7.1.2 全概率公式（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

7.1.2全概率公式 第七章 概率初步（续） 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 根据古典概型，掌握理解全概率公式. 能够利用全概率公式计算复杂的概率问题. 3 通过学习及运用全概率公式，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 1 章前导读 1 章前导读 狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读． 1 章前导读 设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5, 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！ 问题　上述问题可以用哪种概率公式来解释？ 提示　我们可以借助全概率公式来解读． 2 新知探究 简单随机抽样是通过逐个抽取的万法抽取样本，总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，抽签法是常用的简单随机抽样方法 抽签法“公平”吗？ 一个袋子中装有大小质地相同的3个白球、2个黑球，5人依次不放回地摸球，约定摸到 白球的人入选 3 举例分析 例1 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是，，而它们的良品率分别是0.96、0.90、0.93.问：该部件的总体良品率 是多少？ 问题1 在上述问题中，总体良品率是不是就是0.96、0.90、0.93的平均值？为什么？ 不是，应该和供应商的供货占比有关系 3 举例分析 例1 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是，，而它们的良品率分别是0.96、0.90、0.93.问：该部件的总体良品率 是多少？ 问题2 假定三个供应商供货占比一样，即每家供应商供货占比均 为，这个时候总体良品率应该怎么计算？ 3 举例分析 例1 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是，，而它们的良品率分别是0.96、0.90、0.93.问：该部件的总体良品率 是多少？ 问题3 当供应商供货占比分别是，，总体良品率应该怎么计算？ 4 新知讲授 全概率公式 5 举例应用 例1 例2 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 5 举例应用 例1 例2 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”， A2=“第2天去A餐厅用餐”， 则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2| A1)=0.6, P(A2| B1)=0.8, 由全概率公式，得 P(A2)= P(A1) P(A2| A1)+ P(B1) P(A2| B1)=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 5 举例应用 例1 例3 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； 解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得 P（A1）=0.25， P（A2）=0.3， P（A3）=0.45， P（B|A1）=0.06, P（B|A2）=P（B|A3）=0.05. （1）由全概率公式，得 P（B）=P(A1) P(B|A1）+ P(A2) P(B|A2）+P（A3）P (B|A3） =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05 =0.0525 5 举例应用 例1 例3 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率. (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i（ i =1，2，3）台车床 加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率. 同理可得 ； 5 举例应用 例1 例4 现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶， 某同学从中随机抽取两瓶，若取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色， 则另一瓶是红色或黑色的概率为__. 【解析】 设事件为“取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色”，事件为“取出的两瓶中 另一瓶是红色”，事件 为“取出的两瓶中另一瓶是黑色”，事件为“取出的两瓶中另 一瓶是红色或黑色”，则，且与 互斥.由题意得， ，，， 所以 . 故取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为 . 5 举例应用 例1 例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率． 解　设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1， 由全概率公式，得 5 举例应用 例1 例5 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)． 为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3， 则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故 5 举例应用 例1 例5 P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14. 于是 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458. 6 巩固练习 C 6 巩固练习 解析　设事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”， 事件B＝“去了‘一眼望三国’景点”， 6 巩固练习 2．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为(　　) 6 巩固练习 3．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 6 巩固练习 C 解析　设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”. 6 巩固练习 5.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%，35%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为________. 5% 解析　令A表示“取到的是一件次品”， B1，B2，B3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的， 且有P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2. 由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03， 设P(A|B3)＝m，由全概率公式得 P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3) ＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋m×0.2. 又P(A)＝2.95%，故m＝5%. 6 巩固练习 6.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________. 0.64 课堂小结 全概率公式 P(A)＝. 1.甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三 个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子 中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________. 解析　法一　设A＝“从甲盒子中取一个球是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球是黑球”， 7 补充强化练 7 补充强化练 7 补充强化练 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 设样本空间Ω可分成n个两两不同时发生（两两互斥）的事件Ω1，Ω2，…，Ωn， 即Ω＝Ω1∪Ω2∪…∪Ωn， 且当i≠j时有Ωi∩Ωj= ，因此有eq \o(∑,\s\up19(n),\s\do15(i＝1))P(Ωi)=1. 有P(A)＝eq \o(∑,\s\up19(n),\s\do15(i＝1))P(A∣Ωi)P(Ωi). 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． P(A1)＝P(H1eq \o(H,\s\up16(－))2eq \o(H,\s\up16(－))3＋eq \o(H,\s\up16(－))1H2eq \o(H,\s\up16(－))3＋eq \o(H,\s\up16(－))1eq \o(H,\s\up16(－))2H3) ＝P(H1)P(eq \o(H,\s\up16(－))2)P(eq \o(H,\s\up16(－))3)＋P(eq \o(H,\s\up16(－))1)P(H2)P(eq \o(H,\s\up16(－))3)＋P(eq \o(H,\s\up16(－))1)P(eq \o(H,\s\up16(－))2)P(H3)＝0.36， P(A2)＝P(H1H2eq \o(H,\s\up16(－))3＋H1eq \o(H,\s\up16(－))2H3＋eq \o(H,\s\up16(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq \o(H,\s\up16(－))3)＋P(H1)P(eq \o(H,\s\up16(－))2)P(H3)＋ P(eq \o(H,\s\up16(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41， 1.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景.小李打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是.若冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光；若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬渔.无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则小李去了“一眼望三国”景点的概率为(　　) A. B. C. D. 则P(A1)＝，P(A2)＝. 在冬季去了“一眼望三国”景点的概率P(B|A1)＝＝， 在夏季去了“一眼望三国”景点的概率P(B|A2)＝＝， 所以去了“一眼望三国”景点的概率 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. A.eq \f(3,5) B.eq \f(19,49) C.eq \f(20,49) D.eq \f(2,5) 解析　设A表示“第一个人取得黄球”，B表示“第二个人取得黄球”，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B|eq \o(A,\s\up16(－)))＝eq \f(2,5)×eq \f(19,49)＋eq \f(3,5)×eq \f(20,49)＝eq \f(2,5). 解析　设A表示“此人恰是色盲”，B1表示“随机挑选一人为男人”，B2表示“随机挑选一人为女人”，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq \f(1,2)×0.05＋eq \f(1,2)×0.002 5＝0.026 25. 4.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为(　　) A. B. C. D. 则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|) ＝×0.9＋×0.25＝. 解析　记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件C， 由题意知P(A)＝60%，P()＝40%，P(C|A)＝80%，P(C|)＝40%， ∴P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)＝0.48＋0.16＝0.64. 由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝. 现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝； 设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”， 由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝， 所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)·P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝×＋×＋×＝. 法二　设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3. 则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为＝； 将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)， 所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为＝. $