精品解析：安徽省安庆市潜山市2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024－2025学年下学期期中考试九年级数学试卷 注意事项：1．本卷满分150分，答题时间120分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 2024年“双11”期间，淘宝的交易额为5314亿元，相比去年增长了18.5%，其中5314亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 水稻仓储是由一个圆柱和圆锥组成的几何体如图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 为提高青少年的艺术素养，某校举办了中学生绘画作品评选活动，七（1）班的小李和另外3名学生以及七（2）班的小张、小王共6名学生的作品脱颖而出．若学校决定从七（1）班的这4名学生中抽取1人，从七（2）班的这2名学生中抽取1人共同去参加绘画技巧培训讲座，抽到的恰好是小李和小张的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 据市科技局发布，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我市高新技术企业数量分别为m家和n家，则（ ） A. B. C. D. 5. 根据2023年合肥市春节期间8天的空气质量指数PM2.5绘制的折线统计图如下，根据统计图中的数据，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差是22 B. 这组数据的中位数是49.5 C. 这组数据的平均数是52 D. 这组数据的众数是47 6. 将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ） A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 5 8. 如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 10或30 9. 如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的四等分点，，连接，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. π 10. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B的坐标为，轴，垂足为点A，轴，垂足为点C，函数在第一象限的图象与线段交于点F，与交于点E，直线分别与x，y轴相交于点G，D．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______． 13. 如图，在正方形中，边长为，的延长线分别交和于点，若，，则______． 14. 如图，矩形和矩形如图1放置，点G恰好在的延长线上，其中，． （1）如图1，连接，则______°，______； （2）如图2，当点F在的延长线上时，______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； （1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个；第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个； （2）按照这一规律，这类物质第几种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子？请说明理由． （3）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的位置如图． （1）以C为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，然后向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，画出； （2）连接，过点C作的高； （3）过的中点E作． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1是户外钓鱼者，在斜坡上钓鱼，坡度为，抽象成数学图形如图2，鱼竿竿稍位于点A处，距离斜坡面，鱼竿，与身体的夹角，鱼线，与形成的夹角，鱼群在点C处，钓鱼者应把钓椅放在斜坡长度为多少时最合适？（参考数据：，，，，，，，，结果精确到个位） 20. 已知在直角三角形中，，以为直径作，圆上一点D满足，延长与相交于点E，与相交于点F． （1）若点D为的中点，求证：； （2）若，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 学校艺术节期间，学校要求班级征集美术作品进行展演，根据七（8）班交上来的作品数量制作了两个统计图，这两个图不完整，如图所示： （1）求该班共多少人参加作品征集，该班级平均每人参加展演的作品数是多少？并把第2个统计图补充完整； （2）参选3幅作品的同学中有1名女生，参选4幅作品的同学中有1名男生，如果要从这两类学生中各选出一名同学参加展演，用你学过的方法求出所选两名同学恰好是一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 【初步探究】如图1，在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求的值； 【深入研究】如图2，在四边形中，，，点F是的中点，点E在边上，，与交于点G，求证：； 【拓展延伸】如图3，在【深入研究】的条件下，连接，且，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 一水渠截面是个抛物线形状，如图1，建立平面直角坐标系，抛物线的图象经过的点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）如图2，横坐标相同的两点，轴，交抛物线于点，交于点，交轴于点，点在抛物线上，若． ①求点到直线的距离； ②求长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年下学期期中考试九年级数学试卷 注意事项：1．本卷满分150分，答题时间120分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 2024年“双11”期间，淘宝的交易额为5314亿元，相比去年增长了18.5%，其中5314亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：5314亿， 故选：C． 2. 水稻仓储是由一个圆柱和圆锥组成的几何体如图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，即可得答案，正确理解主视图是解题的关键． 【详解】解：其主视图是： 故选：A． 3. 为提高青少年的艺术素养，某校举办了中学生绘画作品评选活动，七（1）班的小李和另外3名学生以及七（2）班的小张、小王共6名学生的作品脱颖而出．若学校决定从七（1）班的这4名学生中抽取1人，从七（2）班的这2名学生中抽取1人共同去参加绘画技巧培训讲座，抽到的恰好是小李和小张的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的恰好是小李和小张的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将七（1）班的另外3名学生分别记为，，， 列表如下： 小张 小王 小李 （小李，小张） （小李，小王） （，小张） （，小王） ，小张） ，小王） ，小张） ，小王） 共有8种等可能的结果，其中抽到的恰好是小李和小张的结果有1种， 抽到的恰好是小李和小张的概率为． 故选：D． 4. 据市科技局发布，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我市高新技术企业数量分别为m家和n家，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．可得2023年我市高新技术企业数量为，2024年我市高新技术企业数量为，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，, 故选：B． 