专题09 条件概率与分布列（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

**基本信息** 以条件概率为基础，系统覆盖分布列、数字特征及常见概率模型，构建从概念到综合应用的递进训练体系，培养数据观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件概率与公式|6题|选择、填空|从定义到全概率、贝叶斯公式，形成概率计算逻辑链| |分布列性质与数字特征|12题|选择、填空、解答|先性质应用，再均值方差计算及参数求解，层层递进| |常见分布模型|18题|解答为主|超几何分布到二项分布，结合实际情境强化模型应用| |正态分布|12题|选择、填空、解答|从曲线性质到参数求解，再到实际应用，体现统计思想| |综合应用|10题|解答题|整合多考点，提升复杂问题解决能力，发展数学思维|

专题09 条件概率与分布列 考点01 条件概率 考点02 全概率公式与贝叶斯公式 考点03 随机变量的分布列性质及其应用 考点04 离散型随机变量的均值与方差与性质 考点05 离散型随机变量的均值与方差求参数 考点06 超几何分布的分布列 考点07 二项分布的分布列 考点08 二项分布的随机变量概率最大问题 考点09 正态曲线的性质 考点10 根据正态曲线的对称性求参数 考点11 正态分布的实际应用 考点12 分布列的综合应用 考点01 条件概率 1．设，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，所以. 2．一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 【答案】 / / 【分析】第一空分先白后红和先红后白两种情况，由概率公式计算；第二空利用条件概率公式即可求解． 【详解】第一空： 令事件表示用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个红球的概率为， 所以， 第二空： 令事件表示不放回的抽样方式第次摸到红球，， ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 3．已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式可得出的值，根据，且与互斥，结合互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可得出的值. 【详解】由条件概率公式可得 ，所以， 又因为，且与互斥，则， 由条件概率公式可得. 4．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 5．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果. 【详解】若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 所以. 6．已知随机事件A，B满足，，，则__________． 【答案】/ 【详解】已知，，则， ，解得． 考点02 全概率公式与贝叶斯公式 7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【详解】测出阳性有两种可能，一种是阳性且试剂准确测出，一种是阴性但被误测为阳性， 概率为. 8．已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用组合计数问题及古典概型列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）从甲、乙两个盒内各任取2个球的试验有个基本事件，它们等可能， 取出的4个球中恰有1个红球的事件有个基本事件， 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率. （2）从甲盒内任取2个球的试验含有的基本事件个数， 至少取出一个红球的事件为，两球颜色均为黑色相同的事件为， 则，因此， 所以在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率. （3）令从甲盒内任取2个球中红球为的事件分别为，从乙盒中任取一球为红球的事件为， 则， ， 因此， 所以取出的球为红球的概率为. 9．小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______． 【答案】 / 【分析】用全概率公式进行求解. 【详解】设第一天选择室内健身为事件，第一天选择户外运动为事件，第二天选择室内健身为事件. 则由题意得：，，，， 由全概率公式得：， . 10．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. （2） ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 11．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 12．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 考点03 随机变量的分布列性质及其应用 13．某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为，．若对个来自甲车间，个来自乙车间的零件进行质检． (1)若从这个零件中随机抽取个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列； (2)若从这个零件中随机抽取个，求该零件可以出厂销售的概率． 【答案】(1)X的分布列为: X 0 1 2 P (2) 【详解】（1）的所有可能取值为． ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P （2）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”，则，， ，． . 14．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 4 0.1 0.3 0.2 A．0.5 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】B 【详解】因为可以取得 1，2，3，4，所以当时，，即， 即此时可取2，3， 故， 而，所以， 则. 15．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以. 16．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 17．袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 【答案】(1)的分布列为： 1 2 3 4 (2) 【详解】（1）随机变量的所有可能取值为． ， ， 的分布列为： 1 2 3 4 ∴ （2）记事件为“取出的3个球的标号和为奇数”，事件为“”． 则事件为“和为奇数，且最小标号为1”. 由题意得，，， 由条件概率公式，得． 18．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据分布列的性质求，再求，再代入期望公式求. 【详解】由条件可知，，得， ， 所以. 考点04 离散型随机变量的均值与方差与性质 19．甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【答案】 【分析】由题意可得，分别求出对应的概率，再求，最后根据求解即可. 【详解】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 20．若随机变量满足，则__________. 【答案】5.4 【详解】. 21．随机变量的分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用离散型随机变量分布列性质，离散型随机变量的期望和方差公式以及离散型随机变量方差的性质分析求解即可. 【详解】由题可知，解得， 则， 则， 所以． 22．若随机变量满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的数学期望公式计算求解. 