精品解析：2025年北京市朝阳区九年级数学一模试卷

北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷 2025.4 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数图象上，则的值（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定等于0 D. 是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 8. “藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，可以得到四边形分别经过点，且平行于．给出下面四个结论： ①E，F是线段的三等分点； ②是线段的中点； ③是正八边形； ④的面积是的面积的2倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x取值范围是_______． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为___________． 12. 若关于x一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 13. 体育委员从全年级名学生中随机抽取了名同学，统计了他们秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 根据以上数据，估计该年级的名学生中秒跳绳次数在范围的学生有___________人． 14. 如图，是的直径，点C，D在上，，若，则___________°． 15. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为___________． 16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求的长． 21. 小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表： 交通方式 碳排放量 开私家车 乘坐公交 骑自行车 0 小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 23. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 24. 如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 25. 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为___________，转盘的半径约为___________； ②此摩天轮转一圈所用时间为___________； ③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过___________（精确到0.1），这两个座舱的高度相同． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 27. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． （1）图形为线段， ①若图形为线段，则___________，___________； ②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围； （2）已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷 2025.4 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，直接根据定义作答即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数的关系，绝对值的意义，以及实数比较大小，理解并正确运用是解题的关键． 利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， A、从数轴上看，在左侧，所以，而不是，原说法错误，故该选项符合题意； B、因为，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； C、因为，，那么 ，，，所以故原说法正确，该选项不符合题意； D、因为，，所以，故，原说法正确，该选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定等于0 D. 是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，先将点A、B代入反比例函数解析式求出，，再相加即可. 【详解】解：∵点A、B在反比例函数图象上 ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B. 5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示应为． 故选：D． 7. 如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的性质与判定，切线长定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．题中已判定出直线和是的两条切线，可得，则在与，利用，，即可判定，其判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即可解决． 【详解】解：∵题中判定出直线和是的两条切线， ∴， 在与， ， ∴， 判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故选：D． 8. “藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转，可以得到四边形分别经过点，且平行于．给出下面四个结论： ①E，F是线段的三等分点； ②是线段的中点； ③是正八边形； ④的面积是的面积的2倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，连接交于O，连接，设，可证明经过点，在正方形中，，，，则，再求出， 由旋转的性质可得，则三点共线，证明是等腰直角三角形，进而可证明是等腰直角三角形，根据，可得，是线段的中点，则，据此可判断①②；可证明，，据此可判断③；证明，可得，据此可判断④． 【详解】解：如图所示，连接交于O，连接，设， ∵四边形是正方形，分别是四边形的四条边的中点， ∴经过点， 在正方形中，，，，则， ∵为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∵是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，是线段的中点，故②正确； ∴， ∴， ∴E，F是线段的三等分点，故①错误； 同理可得， ∴， 同理可得，， ∴， ∴是正八边形，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，能根据式子的特点灵活选用恰当的方法进行因式分解是解题的关键；先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 【答案】＞ 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 体育委员从全年级名学生中随机抽取了名同学，统计了他们秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 根据以上数据，估计该年级的名学生中秒跳绳次数在范围的学生有___________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，部分估计总体，解题的关键是数形结合．用乘以跳绳次数在范围的占比，即可求解． 【详解】解：跳绳次数在范围的学生有：（人）， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，点C，D在上，，若，则___________°． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查了圆和三角形．熟练掌握圆周角定理推论，等腰三角形性质，是解答该题的关键． 利用直径所对的圆周角是直角可得，由等腰三角形的性质推知． 【详解】解： ∵是的直径， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 15. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ，，即， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过推理即可求解； （）通过推理即可求解． 【详解】解：（）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线最合适，零件生产天共个，零件生产天共个，天正好可以生产 个， 故答案为：； （）整体比较各条流水线的产能， ，， ， 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 产能最高的流水线，负责调配差额，讨论可得，天生产个，天生成个， 综上可得，天共生成个零件， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，0指数幂.根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，0指数幂计算即可. 【详解】解：原式 . 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，先求出，再计算即可. 【详解】解： ∴ 20. 如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【小问1详解】 证明：∵延长至点E，使， 中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 21. 小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表： 交通方式 碳排放量 开私家车 乘坐公交 骑自行车 0 小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？ 【答案】小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交 【解析】 【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，设小明在这100天中，有x天乘坐公交，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明在这100天中，有x天乘坐公交． 由题意可知，． 解得：． 答：小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将点和代入中得： ， 解得：， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意， ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 23. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 【答案】（1）82， （2）D （3）91或92 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差． （1）根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义意义求解即可； （3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多， 故众数， 一队成绩的中位数位于， 二队成绩的中位数为， ∴， 故答案为：82，； 【小问2详解】 解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小； 故答案为：D； 【小问3详解】 解：甲选手的平均数为：，甲选手的方差为：， 乙选手的平均数为：，乙选手的方差为：， 丙选手的平均数为：， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前． ∴， 解得， ∵k为整数， ∴当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时甲丙平均数一致，但是丙的方差更小，符合排名； 当时，丙选手平均数为：，丙选手的方差为：，此时乙丙平均数一致，但是乙的方差更小，符合排名； ∴k（k为整数）的值为92或91， 故答案为：92或91． 24. 如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）是的切线 （2）1 【解析】 【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论； （2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． ， ． ∵是半径， 是的切线． 【小问2详解】 设与相交于点D． ， ． ∵， ． ， ， ． ， ． 设，则． ∴在中，． ． ． ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长． 25. 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为___________，转盘的半径约为___________； ②此摩天轮转一圈所用时间为___________； ③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过___________（精确到0.1），这两个座舱的高度相同． 【答案】（1）见解析 （2）①90，40；②12；③1.5或4.5 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息． （1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可； （2）①根据函数图象发现当时有最高点，当时有最低点，最高和最底差距即为直径，据此求解即可； ②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间； ③这两个座舱高度相同时应该刚好在最高点或最低点两边，据此求解即可． 【小问1详解】 解：这个函数的图象如图所示： 【小问2详解】 解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为，最低高度为， ∴转盘的直径约为， ∴转盘的半径约为， 故答案为：90，40； ②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为， ∴从最高点到最低点用时也为， ∴此摩天轮转一圈所用时间为， 故答案为：12； ③根据函数图象可得，当时，距离地面的高度为，当时，距离地面的高度是，则两个座舱距离分钟的路程， ∵这两个座舱的高度相同，从最低点到最高点用时为， ∴若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边，则至少经过，这两个座舱的高度相同． 若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边，则至少经过，这两个座舱的高度相同． 故答案为：1.5或4.5． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为， ①若， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ， ， 设点M关于对称轴的对称点为， 则， ， ， （i）当时，有， ， ，符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，令， ， ，不符合题意； ②若， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时，令， ， ， ，不符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，有， ， ，符合题意， 综上所述，a的取值范围是或． 27. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图1所示： 【小问2详解】 解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． （1）图形为线段， ①若图形为线段，则___________，___________； ②点，点，图形为线段，直接写出最小值，及当取得最小值时，的取值范围； （2）已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围． 【答案】（1）①5，5；②2， （2）4，， 【解析】 【分析】（1）①根据题意，在线段上任意取一点，作，则的长度即为点到线段的距离，当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后根据点坐标即可求得答案；在线段上任意取一点，连接，则的长度即为点到线段的距离，根据点、、坐标可知当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后求得的长度即可得到答案；②分别讨论当，，，，时，利用数形结合的思想求得的值，即可得出结论； （2）设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，根据题意可知任意一点到直线的最大距离为，以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，得到，由图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），分情况讨论点、和点、、之间不同位置关系下的和，从而得到的最小值，然后利用已知两点坐标求距离的公式得到此时的值和的取值范围． 【小问1详解】 解：①根据题意，在线段上任意取一点，作，如图所示， 则的长度即为点到线段的距离， 当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”， ，， ， ； 在线段上任意取一点，连接，如图所示， 则的长度即为点到线段的距离， ，，， 当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”， ， ； 故答案为：5，5； ②当时，连接，，作轴于点，如图所示： 点到轴距离为2，即， ， ； 当时，和重合， 此时， 当时，作于点，交于点，如图所示： 由图可知，， ， ，， ，解得； 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， 综上所述，的最小值为2，此时； 【小问2详解】 解： 设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，如图所示， 则任意一点到的距离为， 当与重合时，取得最大值，最大值为的长度； 设与轴相交于点，与轴相交于点 当时，；时，， ，， ， ， ，， ， ， ， 以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，如图所示： ，， ， 同理，； 图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧）， 当点与点重叠，而在（含端点）上运动时，或者当点与点重叠，而点在（含端点）上运动时， 此时，或， 当点在点的左侧，且点在点左侧时，或者当点在点的右侧，且点在点右侧时，或者当点在点的左侧，且点在点右侧时， 此时，， 为最小值， 设，，， ，，， ，，， ，，，（不合题意值已舍去） 点，的横坐标分别为，，且最小时，点与重叠， 最小为：， 此时，在（含端点）上运动， 综上所述，的最小值为4，当取得最小值时，的最小值为，对应的的取值范围为． 【点睛】本题考查了“距离”的定义，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，解直角三角形，读懂题中“距离”的定义，利用数形结合的思维是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$