a与b的夹角为 4 π ． （1）求 ba  及 ba 2 ； （2）在平面直角坐标系下，若  0,1b ，求 a在b方向上的投影向量的坐标． 16．（15分） 在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 bccba  222 ． （1）求角 A的大小； （2）若 2a ， 2 cb ，求△ABC的面积． 17．（15分） 如图，已知函数    0sin32cos2 2   axxaxf 的图象与 y轴的交点为  1,0  ，它 在 y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为  2,0x 和        2, 2 π 0x ． （1）求函数  xfy  的解析式； （2）已知 1 2      f ，       2 π,0 ，角  的终边与单位圆交于 点       5 3, 5 4A ，求   cos 的值． 数学 第 4 页 共 4 页 18．（17分） 成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语 花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长 200 米的直线绿道 AB一侧规划一个三角形区域 ABC做绿化，如图，已知 3 π CAB ，为提升美观 度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． （1）若 100AC 米，求 BC的长； （2）绿化完成后，某游客在绿道 AB的另一侧空地上寻找最佳拍照 打卡点，该游客从 A到 D，再从 D到 B，然后从 B到 D，最终返回 D点 拍照．已知 3 π ADB ，求游客所走路程的最大值． 19．（17分） 定义：非零向量  bam , 的“特征三角函数”为   xbxaxf cossin  ，向量m称为函数的 “特征向量”． （1）若                6 πcos4 3 πsin2 xxxf ，求  xf 的“特征向量” a的坐标； （2）设向量  4,3 b 的“特征三角函数”为  xg ，若关于 x的方程   0 kxg 在  π,0 上 有两个不同的实根，求 k的取值范围； （3）设向量  aan , 的“特征三角函数”为  x ，若函数     xxxh 2sin 的最小值不小 于 2 ，求 a的取值范围． 合江中学高2024级高一下期半期考试 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1B、2B、3.A、4B.5.A6.D、7.D 8.B设tmin时点P距离底面的高度为y±Asih(at+)+b, 由惠意得g10,4=40,6=50,周期7=36=音 所以0-资所以40sm(ox0+p)+50=10,即血p=-, 可得p#受+24，令名=0，则p=-受所以y=40s加（爱-受+50， 令y=40sn哈-孕+50>70，即sn管1-受> 所以-后+2宿2-受警+2a,解得2+3<1c24+36k,令k=0.对2<124。 所以在摩天轮转动的一图内，点P距离地面超过70m的时长为24-12兰12min故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。 9.CD。l0,AD【详解】对于A,根据正弦定理，由sinA>sinB可得a>b,大边对大角， 所以A>B故A正确； 对于B,根据正弦定理，由acosA=bcosB可得sinAcosA=sin BcosB,即sin2A=sin2B,· 则2A=2B或2A+2B8=,即A-B或+B=夸，所以△BC是等腰三角形或直角三角形 故B错误； 对于C,血4-0B如经，则4-受B或4+经B=,即4+B=受或4=B+号 所以△ABC是直角三角形或钝角三角形，故C错误： 对于D,若△MC为悦角三角形：则0<4受0<8受+>受即0<受-B<4<受 因为函数y=血x在（引上单调递指所以n[任-小k血4，即s如4>6co3,故D正确 故选：·AD. ll.ABD.,A项：（x)的定义域为R,f(-x)=sin(-ax+acos(-2ar卢sinax+cos2ax=f), 即证明(x)=∫(-x),A选项正确： B项f(x)=si+cos2x,因为随数y=|sin,y=cos2x的最小正周期均为π， 所以(x)的最小正周期为π，B选项正确： C项：取0<0，x=0,f(0)=0+0=w<0,C选项错误： 试卷第1页，共4页 D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知y=sin以，y=Φcos2ox的最小正周期为 ∫(x)在每个周期内存在2个零点， 因为区间 各）的长度为答又 0 =sin2m+wcos4r=o≠0 所以6个周期内为12个零点，D选项正确故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分。 12.-613.√5+1【详解】满足=1的复数云所对应的点在以原点为圆心，1为半径 的圆上，：-2-的九何意义为z所对应的点到点P(2,)的距离，因为0P=V22+12=5, 所以z-2-的最大值为5+1，故答案为：5+1 4【答案（后 【详解】由b2-d2-ac=0,可得：b2=a2+ac, 由正弦定理可得：sin2B=sin2A+-sin Asi血C=sinA(sinA+sinC), 再由余弦定理：cosA=+c2-d_2+ac.a+ 2be 26c2b 再结合正弦定理可得：2 2sinBcosA=-如A+sihQ,所以2si如8cosA=m召 sinA 即2 sin Acos A=simB,即sin2A=sinB, 因为是锐角三角形，0<2A<0<B<行所似B=2A,或a+2A=, 当B+2A=π时，又B+A+C=π，所以A=C,即a=c, 所以b2=a2+c2,此时B为直角，舍去， 当8=24时，可得：8=24<受即4<受同时：C=-4-4=3<受即4>管 综上角A的取值范围是（信引故答案为： 到 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15【答案】(1)a-6=cos(a,列-5x1xos牙-1 因为6+2-=a+46+4G.6=2+4+4=10,所以+2-10. 在方负上为我7-叶6-6网 16【详解】(1)因a2=b2+c2-bc,则b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得，cosA=B+c-日=」 2bc 2 因0<4<，则A-号 试卷第2页，共4页 (2)由a3-b2+c2-bc得，a2=(b+c2-3bc, 因a=瓦btc=2,则2=4-北c,即c=号 故sae牛bc血Aexx5互 2326 17.【详解】(1) f()=-2acosx+2asinaxcosx+a=-a(1+cos2x)+Basin 2x+aasin2x-acos2ox -2a(爱引由图象可得0=-12a(}a1, 又最高点20x。 2 2 ,联立解得0=1， 所以西数y=纠的解折式为2如2：一君寻引 2))2m(-引1→(e-引片图为a引，解得a 3 由角B的终边与单位圈交于点（传引可得oB-如A号 所以a--手6m子ow4写9r号9号9 10 18.【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得BC=AC+AB2-2AC×AB cos 3 =10+20-200×200=3006,所以8C=105米， 2因为8-子所议D到 记∠DAB=0, 由正弦定理得 AB BD AD sin∠DB sinDAB sin∠ABD1 200BD AD 段g0子 sin 可所n6o售-小 3 0+0g售小5a9.气9m6rd小0互ep. 32 3 其中sinp “2万，所以当咖(0+p)=l时，AD+2BD的最大值为40，五米 2V7cosp✉5 y 即游客所走路程的最大值为40，工米 3 19.【详解】(1)由题意可得： f回-2a+}4o-引2no号+ax曲}or后n血哥 =sinx+3 cosx+23 cosx+2sinx=3sinx+3v3.cosx 则f()的“特征向量"a=3,35) 试卷第3页，共4页 (2)由题意可得g()=3血x-4eosx=5sin(x-）,其中s血0=号(0<0<) 因为关于x的方程g(x)+k=0在[0，]上有两个不同的实根， 所以关于x的方程-k=g(x)在[0，π上有两个不同的实根， 当xe[0,x]时，x-6e【-8,r-], 则)准[0经+小上单调道增，在[臣+8个 上单调递减 因为g0=4,g行+-5,8同)4。 所以4≤-k<5,即-5<ks-4. (3)由题意可得h(x)=sinx+acosx-+sin2x 设1=x+osx=5n+升点可， 则sin2x=2-1,所以G0=+at-1（-互st52). 当-5-5，即a≥25时，G(0在[一5，同上单调递增。 则c0-c-问-ia+122,解得a2号， 因为a≥22，所以a∈g: 当反<-号<，即-25<a<25时.60在-五，-引上单调道流，在（号]上 单调递增， 则c0-d(引-号-122，解得-2552， 当-≥5，即a≤-25时，G0在[-一5，V月上单调递减。 则G0=G(2)-+1≥-2，解得a2-3 2 因为as-25,所以a∈g 综上，a的取值范围是[-2,2]. 试卷第4页，共4页