5. 根据2023年合肥市春节期间8天的空气质量指数PM2.5绘制的折线统计图如下，根据统计图中的数据，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差是22 B. 这组数据的中位数是49.5 C. 这组数据的平均数是52 D. 这组数据的众数是47 【答案】D 【解析】 【分析】本题是统计题，考查极差、平均数、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；据此求解即可． 【详解】解：A、极差为：，故本选项不符合题意； B、中位数为：，故本选项不符合题意； C、平均数是，故本选项不符合题意； D、出现的次数最多，是2次， 众数为：47，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每个不等式的解集，得出不等式组的解集为，然后在数轴上表示该解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： ， 故选：C 7. 若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ） A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 8. 如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 10或30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，求当时，的范围，进而即可得到a的值，即可回答问题 【详解】解：设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∵墙的最大长度为， ∴， ∵最大值， ∴，即或（不合题意舍去）， ∴． 故选：A． 9. 如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的四等分点，，连接，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. π 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积和三角形面积，解题的关键是把阴影部分的面积转化为规则图形的面积求解．由已知条件利用弧长公式求出半径．连接，图中阴影部分的面积为扇形面积和三角形面积和． 【详解】解：如图，连接． 点C，D是以为直径的半圆O的四等分点， ． 的长为， ，解得． ． ， ， ． ， ． ． ． 故选：A 10. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B的坐标为，轴，垂足为点A，轴，垂足为点C，函数在第一象限的图象与线段交于点F，与交于点E，直线分别与x，y轴相交于点G，D．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设点E的坐标为，点F的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，求出点G的坐标为，证明，然后利用相似三角形的性质得，进而可求出k的值． 【详解】∵点B的坐标为， ∴在矩形中，，． 设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点G的坐标为， ∴． ∵点E的坐标为， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵，即， ∴，即， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 先用积的乘方计算然后再提公因式，最后再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 12. 如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关概念等知识，连接，证明，则有，，再由直角三角形性质可得，然后通过勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，边长为，的延长线分别交和于点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，得到，得到，求出，得到 ，可证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，矩形和矩形如图1放置，点G恰好在的延长线上，其中，． （1）如图1，连接，则______°，______； （2）如图2，当点F在的延长线上时，______． 【答案】 ①. 30 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定及性质， （1）根据矩形的性质得到，，，从而求出，得到，即可得到．证明，根据相似三角形的性质即可解答； （2）证明，得到，，根据即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 由矩形和矩形得，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：30； （2）当点F在的延长线上时， ∵四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴，． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，先根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再算绝对值和二次根式的乘法，然后算加减即可． 【详解】解： ． 16. 某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 【答案】方案二需要的时间为分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为，根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的倍”列出方程即可解答． 【详解】解：设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为，列方程得 ， 方程两边乘，得，， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为：， 答：方案二需要的时间为78分钟． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； （1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个；第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个； （2）按照这一规律，这类物质第几种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子？请说明理由． （3）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 【答案】（1）22； （2） 解：这类物质第1011种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子，理由如下： 当时，解得， ∴这类物质第1011种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子； （3） 解；这类物质是不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子，理由如下： 当时，解得， 又∵n为正整数， ∴此时不满足题意， ∴这类物质是不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察前面三幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：图①有个氢原子， 图②有个氢原子， 图③有个氢原子， ……， 以此类推，可知图n中有个氢原子， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个； 故答案为：22；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的位置如图． （1）以C为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，然后向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，画出； （2）连接，过点C作的高； （3）过的中点E作． 【答案】（1） 如图所示即为所求 （2） 如图所示：即为所求 （3） 如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，平行线的性质，熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键． （1）以为旋转中心，将线段顺时针旋转．根据网格特点，利用方格纸的直角，确定点绕点顺时针旋转后的对应点的位置，连接得到线段 ．将线段向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到、，连接． （2）连接 ，利用网格线得点M，N ，构造矩形，连接交于点D，画出，根据为等腰直角三角形，即为的高． （3）通过数方格找到点B，由网格图可知，，得四边形为正方形，然后在网格线构造矩形利用对角线的性质，确定线段的中点 ．连接交于的点F，根据正方形的性质得点F为的中点，连接，根据中位线的性质得，由（1）平移得过点，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1是户外钓鱼者，在斜坡上钓鱼，坡度为，抽象成数学图形如图2，鱼竿竿稍位于点A处，距离斜坡面，鱼竿，与身体的夹角，鱼线，与形成的夹角，鱼群在点C处，钓鱼者应把钓椅放在斜坡长度为多少时最合适？（参考数据：，，，，，，，，结果精确到个位） 【答案】钓鱼者应把钓椅放在斜坡长度为时最合适 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，构造直角、，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．过点B作于点G，过点C作，延长交于点H．先求得，再求得，可得，再由勾股定理可得，再求解即可． 【详解】解：过点B作于点G，过点C作，延长交于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵的坡度为， ∴， ∴钓鱼者应把钓椅放在斜坡长度为时最合适． 20. 已知在直角三角形中，，以为直径作，圆上一点D满足，延长与相交于点E，与相交于点F． （1）若点D为的中点，求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：为的直径， ． ∵点D为的中点， ， ． 在和中， ， ． （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，设利用勾股定理得，再结合，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 为的直径， ． 在和中， ． ， ． 设， 由勾股定理得，， ，， 即 解得． 为的直径， 的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 学校艺术节期间，学校要求班级征集美术作品进行展演，根据七（8）班交上来的作品数量制作了两个统计图，这两个图不完整，如图所示： （1）求该班共多少人参加作品征集，该班级平均每人参加展演的作品数是多少？并把第2个统计图补充完整； （2）参选3幅作品的同学中有1名女生，参选4幅作品的同学中有1名男生，如果要从这两类学生中各选出一名同学参加展演，用你学过的方法求出所选两名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）3幅， 补充完整的图如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用3幅作品的人数除以其所占百分比得出该班共参加作品征集的人数，再计算该班级平均每人参加展演的作品数，再补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽中一名男生一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：该班参加作品征集的人数为； 参选4幅作品的人数为； 该班级平均每人参加展演的作品数为（幅）． 【小问2详解】 解：记参选3幅作品的同学为男1，男2，女1，参选4幅作品的同学为男3，女2，女3，女4画树状图如下： 由上得，所选两名同学恰好是一名男同学和一名女同学的概率． 七、（本题满分12分） 22. 【初步探究】如图1，在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求的值； 【深入研究】如图2，在四边形中，，，点F是的中点，点E在边上，，与交于点G，求证：； 【拓展延伸】如图3，在【深入研究】的条件下，连接，且，求证：． 【答案】【初步探究】； 【深入研究】 证明：如图1，过点F作，交于点H，连接， ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴H是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵，点H是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴． 【拓展延伸】 证明：如图2，过点E作于点I，连接，过点F作， 可得四边形是矩形，． 由[深入研究]知，， 设， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，再证明，由相似三角形的性质可得结论； （2）过点F作，交于点H，连接，由三角形中位线的性质可得．从而求得，再证明四边形是平行四边形，可得．再由，点H是的中点，可得，求得，最后由等腰三角形的判定可得．即可得证； （3）过点E作于点I，连接，过点F作，设，则．由勾股定理求得．再证明垂直平分，可得．再证明，可得，从则可得结果． 【详解】[初步探究] 解：∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴． [深入研究]：略 [拓展延伸]：略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 一水渠截面是个抛物线形状，如图1，建立平面直角坐标系，抛物线的图象经过的点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）如图2，横坐标相同的两点，轴，交抛物线于点，交于点，交轴于点，点在抛物线上，若． ①求点到直线的距离； ②求长度的最小值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）①点到直线的距离为；②长度的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据，，可得，求出直线的解析式为，联立上式和抛物线的解析式得，即可求得点的横坐标进而即可求解； （3）①求出直线的解析式为，设点，则点， 则，．设点到直线的距离为，根据，即可求得点到直线的距离为． ②设点，则点或， 则 或，根据二次函数的性质即可求得长度的最小值为1． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过点． ， ， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：，， ， ， 点是第二象限内抛物线上一点， 直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为． 【小问3详解】 解：①设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 则，． 设点到直线的距离为， ∵， ∴， ， 解得：， 点到直线的距离为． ②设点，则点或， 则 或， 当时，有最小值1， 故当时，取得最小值1； 同理可得， 当时，取最小值1． 当时，取得最小值1； 综上，长度的最小值为1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与面积问题，线段问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $