精品解析：江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

无锡市辅仁高级中学 2024—2025 学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人：杨静 审核人：杨丽芬 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义即可得. 【详解】由复数虚部定义知的虚部为. 故选：B 2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原图形，结合图形求解. 【详解】根据斜二测画法还原得下图： 因为四边形是边长为的正方形，则，所以，， 又因为，，则， 同理可得，， 因此，原图形的周长为. 故选：B. 3. 如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）． A. 和； B. 和； C. 和； D. 和． 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 4. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积运算律结合可得，再根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，则， 则，即， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：D. 5. 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值. 【详解】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 6. 南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在与中用正弦定理，化简可得解. 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得，即可求解. 【详解】由可得, 由于， 故， 故， 由于中，，故， ，故， 故选：D 8. 点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是. 【详解】设外接圆圆心为，则，. ①一方面，我们有 . 故一定有. ②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时 . 综合①②两个方面，可知的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数量积的运算性质的使用. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取特殊复数计算判断A，C，设复数结合复数乘法及复数模长计算判断B，根据已知复数运算律得出模长判断D. 【详解】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确； 对于选项B，设，， 因为，所以不同时为0，，则B正确； 对于选项C，取，，满足，则C不正确； 对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确． 故选：BD． 10. 如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（   ） A. 直线与直线垂直； B. 直线与直线相交； C. 直线与直线平行； D. 直线与直线异面； 【答案】AD 【解析】 【分析】画出正方体，，，故，A 正确；根据相交推出矛盾得到B错误；根据，与相交得到C错误；排除共面的情况得到D正确，得到答案. 【详解】 如图所示的正方体中，，，故，故A 正确； 若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，故B错误； ，与相交，故直线与直线不平行，故C错误； ，与不平行，故与不平行， 若与相交，则四点共面，在平面内，不成立， 故直线与直线异面，故D 正确. 故选：AD. 11. 在中，，角、、对边分别为，，，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. 若直角三角形，则. D. 若是锐角三角形，在上有一动点，则最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用商数关系、和角正弦公式及三角形内角的性质得判断A；根据A分析及余弦定理有，再应用基本不等式判断B；根据已知得，进而有，，再应用三角形面积公式判断C；过作，要求的最小值，应在之间运动，再应用向量数量积的定义及运算律得求最小值判断D. 【详解】A，，则，即， ，即， 又，则， 由正弦定理得，，错； B，由及余弦定理，得，即， 由基本不等式知，， 当且仅当，即时等号成立，所以，对； C，在中，由于，所有，均不为直角， 进而，则，代入得：， 由于为锐角，所以，，所以，对； D，过作，则， 又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又， 当时，取最小值为，对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的体积为14，若，，则该正四棱合的高为______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据棱台体积公式求解即可. 【详解】设正四棱台的高为， 则其体积，解得. 故答案为：##. 13. 如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据向量的运算关系可求得，再结合已知建立关系即可求出. 【详解】设， 则 ， ， ，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是设出，利用向量关系将表示出来. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为________________；若，则的最大值为________________. 【答案】 ①. 6 ②. 4 【解析】 【分析】若，根据三角形面积公式可得，利用，得解；若，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，代入运算得解. 【详解】若，由， 所以，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为6. 若，，解得, 由余弦定理得， 整理得， ，当时，取得最大值4. 故答案为：6，4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，即可得，进而可求； （2）根据复数的除法运算结合纯虚数概念可得，可知是方程的根，利用韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 若复数对应的点在实轴上，则， 可得，即， 所以. 【小问2详解】 因为， 若是纯虚数，则，解得， 若是方程的根，则也是该方程的根， 由韦达定理可得，即，所以. 16. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果； （2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是的中点，则， 因为，所以， 则. 所以，. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 17. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． （1）判断直线l与BC的位置关系并证明； （2）求证：平面PAD； （3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，为中点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 . 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. 【小问2详解】 取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； 【小问2详解】 （ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为； （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. 19. 如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长并求最长值. 【答案】（1）（2）当时，的最大值为3 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出AB，分别求出的面积即可； （2）根据余弦定理，正弦定理用表示出，利用余弦定理得出OC关于的函数，根据三角恒等变换求出最值. 【详解】解：（1）在中，由余弦定理得 于是四边形的面积为 （2）在中，由余弦定理得 ， ∴，∴， 在中，由正弦定理得， 即， 又，所以为锐角，∴， ∴ ， 在中，由余弦定理得： . ∵， ∴当时，的最大值为3. 【点睛】本题考查了解三角形和三角函数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市辅仁高级中学 2024—2025 学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人：杨静 审核人：杨丽芬 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A 1 B. C. D. 2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）． A. 和； B. 和； C. 和； D. 和． 4. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ） A B. C. D. 6. 南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（   ） A. 直线与直线垂直； B. 直线与直线相交； C. 直线与直线平行； D. 直线与直线异面； 11. 在中，，角、、对边分别为，，，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则. D. 若是锐角三角形，在上有一动点，则最小值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的体积为14，若，，则该正四棱合的高为______． 13. 如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________． 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为________________；若，则的最大值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，且是方程根，求实数的值. 16. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 17. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA中点，平面平面． （1）判断直线l与BC的位置关系并证明； （2）求证：平面PAD； （3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 18. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 19. 如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长并求最长值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$