精品解析：陕西省西安中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

西安中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：江海燕 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 3. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式求解． 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：A． 4. 已知随机事件满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，求得，结合，即可求解. 【详解】因为随机事件和满足，， 由条件概率的计算公式，可得， 所以. 故选：D. 5. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 【答案】B 【解析】 【分析】每位乘客都有4种选择，因此乘客下车的可能方式有种. 【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有种. 故选：B 6. 某城市对市民上班的出行方式进行了调查，结果显示有的市民乘坐公共交通工具，有的市民开私家车，有的市民选择步行．在乘坐公共交通工具出行的市民中有的人迟到，在开私家车出行的市民中有的人迟到，在步行出行的市民中有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=， 市民开私家车出行迟到的概率为×=， 市民骑行或步行出行迟到的概率为×=， 则这名市民迟到的概率为×+×+×=， 故所求的概率为. 故选：C. 7. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 8. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数公式求导可判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项. 【详解】A选项，是个常数，故，A错误； B选项，，令，解得，B正确； C选项，是常数，所以，令得，解得，C正确； D选项，，即，又因为，所以，D错误. 故选：BC. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用捆绑法求出A选项中结果，利用特殊优先求出B选项结果，利用插空法求出C选项结果，由排列组合求出D选项结果. 【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确； B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确； C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误； D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确． 故选：ABD 11. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D正确. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 13. 若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有_____个． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有3种，分为是和不为，再安排最高位与其他位,进而求解. 【详解】根据是偶数，则个位为这3种情况， 由于小于，则最高位的数字不是， 当个位数为，则排列有, 当个位数为，则排列有, 当个位数为，则排列有, 这排成位不重复的且小于的偶数有. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程有三个零点，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【小问1详解】 的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意. 16. 在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求 的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？ 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的关系求得. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 故常数项为. 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）分，和三种情况讨论得出函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递减， 此时，； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，， 所以函数在上单调递增，此时，， 综上所述，. 18. 某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”.光子的发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，每次发送相互独立.每次光子的接收和发送模式相同的概率为，不同的概率为，每次接收相互独立. （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； （3）求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用缩小样本空间法求条件概率即可得解； （2）利用超几何分布求其分布列即可得解； （3）根据题意，假设检测器与发射器对应的事件，再利用独立事件的概率公式与全概率公式即可得解. 【小问1详解】 设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 第一次发送“0指向”光子后，还剩下1个“0指向”光子和2个“1指向”光子，共3个光子， 从这3个光子中选1个“1指向”光子作为第二次发送的，共有两种情况， 则. 【小问2详解】 由题意：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 【小问3详解】设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了个“1指向”光子”， 由（2）与等价性可知，，， 根据题意，，， 由全概率公式得. 19. 已知函数 （1）若 当 时，证明： 恒成立； （2）若函数在 处的切线与直线 垂直， 且对任意的 恒成立，求k的最大整数值. 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （2）根据导数的几何意义求出，将原问题转化为对，恒成立，利用导数分类讨论研究的性质求出，令即可. 【小问1详解】 当时，令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. 【小问2详解】 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 设，则， 令，得. 当即时， 由，得；由，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，需，得 当时，，成立； 当时，设， 单调递减，又，所以不成立； 所以实数最大整数值为3. 当即时，，，在上单调递增， 所以，符合题意 综上，实数的最大整数值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西安中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：江海燕 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. C. 20 D. 4. 已知随机事件满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 6. 某城市对市民上班的出行方式进行了调查，结果显示有的市民乘坐公共交通工具，有的市民开私家车，有的市民选择步行．在乘坐公共交通工具出行的市民中有的人迟到，在开私家车出行的市民中有的人迟到，在步行出行的市民中有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A. B. C. D. 7. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 8. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 11. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________. 13. 若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为________． 14. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有_____个． 四、解答题（本题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程有三个零点，求实数m的范围. 16. 在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求 的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？ 17. 已知函数． （1）当时，求函数极值； （2）求在上的最大值． 18. 某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”.光子的发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，每次发送相互独立.每次光子的接收和发送模式相同的概率为，不同的概率为，每次接收相互独立. （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； （3）求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 19. 已知函数 （1）若 当 时，证明： 恒成立； （2）若函数在 处的切线与直线 垂直， 且对任意的 恒成立，求k的最大整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$