【详解】随机变量满足，则，则. 23．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 5 P 若，则值为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【详解】依题意可得， 而，则，解得. 24．随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再由求解. 【详解】因为随机变量的可能取值为0，1，2，且， 所以， ，又因为， 所以. 考点05 离散型随机变量的均值与方差求参数 25．已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由分布列性质求得，再由期望值求出，进而求得. 【详解】由分布列性质可得，解得， 则，又， 所以，解得， 所以. 26．若随机变量，已知，则为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】若随机变量服从二项分布，则其期望公式为， 而因为，所以，解得， 该随机变量的方差为， 因为，所以. 27．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据概率之和为1求出，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以， 故. 28．随机变量X的分布列为： 0 1 2 则=（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】由分布列相关性质，建立方程求得，即可确定，后由方差性质可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 则 , . 29．若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 30．已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先根据平均数的性质确定删除的数据，再利用方差公式列出关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】由题意知：原数据的平均数为6，方差为24， 即，因此： 又因为删除某个数据后平均数没有变化，则被删去的数据等于原平均数6， 因此被删数据与平均数的差的平方为 ， 所以删除该数据后，新的方差为：, 因为 ，所以：， 所以 ，解得 . 考点06 超几何分布的分布列 31．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 【答案】(1)分布列： X 0 1 2 3 P 均值为 (2)分布列： Y 0 1 2 P 【分析】（1）识别出有放回重复抽样模型服从二项分布 ，利用二项分布概率公式计算各取值的概率，再通过期望定义或二项分布期望公式求解均值. （2）以“从甲袋中取出的球的颜色”为划分依据，利用全概率公式，结合超几何分布计算不同条件下从乙袋取红球的概率，合成得到随机变量 的分布列. 【详解】（1）由题意，的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 或由题意，所以． （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则，， 则由题意的可能取值为0，1，2， ， ， ． 所以的分布列为： Y 0 1 2 P 32．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”． （i）求条件概率的值 （ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列． 【答案】(1)（i）；（ii）事件与不相互独立，理由见上述解析. (2) 0 1 2 3 【分析】（1）（i）结合图表利用条件概率公式计算，（ii）结合独立事件的充要条件求解判断； （2）利用超几何分布概率公式计算概率进而求得分布列. 【详解】（1）（i）结合图表可得：研发投入不超过2000万元的企业共5家， 专利产出数超过8件的企业共3家，同时满足两个条件的企业共1家，即，， 由条件概率公式：，代入得：. （ii）由（i）知已知，，且， 则： 因此事件与不相互独立. （2）由图表可得：专利产出数大于6件的企业共4家，不大于6件的共3家， 服从超几何分布，可能取值为，总抽取情况数，则： 因此的分布列为： 0 1 2 3 33．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 【答案】1 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望公式计算可得结果. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以. 34．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用超几何分布即可求解. 【详解】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布， 则. 35．一个不透光的盒子中装有6个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球，1个黄球，从中一次性摸出3个小球． (1)求摸出的3个小球中至少有1个是蓝球的概率； (2)用随机变量X表示摸出的3个小球中不同的颜色数，求X的分布列及其数学期望． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）事件A由1个蓝球2个其他颜色球，和2个蓝球1个其他颜色球两个事件构成， 方法一：直接求解 方法二：由求解即可； （2）由随机变量X的可能取值为：1，2，3， 法一：求解，，由求解即可， 法二：直接求解 列出分布列，再求解期望即可 【详解】（1）用事件A表示摸出的3个小球中至少有1个是蓝球，则事件A由1个蓝球2个其他颜色球，和2个蓝球1个其他颜色球两个事件构成， 法一：则． 法二：则． （2）随机变量X的可能取值为：1，2，3， ， ， 法一：， 法二：， 则随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望 36．某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． (1)求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； (2)设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)2 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案. （2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望. （3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为， 所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为； （2）X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以； （3）当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 当时，，， ，故m的最小值为2． 考点07 二项分布的分布列 37．在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 【分析】（1）先求出甲被录用的概率，再利用对立事件即可求解； （2）首先说明服从二项分布，进而可得分布列和期望. 【详解】（1）设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. （2）由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 38．某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 5 . 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果. （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望. 【详解】（1）设事件：第二次识别成功；事件：次中恰有3次识别成功. 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 所以. 因为，所以. （2）由题意，得，且的所有可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 39．某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”． (1)求一个测试样片组为“智能组”的概率； (2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 【分析】（1）使用二项分布概率公式，独立事件概率公式求解； （2）使用二项分布概率公式，期望公式求解. 【详解】（1）设甲、乙方案修复成功的张数分别为，，则，， 则，， ，， ，， “智能组”成功分为三种情况： 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以一个测试样片组为“智能组”的概率为. （2）由题意可知，，可能的取值为：0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 40．若随机变量，且，则____________． 【答案】/ 【分析】利用二项分布中的对立事件为，结合对立事件概率公式列方程求解. 【详解】随机变量，根据对立事件的概率性质， 代入，可得， ，得， 解得. 41．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：B 42．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望； (2) ，元. 【分析】（1）结合题意可得服从参数为的二项分布，进而利用二项分布的概率公式计算概率，列出分布列，再通过二项分布期望公式计算期望； （2）根据题目给出的费用规则，建立与的线性关系式，利用数学期望的线性性质，代入的期望计算的期望. 【详解】（1）由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量，的所有可能取值为，可得对应概率为： ，， ，， 因此的分布列为： X 0 1 2 3 P 由二项分布期望公式得： （2）3个零件的基础检测费用为元，每发现1个不合格品额外支出25元， 因此总费用满足关系式：, 由期望的线性性质：, 即的数学期望为元. 考点08 二项分布的随机变量概率最大问题 43．某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 【答案】(1)，中位数为70.4 (2)7 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积和为1即可求，再根据中位数的求法求解； （2）由题可知随机变量，再根据二项分布概率最大值的求法求解． 【详解】（1）由题知：，解得 设中位数为，则， 解得，故中位数为70.4； （2）因为样本中80分以上的频率为， 故随机变量 所以（，1，2，…，30）， 当最大时，， 得 得 得，所以 ，得 又因为，所以当最大时的值为7． 44．随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)； (2)1013． 【分析】(1)求所有五位二进制数构成的集合中，0出现的次数大于2的概率，计算样本点，通过古典概型概率公式计算概率； (2)因为除第一个位置，其余每个位置出现的结果只有0或1两种可能，并且每一个结果出现都是独立的且概率为，故随机变量服从二项分布，可利用二项分布的概率公式计算． 【详解】（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 分别为，所以． （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 所以，所以， 记，则最大等价于最大： ， 所以，此时单调递增；，此时单调递减， 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 45．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【答案】13或14 【分析】根据题意可得，利用二项分布的公式求解即可. 【详解】由题可得每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大 46．在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 【答案】(1)与不相互独立 (2) 【分析】（1）先分别计算，，，再验证是否满足; （2）利用二项分布的概率公式列出和的表达式，列出不等式后可解出的范围，即可求出最大值时的值. 【详解】（1）由题意得， 因为， ，所以，所以与不相互独立． （2）由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 且，解得， 又因为，所以； 时，有最大值． 47．若，则（，）取得最大值时，________． 【答案】6或7 【详解】由题意知，X服从二项分布，所以，且． 由不等式（且），得，解得． 所以当时，； 当时，， 因为当且仅当时，， 所以当或时，取得最大值． 48．入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 (3)12 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算即可. （2）判断的可能取值，结合题干规则利用乘法公式和加法公式计算即可. （3）利用二项分布结合二项式定理求最值即可. 【详解】（1）由频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）由题意知，壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 壶3投中的概率为，壶3未投中的概率为， 这位学生在“过关比赛”中投中次数的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以这位学生在“过关比赛”中投中次数的分布列为 0 1 2 3 则. （3）壶2投中的概率为. 记这位同学投中壶 2的次数为，则. 则，. 假设投中壶2的次数为时概率最大，则 ，即， 解得，又，所以. 投完 20次之后，这位同学投中壶 2的次数为12时，概率最大. 考点09 正态曲线的性质 49．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 50．随机变量服从正态分布，若，则________ 【答案】0.2/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 51．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 52．已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，； ，. 对于A，，，无法推出，故A错误； 对于B，； ，，故B错误； 对于C，D，，，得；由，无法确定与0.9的大小关系，故C不一定成立，D正确. 53．已知随机变量满足，若，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据题意，求得，再由，即可求解. 【详解】因为随机变量满足，若，可得， 又因为，可得， 则. 54．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 考点10 根据正态曲线的对称性求参数 55．已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，， 则原不等式转化为， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此 56．设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 57．