精品解析：云南省曲靖市2024-2025学年高三第二次教学质量监测数学试卷

曲靖市2024-2025学年高三年级第二次教学质量监测 数学试题卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、魔位号填写在答题量上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效；作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；作答非选择题时，答案必须写么答题卡各题目指定区域内相应位置上． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 则. 故选：B 2. 若角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解得出，然后根据二倍角的正切公式求解即可得出答案. 【详解】由三角函数的定义可知，， 所以. 故选：D. 3. 已知，若点D满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 4. 已知复数，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答. 【详解】因为, 所以， 故选：C 5. 在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得，利用同角的三角函数的关系求得，结合正弦定理可求外接圆的半径，进而可求得面积. 【详解】设三角形ABC外接圆的半径为R， 因为，由余弦定理可得， 所以，解得，又，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为，所以外接圆的直径，解得， 所以外接圆的面积为. 故选：B 6. 如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱底面圆的半径为R，则，利用截面与底面成角求出，再求得，从而可得结果. 【详解】设圆柱底面圆的半径为R，则短轴长，所以， 圆柱的轴与一平面所成角为， 所以椭圆的长轴长为， 所以， 离心率为， 故选：D 7. 公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，即可得出答案. 【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面的公共边， 所以，正二十面体的棱数为，顶点的个数为. 由图象可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱； 原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为. 故选：B. 8. 已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案． 【详解】由题意知函数有且只有1个零点， 而，故0即为的唯一零点， 因为，且， 故 ，所以 有唯一解， 令，则， 对于任意 ，都有， 故在R上单调递增， 则时，，时，， 故函数在时单调递减，在时单调递增， 故 ； 若，当时，， ， 则 ，因此当 且 时，， 此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符； 故，则的最小值为， 因为由题意知0为的唯一零点，故 ， 即，则， 即值为1. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性. 【详解】设，，， 对于A项，易知定义域为R， 且，所以为偶函数. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确； 对于B项，定义域为R， 且，所以不是偶函数.故B错误； 对于C项，定义域为， 且. 当时，在上单调递增.故C正确； 对于D项，定义域为， 且，所以为奇函数.故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列是等比数列，且，数列满足，不等式的整数解个数记为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件求出等比数列的公比，得到，再由对数运算求得，然后求出，最后利用等比数列及等差数列求和公式求出数列的前项和． 【详解】对于A，设等比数列的公比为，由，得，所以， 又，所以，正确； 对于B，，正确； 对于C，由，得，不等式的整数解个数为， 所以，错误； 对于D，，正确． 故选：ABD 11. 已知，抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过抛物线上异于顶点的一点作的垂线，垂足为点，则（ ） A. 若，则点的坐标为 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 直线与相交与点，若，则的面积为 D. 设抛物线在点处的切线为，过原点作的垂线交直线于点．则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】易求得点的坐标为或可判断A；设，可求得圆心到到轴的距离为可判断B；设，则，又，，由已知可得是的重心，利用点在直线，可求得，进而可求面积判断C，求得切线方程，进而可求得点的坐标，利用换元法可求得的取值范围为判断D. 【详解】对于A，由抛物线，可得焦点为，准线的方程为， 设，由抛物线的焦半径公式可得，解得， 又，解得，所以点的坐标为或，故A错误； 对于B，设，又的中点坐标为，圆的半径为， 又到轴的距离为，所以以为直径的圆与轴相切，故B正确； 对于C，设，则，又，， 则，， 直线的方程为，直线的方程为， 由，可得，则是的重心， 所以，即， 又点在上，则，解得，则点， 当，直线的方程为， 因时，代入上式可得，即点在直线上，符合， 因点到的距离为，所以的面积为，故C正确； 对于D，设抛物线在点处的切线方程为，与抛物线方程联立， 可得，由，解得， 故切线方程为，则过原点且与切线垂直的直线方程为， 由联立，解得，即 因不是顶点，可设，，（由抛物线对称性知，也符合） 则，， 于是， 由，可得，则，，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且当时，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出，然后根据解析式求出即可得出答案. 【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4. 所以，. 又当时，， 所以，，. 故答案为：. 13. 已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为______（用数字作答）. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则等比数列为， 不妨设调整顺序后的等差数列为，则， ∵，∴，解得或（舍）， 令，则，， ∴满足条件的一组的值依次为. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数能同时满足下列四个条件中的三个：①的最大值为2；②的最小正周期为；③的图象可由的图象平移得到；④． （1）请判定所满足的三个条件，并求出函数的解析式； （2）若的图象只有一个对称中心落在区间内，求实数的取值范围． 【答案】（1）应选择①②④， （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据①②③，得出，得出矛盾，即可判断三个条件.进而结合④，求出的值； （2）根据已知得出.进而根据正弦函数的对称性得出，求解即可得出答案. 【小问1详解】 若选①，则可知； 若选②，由，可得，； 若选③，则， 仅通过平移不能改变函数的最值以及周期，此时可得，，这与①②都矛盾.故③不满足题意，应选择①②④. 由①②可得，. 又由④可得，， 所以. 又，所以， . 【小问2详解】 因为，所以. 根据正弦函数的对称性可知，要使的图象只有一个对称中心落在区间内， 则应满足， 所以. 所以，实数的取值范围为. 16. 自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 （1）经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】（1） （2） 的分布列如下： 0 1 2 数学期望为1.2 【解析】 【分析】（1）由线性回归方程，分别计算各部分的值，代入公式求解即可； （2）先计算各组数据的残差，再结合超几何分布，得到所有取值的概率，从而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 由表格可得，，， ，， 所以，， 故y关于x的经验回归方程是. 【小问2详解】 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为. 所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据. 故“次数据”对数的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的值域； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导数，令，求得单调递增区间，令，求得单调递减区间，进而求得极值下端点值，求得最值，可求值域； （2）求导，令，进而求导数，分，，三种情况讨论，可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 （1）当时，，所以， 令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 又，，所以， 所以当时，求函数在上的值域为； 【小问2详解】 由，得， 令，则， 因为，所以，所以， ①当时，，满足恒成立， ②当时，，故在上单调递增，又， 所以当时，，进而，所以在上单调递减， 当时，，进而，所以在上单调递增， 所以，满足恒成立， ③当时，，故在上单调递减，又， 所以当时，，进而，所以在上单调递增， 当时，，进而，所以在上单调递减， 所以，不满足恒成立， 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为． ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据点在的垂直平分线上，得，又在直线上，而是已知圆上的动点，因此为定长，于是与的差为定值，符合双曲线的定义，由两定点坐标和常数可确定双曲线方程. （2）①设出 及其中点，利用点差法得到直线的斜率与中点坐标的关系，由于关于直线对称，故是的中垂线，即过且与垂直，由此可用中点坐标表示出的斜率，根据过已知点，又可写出斜率的另一种形式，两斜率相等得到与中点横坐标的关系. ② 在已求出的基础上，直线又过点，故完全确定，设直线的方程将其与双曲线联立，利用均在轴右侧（即横坐标大于零）以及中点的横坐标关系，通过判别式和韦达定理得到直线斜率的取值范围，最后将转化为向量夹角，用坐标表示后代入参数范围，即可求得角度的取值范围. 【小问1详解】 的圆心为，半径，因为点在线段的垂直平分线上，所以，由题意，点在线段的延长线或反向延长线上， 所以， 所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为, 则，，所以， 所以点的轨迹方程，即曲线的方程为； 【小问2详解】 ①设，，，则， 所以，即， 即，因为关于直线对称，所以，所以， 即，因为，所以，所以； ②依题意直线的斜率存在，设其方程为，由， 整理得，由， 所以， 则，，所以， 则，因为，所以， 所以，所以， ， 在中，， 又均在轴的右侧，所以， 解得，所以，所以， 所以，所以， 即的取值范围为． 19. 已知正方体的棱长为1． （1）证明：平面； （2）已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S； （3）在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围． 【答案】（1）证明：以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则 所以， ， 因为在平面内相交于点A， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，空间向量垂直的坐标公式,然后利用线面垂直的判定即可得证； （2）首先得线段所形成的曲面是圆锥的侧面，求出半径和母线长即可得； （3）利用向量法求出二面角的余弦，然后利用均值不等式求出最值即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，连接交于点， 由（1）知平面， 因为 是正三角形，边长为，由， 即， 点为平面内一动点，且与所成角为，则， 所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 线段所形成的曲面是圆锥的侧面，曲面面积； 【小问3详解】 设， 平面DFG的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为， 设平面EFG的法向量为， 则， 所以，令，， 所以， 所以， ，， = ， ， ， ， ，当且仅当，即时取等号， 又， ， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市2024-2025学年高三年级第二次教学质量监测 数学试题卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、魔位号填写在答题量上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效；作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；作答非选择题时，答案必须写么答题卡各题目指定区域内相应位置上． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若点D满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 5. 在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 8. 已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列是等比数列，且，数列满足，不等式的整数解个数记为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过抛物线上异于顶点的一点作的垂线，垂足为点，则（ ） A. 若，则点的坐标为 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 直线与相交与点，若，则的面积为 D. 设抛物线在点处的切线为，过原点作的垂线交直线于点．则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且当时，，则的值为______． 13. 已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为______（用数字作答）. 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数能同时满足下列四个条件中的三个：①的最大值为2；②的最小正周期为；③的图象可由的图象平移得到；④． （1）请判定所满足的三个条件，并求出函数的解析式； （2）若的图象只有一个对称中心落在区间内，求实数的取值范围． 16. 自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 （1）经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的值域； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为． ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 19. 已知正方体的棱长为1． （1）证明：平面； （2）已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S； （3）在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $