12.4 定理（三大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

12．4　定理（三大题型提分练） 题型一 三角形内角和定理及其推论的应用 1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 2．如图，在中，，，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在中，，， ． 故选：C． 3．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的，你能求出比大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】解：如图： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，反向延长交于M， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴． 故选：D． 6．如图，在中，和的平分线，相交于点，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵和的平分线，相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 7．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B． 8．在中，，，则 ． 【解析】解：∵，， ∴在中，， ∴， ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      【解析】解：∵， ∴ ∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为 ∴ 故答案为：． 10．如图，AD与CE交于点B，∠C=90°，∠A=36°，∠D=∠E，则∠D= 度． 【解析】解：在ABC中，∠C=90°，∠A=36°， ∴∠ABC=90°36°=54°， 在BDE中，∠D=∠E，∠DBE=∠ABC=54°， ∴∠D=∠E=(180°54°)=63°． 故答案为：63． 11．如图， 度． 【解析】解：如图： 由三角形内角和定理可得： ， ， , ， 又∵，，， ∴， ∵， ， , ∴ 故答案为：． 12．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ． 【解析】解： 中，，， ， 由折叠知， ， ， 故答案为：30． 13．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 【解析】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°， ∴∠BAC+∠ABC＝100°， ∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠1∠BAC，∠3∠ABC， ∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°， ∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°． 故答案为：130°． 14．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 【解析】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故答案为：． 15．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，求的度数． 【解析】解：将图中与交点命名为，如下图所示： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）证明：四边形中，，， ． （2）证明：平分交于点E，平分交于点F， ， ， ， 中， ， ． 17．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形． 已知：如图， ， 求证： ． 证明： 【解析】已知：在中，，         求证：是直角三角形，         证明：在中，（三角形三个内角的和等于）．     （等式性质）．         （已知），         （等量代换），         是直角三角形． 18．（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （2）不发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （3）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． 19．在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 【解析】（1）证明：由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． （2）证明：作的角平分线，将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图所示： 由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． 20．我们称如图①所示的图形为“8字形” (1)如图①，求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，作，的平分线，，且它们的交点设为． ①______．（选填：“”“”或“”） ②当，时，直接写出的度数． 【解析】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：①如图，与交于点M， ∵，， ∴． 故答案为：； ②由①知， 同理可得， 两式左右分别相加，得：， 又∵，的平分线，相交于点P， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 题型二 多边形内角和定理与外角和定理的应用 1．若一个边形的内角和为，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】解：这个多边形的边数是， 则， 解得：． 故选：D． 2．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得：小伍从出发到第一次回到出发地点形成的轨迹为正多边形， ∵， ∴轨迹为正十二边形， ∴每次旋转的角度为． 故选：A． 3．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】解：设多边形的每个外角为，则其内角为：， ，解得：， 即这个多边形是： 故选：C． 4．青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：八边形是正八边形， ， 由对称性可知， 故选：D． 5．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 6．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为 ． 【解析】解：由题意得，多边形为六边形， 这个多边形的内角和为． 故答案为：． 7．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【解析】 ∴这个多边形的边数为 9． 故答案为：9． 8．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 【解析】解：∵多边形的内角和比外角和多， ∴多边形的内角和为， 设多边形的边数为， 则， 解得：． 故答案为：8． 9．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度． 【解析】解：设这个多边形是边形，由题意得： ， ∴， ∴这个多边形的内角和， 故答案为：． 10．如图，是四边形的外角，若，则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 【解析】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 12．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【解析】解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 13．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【解析】解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 解得， ∴， ∴这个多边形的边数为12． 14．一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个边形一个内角的度数． (2)求这个边形的内角和． 【解析】（1）解：∵一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为， ∴， ∴该边形的一个内角的度数为； （2）解：∵一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为， ∴，， ∴， 则这个边形的内角和为． 15．（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为，求的值（结果保留π）． （2）如图2，试探究其中与之间的关系，并证明． 【解析】解：（1）由图可知，四个阴影部分的圆心角的度数之和为四边形的四个内角之和，即为， ∴四个阴影部分的面积构成一个整圆的面积，即：； （2），理由如下： 由四边形的内角和是可知：， ∵， ∴， ∴． 16．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【解析】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 题型三 反证法的应用 1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【解析】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 2．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵命题：“在中，，则”， ∴假设为：， 故选：D． 3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ 　　） A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角 【答案】C 【解析】用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角． 故选：C． 4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明 的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，内错角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 【答案】C 【解析】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C． 5．用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（    ）步骤如下： ①假设在中，． ②因此假设不成立，． ③由，得，即，，这与“三角形三个内角的和等于”产生矛盾． A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②① 【答案】A 【解析】解：反证法的基本步骤： 先假设结论的反面成立，再证明结论的反面与已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假设，从而得到结论； ∴以上步骤排序为：①③②， 故选：A． 6．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 【解析】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为：． 7．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ． 【解析】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故答案为：每一个内角都大于． 8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截； ． 求证：直线与 ． 证明：假设 ， 则 ． 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 【解析】解；已知：如图，直线，被直线所截；． 求证：直线与不平行． 证明：假设， 则（两直线平行，同旁内角互补）． 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 故答案为：；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行． 9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【解析】（1）证明：假设． 如图2，过点O作直线，使， （同位角相等，两直线平行） 又，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行； （2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 故答案为：②． 10．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【解析】解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c， 这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 11．已知：两条不重合的直线相交．求证：只有一个交点． 【解析】证明：假设交于两点O与， 那么过O，两点就有两条直线． 这与“两点确定一条直线”矛盾， 所以假设不成立，则只有一个交点． 12．求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于． 【解析】已知：在中，． 求证：中至少有一个锐角不大于． 证明：假设原命题不成立，则，， ∵， ∴． ∵这与“三角形内角和等于”相矛盾， ∴假设不成立． ∴中至少有一个锐角不大于． 13．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角． 【解析】证明：假设的三个外角中至少有两个直角， 则的三个内角中至少有两个直角，不妨设， 所以， 这与三角形内角和等于相矛盾， 所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角． 14．在中，．求证：．（用反证法证明） 【解析】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 15．求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交． 【解析】已知：在同一平面内，直线，直线b与c相交， 求证：a与c相交． 证明：假设a与c不相交，则， ∵， ∴， 又∵已知直线b与c相交， ∴假设a与c不相交不成立， ∴a与c相交． 16．用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【解析】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a必为负数； （2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为， 则， ∵， ∴假设不成立， ∴的整数k不能化为两个整数的平方和． 1．用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：． 2．“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解：求证：的两个锐角，中至少有一个不大于， 用反证法证明这个命题时，应先假设，． 故选：A． 3．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【解析】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选：D． 4．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 5．如图，在中，点在边上（不与端点重合），连接．则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由三角形外角的性质可知：， 即：， 故选：． 6．如图，已知，则的度数=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故选：D． 7．若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（   ） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 【答案】B 【解析】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 8．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得： ， ∵， ∴， 故选：B． 9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 10．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 11．要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中 ． 【解析】解：∵命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”的结论为， ∴反证法即第一步应假设结论的反面成立，即首先假设三角形中有两个角是直角， 故答案为：有两个角是直角． 12．用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设 ． 【解析】：原命题“在同一平面内，已知，若，则”， 用反证法时应假设结论不成立， 即假设c与b不垂直． 故答案为：c与b不垂直． 13．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 【解析】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④． 14．某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是 ． 【解析】解：假设这100人中，有2人是不说真话的， 这与其中任何2人中，至少有1名是说真话的相矛盾， 所以，这100人中，最多有1人是不说真话的， 所以，这100人中，有1人是不说真话的，有99人是说真话的， 故答案为：99． 15．若正多边形的一个外角是，则它的内角和是 ． 【解析】解：依题意可得：多边形的边数， ∴这个正多边形的内角和， 故答案为：． 16．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ． 【解析】解：正九边形的内角和为：． 又正九边形的九个内角都相等， ． 故答案为：． 17．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 【解析】解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示： 则． ． ． 故答案为：是． 18．如图，已知，则等于 ． 【解析】如图，连接．设与交于点， ， ． ，， ， 故答案为：． 17．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于， 正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 18．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 【解析】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 19．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是 ． 【解析】解：如图，延长交于， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 【解析】解：∵当时，， ∴； ∵当时，， ∴． 由可知，． 故答案为：． 21．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【解析】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 22．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【解析】证明：假设都小于，则， 即，这与三角形的内角和定理矛盾， 故都小于不成立， 所以三角形中至少有一个角不小于． 23．若一个n边形的内角和的比它的外角和少，求n的值． 【解析】解：一个n边形的内角和的比它的外角和少， ， 解得：． 24．如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 【解析】解：∵． ∴， ∵， ∴． 25．在如图所示的螳螂示意图中，，，，求的度数． 【解析】解：延长交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 26．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【解析】（1），理由如下： 过点A、D作射线， ， 即 （2）①， 由（1）可知： ② 平分，平分， ③如图：由（1）中“规形图”结论可知：， 又 即 27．问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________________． 【解析】研究（）：根据折叠的性质可知， ∴， 故答案为：； 研究（）：连接， 则， ∴； 故答案为：； 研究（）：猜想： 理由：由图形的折叠性质可知 ， ∵ ∴， 得 ∴ 研究（）：由根据折叠的性质可知 ，， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 28．如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【解析】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12．4　定理（三大题型提分练） 题型一 三角形内角和定理及其推论的应用 1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 2．如图，在中，，，则的度数为（　） A． B． C． D． 3．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的，你能求出比大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（　） A． B． C． D．不能确定 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，和的平分线，相交于点，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，则 ． 9．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      10．如图，AD与CE交于点B，∠C=90°，∠A=36°，∠D=∠E，则∠D= 度． 11．如图， 度． 12．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ． 13．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 14．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 15．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，求的度数． 16．如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 17．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形． 已知：如图， ， 求证： ． 证明： 18．（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 19．在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 20．我们称如图①所示的图形为“8字形” (1)如图①，求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，作，的平分线，，且它们的交点设为． ①______．（选填：“”“”或“”） ②当，时，直接写出的度数． 题型二 多边形内角和定理与外角和定理的应用 1．若一个边形的内角和为，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 3．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A． B． C． D． 6．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为 ． 7．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 8．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 9．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是 度． 10．如图，是四边形的外角，若，则 ． 11．一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 12．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 13．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 14．一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个边形一个内角的度数． (2)求这个边形的内角和． 15．（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为，求的值（结果保留π）． （2）如图2，试探究其中与之间的关系，并证明． 16．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 题型三 反证法的应用 1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 2．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ 　　） A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角 4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明 的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，内错角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 5．用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（    ）步骤如下： ①假设在中，． ②因此假设不成立，． ③由，得，即，，这与“三角形三个内角的和等于”产生矛盾． A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②① 7．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ． 8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）． 已知：如图，直线，被直线所截； ． 求证：直线与 ． 证明：假设 ， 则 ． 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整： 已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，． 求证：． (1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）： 证明：假设____________． 如图2，过点O作直线，使 ∴（ ） 又∵，且直线经过点O ∴过点O存在两条直线、与直线平行 这与基本事实矛盾，假设不成立 ∴． (2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号） ①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行． 10．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 11．已知：两条不重合的直线相交．求证：只有一个交点． 12．求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于． 13．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角． 14．在中，．求证：．（用反证法证明） 15．求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交． 16．用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 1．用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（   ） A． B． C． D． 2．“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（   ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 4．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．如图，在中，点在边上（不与端点重合），连接．则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，则的度数=（   ） A． B． C． D． 7．若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（   ） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 8．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中 ． 12．用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设 ． 13．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 14．某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是 ． 15．若正多边形的一个外角是，则它的内角和是 ． 16．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ． 17．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 18．如图，已知，则等于 ． 17．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 18．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 19．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是 ． 20．如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 21．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 22．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 23．若一个n边形的内角和的比它的外角和少，求n的值． 24．如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 25．在如图所示的螳螂示意图中，，，，求的度数． 26．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 27．问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________________． 28．如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$