某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】∵ 直径服从正态分布，∴ 正态分布曲线的对称轴为，. ∵ ， ∴ . 又∵ ，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称， ∴ ，解得，即. 综上可得，，故选项C正确. 58．已知随机变量X服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 59．已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性性质得到，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称， 因为，根据正态分布的对称性性质得 化简得，所以 所以 根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立， 此时结合 ，，得, , 所以，当且仅当, , 等号成立， 所以 的最小值为 . 60．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点成中心对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称 【答案】D 【详解】由正态分布的性质可知，单调递增，所以没有对称轴， 因为正态分布密度曲线的对称轴是， 所以， 即，所以函数的图象关于点对称， 故ABC错误，D正确． 考点11 正态分布的实际应用 61．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 【答案】D 【分析】应用正态分布概率计算求解. 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 62．某部武警官兵的身高指标．现要从一个大队400名战士中选取礼仪兵，要求礼仪兵的身高指标，估计这400名战士中符合“”的有（   ）（四舍五入到个位） 参考数据：若，则， A．7人 B．9人 C．12人 D．16人 【答案】B 【详解】由题意，得， 所以． 因为，所以估计这400名战士中符合“”的有9人． 63．一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【答案】(1) (2)（i）万人（ii） 0 1 2 3 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 64．某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 65．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)32 (2)8186 (3) 0 1000 2000 3000 4000 ，1100 【分析】（1）利用方差合并公式求方差即可； （2）由正态分布特殊区间的概率及其对称性求区间概率，进而估计区间人数； （3）由题意Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000，求出对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 66．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【答案】(1)70.5 (2)人 (3) 【分析】（1）代入平均数公式求解； （2）首先根据参考数据计算，再计算人数； （3）根据（2）的结果，转化为二项分布求概率. 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 考点12 分布列的综合应用 67．为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． (1)已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii） (2)244.8元 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【详解】（1）（i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. （2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 68．为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【答案】(1) 1 2 3 4 (2)获得张或张的概率最大，最大概率为 【分析】（1）由题可知变量服从超几何分布，按超几何分布概率公式求解即可； （2）每轮获得“挑战达人”票的概率即为变量取或，概率相加即可；由题可知，在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数服从二项分布，代入二项分布概率公式求解即可. 【详解】（1）由题可知：X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望； （2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为． 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y，则， 所以，， ，， ，， ，， 所以当获得张或张时，概率最大，最大概率为. 69．为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列 Y 0 1 2 3 4 ， 【详解】（1）设为取出的不合格零件个数，事件：取出的4个零件中至少有一个不合格；事件：取出的4个零件中恰好有2个不合格． 所以． 因此． 故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下，恰好有2个不合格的概率为． （2）由题意，每件产品合格的概率，不合格的概率为，抽取个数，且各零件质量相互独立， 因此服从二项分布． 的可能取值为， 故的分布列为 Y 0 1 2 3 4 期望， 方差． 70．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】(1)， (2) 0 1 2 3 4 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可； （2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可； （3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出，进而分析得出最值及的值． 【详解】（1）根据频率直方图的性质可得，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 71．（工业生产者出厂价格指数）是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当指数高于100表示环比上涨，低于100表示环比下跌，等于100表示持平． 下表为2025年10个月（1月-10月）的分行业（文教、工美、体育和娱乐用品制造业）、（汽车制造业）、（计算机、通信和其他电子设备制造业）的（环比）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 分行业 100.3 101.1 99.8 101.7 100.9 100.9 100.2 100.5 101.3 103.3 分行业 100.2 99.9 99.7 99.5 100 100.2 99.7 99.6 99.5 99.8 分行业 99.7 100 99.8 99.8 100.1 99.6 99.6 99.3 99.8 99.7 (1)从这10个月中随机抽取一个月，求该月的分行业的环比上涨的概率； (2)从这10个月中随机抽取三个月，记随机变量为此三个月中分行业和同时环比下跌的月份个数，求的分布列和期望； (3)从1月至4月这4个月中随机抽取两个月，记随机变量为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出的期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【分析】（1）先统计行业的指数高于100的月份，进而根据古典概型公式即可求概率； （2）先确定分行业和同时环比下跌的月份总数，从而得到随机变量的取值，再结合超几何分布，计算各取值的概率，从而得到分布列，再求解期望即可； （3）先分别计算出三个行业满足“抽取两个月，恰好一涨一跌”的概率，再利用期望线性性，进而求出其期望． 【详解】（1）由分行业的环比上涨的月份有1月和6月，共2个月， 所以该月的分行业的环比上涨的概率为． （2）由分行业和的指数同时环比下跌的月份有3月、4月、7月、8月、9月和10月，共6个月， 则随机变量的取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 故期望为． （3）以下为各行业1-4月的涨跌情况， 分行业：3个月上涨，1个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为； 分行业：1个月上涨，3个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为； 分行业：1个月持平，3个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为， 又由期望的线性性，所以的期望为． 72．某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． (1)求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； (2)若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； (3)在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 (3)两次均使用第一代技术 【分析】（1）利用对立事件，计算两次均失败的概率，再用1减去即得至少一次成功的概率； （2）根据实验流程分类讨论所有可能成功次数，分别计算每种情况的概率，得到分布列后求期望； （3）设使用第一代技术的次数为，写出总成本与期望成功次数的表达式，再求净收益期望关于的线性函数，由单调性确定最优解. 【详解】（1）设使用第一代技术编辑成功为事件，使用第二代技术编辑成功为事件，两次编辑至少成功一次为事件， 则， 所以， 所以使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为； （2）根据题意，随机变量的可能取值为， 即所有实验均失败，所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段均失败和第一阶段均失败且第二阶段恰好成功1次， 所以； 分为三种互斥情况： ①第一阶段成功2次，实验停止，概率为； ②第一阶段成功0次，第二阶段成功2次，概率为 ； ③第一阶段成功1次，第二阶段成功1次，概率为； 所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段2次均成功， 所以， 所以整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）设2次编辑中使用第一代技术的次数为，所以可能的取值为， 所以使用第二代次数为， 设总成本为，所以， 总成功次数期望，设净收益为， 所以， 函数值随增大而增大，所以时净收益最大，即两次均使用第一代技术. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 条件概率与分布列 考点01 条件概率 考点02 全概率公式与贝叶斯公式 考点03 随机变量的分布列性质及其应用 考点04 离散型随机变量的均值与方差与性质 考点05 离散型随机变量的均值与方差求参数 考点06 超几何分布的分布列 考点07 二项分布的分布列 考点08 二项分布的随机变量概率最大问题 考点09 正态曲线的性质 考点10 根据正态曲线的对称性求参数 考点11 正态分布的实际应用 考点12 分布列的综合应用 考点01 条件概率 1．设，，，则（    ） A． B． C． D．1 2．一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 3．已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 5．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（   ） A． B． C． D． 6．已知随机事件A，B满足，，，则__________． 考点02 全概率公式与贝叶斯公式 7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 8．已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 9．小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______． 10．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 11．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 12．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 考点03 随机变量的分布列性质及其应用 13．某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为，．若对个来自甲车间，个来自乙车间的零件进行质检． (1)若从这个零件中随机抽取个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列； (2)若从这个零件中随机抽取个，求该零件可以出厂销售的概率． 14．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 4 0.1 0.3 0.2 A．0.5 B．0.7 C．0.4 D．0.3 15．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 16．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 17．袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 18．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 考点04 离散型随机变量的均值与方差与性质 19．甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 20．若随机变量满足，则__________. 21．随机变量的分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C．1 D．2 22．若随机变量满足，且，则（     ） A． B． C． D． 23．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 5 P 若，则值为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 24．随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（   ） A． B． C． D． 考点05 离散型随机变量的均值与方差求参数 25．已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．若随机变量，已知，则为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 27．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 28．随机变量X的分布列为： 0 1 2 则=（    ） A． B． C． D．5 29．若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 30．已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点06 超几何分布的分布列 31．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 32．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”． （i）求条件概率的值 （ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列． 33．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 34．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 35．一个不透光的盒子中装有6个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球，1个黄球，从中一次性摸出3个小球． (1)求摸出的3个小球中至少有1个是蓝球的概率； (2)用随机变量X表示摸出的3个小球中不同的颜色数，求X的分布列及其数学期望． X 1 2 3 P 36．某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． (1)求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； (2)设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 考点07 二项分布的分布列 37．在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 38．某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 39．某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”． (1)求一个测试样片组为“智能组”的概率； (2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望． 40．若随机变量，且，则____________． 41．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 42．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 考点08 二项分布的随机变量概率最大问题 43．某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 44．随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 45．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 46．在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 47．若，则（，）取得最大值时，________． 48．入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 考点09 正态曲线的性质 49．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 50．随机变量服从正态分布，若，则________ 51．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 52．已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 53．已知随机变量满足，若，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 54．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 考点10 根据正态曲线的对称性求参数 55．已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 56．设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 57．某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 58．已知随机变量X服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 59．已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 60．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点成中心对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称 考点11 正态分布的实际应用 61．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 62．某部武警官兵的身高指标．现要从一个大队400名战士中选取礼仪兵，要求礼仪兵的身高指标，估计这400名战士中符合“”的有（   ）（四舍五入到个位） 参考数据：若，则， A．7人 B．9人 C．12人 D．16人 63．一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 64．某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 65．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 66．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 考点12 分布列的综合应用 67．为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． (1)已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 68．为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 69．为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 70．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 71．（工业生产者出厂价格指数）是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当指数高于100表示环比上涨，低于100表示环比下跌，等于100表示持平． 下表为2025年10个月（1月-10月）的分行业（文教、工美、体育和娱乐用品制造业）、（汽车制造业）、（计算机、通信和其他电子设备制造业）的（环比）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 分行业 100.3 101.1 99.8 101.7 100.9 100.9 100.2 100.5 101.3 103.3 分行业 100.2 99.9 99.7 99.5 100 100.2 99.7 99.6 99.5 99.8 分行业 99.7 100 99.8 99.8 100.1 99.6 99.6 99.3 99.8 99.7 (1)从这10个月中随机抽取一个月，求该月的分行业的环比上涨的概率； (2)从这10个月中随机抽取三个月，记随机变量为此三个月中分行业和同时环比下跌的月份个数，求的分布列和期望； (3)从1月至4月这4个月中随机抽取两个月，记随机变量为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出的期望． 72．某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． (1)求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； (2)若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； (3)在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $