精品解析： 山东省烟台市芝罘区2024- 2025学年九年级下学期数学期中试题

初四数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出蓝色部分所占整体的几分之几即可． 【详解】解：蓝色部分所在的圆心角的度数为360°-210°-90°=60°， 因此蓝色部分所占整体的=，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 4. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键． 5. 用一张等宽纸条按图示方法折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质及对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先根据对顶角相等求出，再根据两直线平行同旁内角补角求出，然后根据折叠即可得出答案． 【详解】解：∵纸条的两边平行， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 6. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（ ） A. 中位数是10.5 B. 平均数是10.3 C. 众数是10 D. 方差是0.81 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可． 【详解】解：将该组数据从小到大排列依次为：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12； 位于最中间的两个数是10，10，它们的平均数是10， 所以该组数据中位数是10，故A选项符合题意； 该组数据平均数为：，故B选项不符合题意； 该组数据10出现次数最多，因此众数是10，故C选项不符合题意； 该组数据方差为：，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义以及方差和平均数的计算公式，解决本题的关键是牢记相关概念与公式等，本题的易错点是容易将表格中的数据混淆，同时计算容易出现错误，因此需要学生有一定的计算能力． 7. 如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下： 小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形． 小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形． 则关于两人的作法，下列判断正确的为（ ） A. 小明正确 B. 小亮正确 C. 小明和小亮均错误 D. 小明和小亮均正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 证明，得出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解；由平行线的性质，，由角平分线的定义得出，，得出，，由等角对等边得出，，推出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解． 【详解】解：如图1：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故小明的作法正确； 如图2， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故小亮的作法正确； 故选：D． 8. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得： ． 故选B． 9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据抛物线的对称性解答②；根据对称轴是求出，再代入判断③；然后根据抛物线和x轴的交点可知，再根据时，，可知，即可判断④；最后根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，及对称轴判断a，b，c的大小，判断①，进而得出答案． 【详解】解：∵对称轴为直线，， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，③错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 由题意可知时，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ∴，． ∵， ∴， ∴，①错误. 故选：B． 10. 如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点．下列结论： ①；②；③平分；④当E为中点时，．其中正确的结论是（ ） A. ②④ B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，延长到G，使得，连接，可证明得到，，再证明，得到，据此可判断①③；将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，可证明，得到，根据，可得，据此可判断②；设正方形的边长为，，则，由勾股定理可得，解方程即可判断④． 【详解】解：如图所示，延长到G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故③正确； ∵， ∴，故①正确； 如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接， 由旋转的性质可得， 同理可得证明， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 不妨设正方形的边长为，，则， ∵E为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 12. 如图，扇形的圆心角为，C是中点，交弧于点D，若弧的长为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，弧长公式，解直角三角形，连接，设，根据弧长公式列出方程求出r的值，再解求出的度数，进而求出的长，最后根据列式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，设， ∵弧的长为， ∴， ∴， ∴， ∵C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________． 【答案】34 【解析】 【分析】首先根据等边对等角得到，然后利用外角的性质得到，利用切线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵切于点A， ∴， ∴． 故答案为：34． 【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14. 如图，已知反比例函数（）的图象与矩形的对角线交于点P，与边上的点D、E，若，四边形的面积为10，则k的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 由反比例函数k的几何意义得到，过点作轴于点，作轴于点，那么，然后可得，则，，同理得，那么，由四边形的面积为10，建立方程，即可求解． 【详解】解：∵、、位于反比例函数的图象上， ∴， 过点作轴于点，作轴于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点P在反比例函数的图象上， 则， 又∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 同理得， ∴ 则， ∵函数图象在第一象限， ， ∵四边形的面积为10， 则， ． 故答案为：8． 15. 如图是由4个含有60°的菱形拼成的图案，A、B、C都在格点上，则tan∠BAC的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，连接，可证明是等边三角形得到，，再证明得到，据此设出小菱形的边长，利用勾股定理求出，再根据正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由菱形的性质可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 设小菱形的变成为，则， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点P与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点p在以O为圆心，为半径的劣弧上运动， 连接，交于N，当点p与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先将原式化简为，再根据，x为整数，，，，等条件求得，代入计算即可． 【详解】解：原式 ，x为整数， ∴x的值为，0，1，2， ，，， ，，， x只能取2， 当时， 原式 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， 分别为，的中点， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 本题根据平行四边形的性质可得，再根据分别为，的中点，可得，然后证明，然后即可求解； 【详解】略 19. 学校把学生参与劳动教育情况纳入积分考核.学校抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图. 等级 劳动积分 人数 请根据图表信息，解答下列问题： （1）统计表中 ，等级对应扇形的圆心角的度数为 ； （2）学校规定劳动积分大于等于的学生为“劳动之星”.若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； （3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率. 【答案】（1）， （2）该学校“劳动之星”大约有人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图与统计表、概率； （1）根据统计图可得抽取学生的总人数为50人，然后可得m的值，进而问题可求解； （2）根据题意易知大于等于80的学生所占比，然后问题可求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为， ∴抽取学生的总人数为（人）， ∴，A等级对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为15，； 【小问2详解】 解：由题意得： （人）， 答：该学校“劳动之星”大约有人 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男1男2 / 男2女1 男2女2 女1 男1女1 男2女1 / 女1女2 女2 男1女2 男2女2 女1女2 / 从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取2人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有8种情况，所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ， 在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 方法一：连接，作轴于G， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 21. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识． （1）作于，由，，可得，即可求解； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）如图，作于， ，． 在中，，即， ， 答：遮阳篷前端到墙面的距离约为； （2）解：如图，作于，于，延长交于，则， 四边形、四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， 在中，，即， ， ， 答：挡沿部分的长约为． 22. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点C的切线与直径的延长线相交于点P，连结． （1）求证：是的切线． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 是的切线， ， ，是直径， ， ， 在和中， ， ， ， D在上， 是的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，得出，根据切线的判定推出即可； （2）根据圆周角定理得出，在求出，，然后求出，得出，根据得出，根据相似得出的比例式求得，，利用即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 如图，点E在正方形的边延长线上（），连接，于点F，交于点P，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，证明的形状，并求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴； （2） （3） 是等腰直角三角形， 证明：连接 ∵以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，且四边形是正方形， 由题意可得与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； 【解析】 【分析】（1）通过证明进行分析推理； （2）通过证明四点共圆，结合等腰直角三角形的性质分析求解； （3）通过证明，结合全等三角形的性质求得，从而确定的形状，通过证明，根据相似三角形的性质分析求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵，∴， 又∵， ∴四点共圆， 又（1）可得，且， ∴； 【小问3详解】 解：∵，均为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，灵活运用圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是本题解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知，且，P是抛物线上一动点（不与A、B、C重合），其横坐标为n． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若，且的面积是5，求n的值； （3）是否存在n的值，使与中某个角的大小相等？若存在，请求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或5或6 【解析】 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于Q，根据题意可得点P的坐标为，根据建立方程求解即可； （3）分 ，和，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 把A、B、C三点坐标代入解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作轴于Q， ∵点P是抛物线上一点，且其横坐标为n， ∴点P的坐标为， ∵，， ∴点P在第一象限，且在点B右侧， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：如图所示，当时，连接与x轴交于F，连接， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 联立得，解得或（舍去）， ∴； 当时，则，即轴， ∴点P与点C关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴，即； 如图所示，当时，过点P作轴于T，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，n的值为或5或6． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 用一张等宽纸条按图示方法折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（ ） A. 中位数是10.5 B. 平均数是10.3 C. 众数是10 D. 方差是0.81 7. 如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下： 小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形． 小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形． 则关于两人的作法，下列判断正确的为（ ） A. 小明正确 B. 小亮正确 C. 小明和小亮均错误 D. 小明和小亮均正确 8. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在正方形中，E、F分别是和上的动点，且，交和于M、N两点．下列结论： ①；②；③平分；④当E为中点时，．其中正确的结论是（ ） A. ②④ B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 12. 如图，扇形的圆心角为，C是中点，交弧于点D，若弧的长为，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________． 14. 如图，已知反比例函数（）的图象与矩形的对角线交于点P，与边上的点D、E，若，四边形的面积为10，则k的值是______． 15. 如图是由4个含有60°的菱形拼成的图案，A、B、C都在格点上，则tan∠BAC的值是______． 16. 如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是______． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 19. 学校把学生参与劳动教育情况纳入积分考核.学校抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图. 等级 劳动积分 人数 请根据图表信息，解答下列问题： （1）统计表中 ，等级对应扇形的圆心角的度数为 ； （2）学校规定劳动积分大于等于的学生为“劳动之星”.若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； （3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率. 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 21. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 22. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点C的切线与直径的延长线相交于点P，连结． （1）求证：是的切线． （2）若，，求直径的长． 23. 如图，点E在正方形的边延长线上（），连接，于点F，交于点P，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，证明的形状，并求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知，且，P是抛物线上一动点（不与A、B、C重合），其横坐标为n． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若，且的面积是5，求n的值； （3）是否存在n的值，使与中某个角的大小相等？若存在，请求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $