重难点10：条件概率与全概率公式常见八种应用题型 讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题10 条件概率与全概率公式八种应用题型 一、条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 由，是互斥事件知，， 二、全概率公式 （1）； （2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2） 什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 题型1：取球型 【例1】一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【例2】袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【例3】甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立；②，，是两两互斥的事件； ③； ④； ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪训练】 1. 一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（       ） A． B． C． D． 2.箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为 　　． 3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（       ） A． B． C． D． 4.一个盒子中有个白球个红球，从中任意取个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 5.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立        ② ③                ④ A．4 B．3 C．2 D．1 6.若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（    ） A． B． C． D． 8．现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 . 题型2：掷骰子型 【例5】抛掷甲､乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲､乙两枚骰子的点数之和等于”，则（    ） A． B． C． D． 【例6】小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则 ， . 2.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（    ） A． B． C． D． 题型3：射击型 【例7】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【例8】甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.4，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.7，若3人击中则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率为 ． 【跟踪训练】 1.8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（    ） A． B． C． D． 2.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 题型4：医护分配型 【例9】我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（       ） A． B． C． D． 【例10】一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 【跟踪训练】 1． A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 2.2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为 ． 3.从名男医生和名女医生中选出个人，参加一个抗击新冠肺炎疫情报告会，已知在选出名女医生的条件下，另名医生也是女医生的概率是 ． 题型5：红绿灯型 【例11】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 题型6：产品次品型 【例12】有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为 ． 【例13】某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ． 【跟踪训练】 1.有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 . 2.某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 3.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为 ． 4.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为 ． 题型7：药物疾病型 【例14】某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【例15】某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（    ） A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02 【跟踪训练】 1.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 2.居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1 题型8：比赛型 【例16】甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 【例17】甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为A. B. C. D. 【跟踪训练】 1.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为(　　) A. B. C. D. 2．骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为 ；若甲直接挑战第3关时，记事件“三次点数之和等于15”，“至少出现一次5点”，则 ． 3.某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 一、填空题 1．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ． 2.某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为 ． 3.A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 4.某篮球队教练对近两年队员甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为 . 5.．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则 ； . 6.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则 . 7.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 . 8.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ； （2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为 ． 9.某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ________；该选手闯关成功的概率是 ________. 二、选择题 10.已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 11.从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125 12.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 13..花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________． 14.在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（    ） A． B． C． D． 15.设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 3、 解答题 16．有一种骰子游戏，某人掷两颗骰子，若掷出的点数之和是7或11，则赢；若掷出的点数之和是2、3或12，则输；若掷出其他的点数和，则记下这个数，继续掷这两颗骰子，直到掷出这个记下的数或者7为止，若是这个记下的数，则赢，若是7，则输.求此人赢的概率是多少. 17.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. (1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； (2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题10 条件概率与全概率公式八种应用题型 一、条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 由，是互斥事件知，， 二、全概率公式 （1）； （2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2） 什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 题型1：取球型 【例1】一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球，求出，再利用条件概率公式，即可求出结果. 【解析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球， 因为，， 所以， 故答案为：. 【例2】袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球， 则，， 因此，. 故选：D. 【例3】（22-23高二上·辽宁·期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式求得正确答案. 【详解】依题意，乙箱中取出的是红球的概率为. 故选：D 【例4】（21-22高二下·山西长治·期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③； ④； ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且 ，，而，①错误，②正确； ，，所以，③正确； ④正确； ，⑤错误，综上：结论正确个数为3. 故选：C 【跟踪训练】 1. 一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用条件概率公式计算得解. 【详解】依题意，，， 所以.故选：B 2.箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为 　　． 【分析】利用条件概率公式求解． 【解答】解：设事件表示“抽到红球”，事件表示“2个球都是红球”， 则（A），， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题． 3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率求解. 【详解】设“第一次摸到红球”的事件为A，设“第二次摸到白球”的事件为B， 则 ， 所以在第一次摸到的是红球的条件下，第二次第二次摸到白球的概率为：.故选：B 4.一个盒子中有个白球个红球，从中任意取个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件所选的个球中至少有个红球，记事件所选的个球都是红球，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件所选的个球中有个是红球，记事件所选的个球都是红球， 则，， 因此，所求概率为. 故选：A. 5.（23-24高二下·湖南长沙·期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立        ② ③                ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回答. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，， 而，①错误； ，，所以，②正确； ，③正确； ，④错误，综上：结论正确的个数为2. 故选：C. 6.（23-24高二上·江西鹰潭·期中）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】 由全概率公式即可得解. 【详解】 设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 7.（23-24高二上·河北邯郸·期中）甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出，，再根据全概率公式求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】， ，， . 故选：A. 8．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 . 【答案】 【解析】记1号罐子中取出红球的事件为，取出黑球的事件为，从2号罐子中取出红球的事件为， 显然互斥，， 所以. 故答案为：. 题型2：掷骰子型 【例5】抛掷甲､乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲､乙两枚骰子的点数之和等于”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用古典概型的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果. 【详解】由题意知事件为甲骰子的点数小于，且甲､乙两枚骰子的点数之和等于， 则事件包含的基本事件为， 而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有种情况，所以， 因为甲骰子的点数小于的有，两种情况，所以， 所以，故选：C 【例6】小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式结合计数原理求解即可. 【详解】将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有种情况， 设三次点数都不相同为事件，符合事件的点数情况有； 设事件是三次点数之和不大于8， 则事件同时发生的点数情况有种； 则已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为 故选：D. 【跟踪训练】 1.连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则 ， . 【答案】 【分析】求出事件A中包含的基本事件和事件B中包含的基本事件，即可求出. 【详解】设第一次掷骰子出现的点数为，第二次掷骰子出现的点数为，两次掷骰子的情况为，共有种可能， 则事件A中包含的基本事件为，共6个， 事件B中包含的基本事件为，共5个， 事件中包含的基本事件为，共1个， 则，，. 2.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解. 【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，，， ，故，所以. 故选：B. 题型3：射击型 【例7】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【答案】C 【解析】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B， 则由题意得，， 所以她两次均击中9环的概率为．故选：C． 【例8】甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.4，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.7，若3人击中则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率为 ． 【答案】 【分析】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 ，代入相关数据，即可得到答案. 【详解】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（21-22高二·全国·期中）8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解. 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分． ，，，， 根据全概率公式得      ， 所以． 故选:B． 2.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 【答案】 【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率 公式计算得到答案. 【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为， 则，. . 故答案为： 题型4：医护分配型 【例9】我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（       ） A． B． C． D． 【答案】A 求出，，然后由条件概率公式计算． 【详解】由题意，，， ∴．故选：A． 【例10】一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 【答案】 【解析】将事件分为A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，利用条件概率公式求即可. 【详解】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生， ∴，而， ∴， 故答案为： 【跟踪训练】 1． A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 【答案】 【分析】求出A教师志愿者被安排到甲学校的排法，然后再求出在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可求解． 【详解】A教师志愿者被安排到甲学校， 若甲学校只有一个人，则有种安排方法， 若甲学校有2个人，则有种安排方法， A教师志愿者被安排到甲学校共有60种安排方法， 在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的概率是 2.2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为 ． 【答案】 【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则 若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为， 在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况， , 故答案为： 3.从名男医生和名女医生中选出个人，参加一个抗击新冠肺炎疫情报告会，已知在选出名女医生的条件下，另名医生也是女医生的概率是 ． 【答案】 【分析】分别计算出选出的人中至少有一个女医生和选出的人均为女医生的概率，由条件概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“选出的人中至少有一个女医生”，事件为“选出的人均为女医生”，则事件表示“选出的人均为女医生”， ，，. 故答案为：. 题型5：红绿灯型 【例11】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下， 第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为．故选：． 【跟踪训练】 1.小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件概率与交事件概率的区分 【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为 . 题型6：产品次品型 【例12】（21-22高二下·陕西咸阳·期中）有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为 ． 【答案】0.17/ 【分析】根据全概率公式直接求解即可. 【详解】记事件表示“任取一件产品为次品”； 事件分别表示零件为甲、乙、丙工厂生产， 则，，，，，， . 故答案为：. 【例13】（2023·江苏南京·高三统考开学考试）某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ． 【答案】0.56/ 【解析】分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件. 由已知可得，，，，， 由全概率公式可得，. 故答案为：0.56. 【跟踪训练】 1.（2023·福建漳州·高三统考开学考试）有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 . 【答案】0.024 【解析】设，分别表示甲、乙厂生产的产品，表示取到次品， 则，， ，， 从中任取一件产品取到次品的概率为： ， 故答案为：0.024． 2.（23-24高二上·陕西汉中·期中）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 【答案】0.012 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲厂生产”，：“取得次品是乙厂生产”， 由题意可知, 所以由全概率公式知取得次品的概率为. 故答案为： 3.（23-24高二下·山东·期中）某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为 ． 【答案】0.95/ 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意取到合格品的概率为. 故答案为：0.95. 4.（23-24高二上·天津南开·期中）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为 ． 【答案】 【分析】利用独立重复事件的概率以及全概率公式求解. 【详解】在该市场中购买甲长的两个灯泡，则均合格的概率为， 若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ， 在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为 故答案为：；. 题型7：药物疾病型 【例14】（23-24高二上·江西萍乡·期中）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 【例15】（21-22高二上·安徽亳州·期中）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（    ） A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02 【答案】C 【分析】根据全概率公式即可求出． 【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为 0.0248． 故选：C． 【跟踪训练】 1.（23-24高二上·河南南阳·期中）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定条件，结合全概率公式列式求解作答. 【详解】 令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”， ，且互斥，， 依题意有，解得 从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 故选：C 2.（23-24高二·江苏常州·期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1 【答案】C 【分析】 记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， ， 现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是： . 故选：C. 题型8：比赛型 【例16】甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 【答案】 【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解. 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解. 【例17】甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜， 故甲获得冠军的概率为3＋2×3×＝. 【跟踪训练】 1.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”． 则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率 P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|) ＝×0.9＋×0.25 ＝. 2．骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为 ；若甲直接挑战第3关时，记事件“三次点数之和等于15”，“至少出现一次5点”，则 ． 【答案】 /0.7 【分析】利用独立事件乘法公式结合条件概率公式求解即可. 【详解】闯第1关时，，且基本事件为6，故概率为， 闯第2关时，，且基本事件为，故通过概率为， 因每次闯关互不影响，则两个事件相互独立，故由独立事件乘法公式得概率为； 而抛次的基本事件为，事件包含共7个基本事件，故， 而满足的有共10个基本事件，故， 由条件概率公式得. 故答案为：； 3.（23-24高二 云南期中）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【详解】 设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则， 设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则， 故选：B 一、填空题 1．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合条件概率运算求解. 【解析】记“长度合格”为事件A，“重量合格”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为. 故答案为：. 2.某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为 ． 【答案】 【分析】求出有一名主任医生被选派以及两名主任医师都被选派的概率，根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A， 则， 记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B， 则． 故答案为：. 3.A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 【答案】 【分析】求出A教师志愿者被安排到甲学校的排法，然后再求出在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可求解． 【详解】A教师志愿者被安排到甲学校， 若甲学校只有一个人，则有种安排方法， 若甲学校有2个人，则有种安排方法， A教师志愿者被安排到甲学校共有60种安排方法， 在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的概率是 4.某篮球队教练对近两年队员甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为 . 【答案】0.75/ 【解析】根据全概率公式可知： 甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为， 故答案为： 5.．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则 ； . 【答案】 / 【分析】 分析出：若奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值. 【详解】 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故； 奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为， 奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 由全概率公式可得：. 故答案为：；. 6.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则 . 【答案】 【分析】先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为 所以. 故答案为：. 7.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 . 【答案】 【分析】设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式可求得答案. 【详解】解：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0，1，2. 由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝·＋·＋·＝. 故答案为：. 8.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ； （2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为 ． 【答案】 Pn＝－Pn－1/ Pn＝－Pn－1+ 【分析】（1）根据两种不同情况下，求第二次出现红球的概率，再加总即为P2的值. （2）应用全概率公式写出Pn关于Pn－1的表达式即可. 【详解】（1）由题设，第二次出现红球的概率为两次都出现红球的概率、第一次为绿球第二次出现红球的概率之和， ∴. （2）由（1）易知：Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1. 故答案为：，Pn＝－Pn－1. 9.某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ________；该选手闯关成功的概率是 ________. 答案　　 解析　该选手仅回答正确两个问题的概率是P1＝××＋××＋××＝， 该选手要闯关成功，则只有第3个问题回答正确或者第1,3两个问题回答正确或者第2,3两个问题回答正确或者三个问题都回答正确，所以闯关成功的概率为2×＋××＋××＋××＝. 二、选择题 10.已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式求相应的概率. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件， 则，， 所以． 11.从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125 【答案】A 【分析】利用古典概率公式及条件概率公式即可求出结果. 【详解】因为，， 12.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 13..花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________． 【答案】 【分析】使用条件概率进行计算即可. 【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”， 则积事件“两束花都是郁金香”， 事件中样本点的个数为， 积事件中样本点的个数为， ∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 . 14.在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解题意，分别用组合公式求出甲不去跳远和乙被安排到跳远为事件的样本空间，从而可求出在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率. 【详解】甲不去跳远为事件， 乙被安排到跳远为事件， 所以 15.设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意结合贝叶斯公式求解即可. 【详解】 设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”， 则由贝叶斯公式得， 故选：A 3、 解答题 16．有一种骰子游戏，某人掷两颗骰子，若掷出的点数之和是7或11，则赢；若掷出的点数之和是2、3或12，则输；若掷出其他的点数和，则记下这个数，继续掷这两颗骰子，直到掷出这个记下的数或者7为止，若是这个记下的数，则赢，若是7，则输.求此人赢的概率是多少. 【答案】 【分析】 设第一次掷出的点数和为，此人赢记为事件，求出，，从终局思考，比如第一次掷出的点数和为，那么最终游戏只能以掷出点数和为或结束，若是则赢，若是则输，即可求出，，最后由全概率公式计算可得. 【详解】 设第一次掷出的点数和为，此人赢记为事件， 投掷两枚骰子一共有种结果， 掷出的点数之和为、或有，，，共种结果， 掷出的点数之和为的有，，，，，共种结果，则， 掷出的点数之和为的有，共种结果，则， 同理可得， ，， 要想游戏结束，从最终局考虑，比如第一次掷出的点数和为，那么最终游戏只能以掷出点数和为或结束，若是则赢，若是则输， 而任何一次掷出点数和为的概率是，掷出点数和为的概率是， 则，同理可得， ，， 又， 所以 ， 即此人赢的概率为. 【点睛】 关键点睛：本题正向思考难度比较大，采用终局思维比较关键，再求条件概率，时处理也比较巧妙. 17.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. (1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； (2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 解　(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率 P＝1－××＝. (2)设“该款智能自动检测合格”为事件A，“人工抽检合格”为事件B， 则P(A)＝，P(AB)＝1－＝， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P(B|A)＝＝＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$