广东省佛山市南海区狮山镇2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷-普通用卷

2024-2025学年广东省佛山市南海区狮山镇八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.佛山是一座拥有千年文化传承和非遗艺术美丽的城市，常将几何韵律注入传统艺术，比如佛山醒狮、铜凿剪纸、祖庙建筑，顺德鱼灯等，下列哪件作品以中心对称之美诠释了“旋转生万象”的智慧，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.不等式的解集在数轴上可以表示为(    ) A. B. C. D. 3.已知，下列不等式变形正确的是(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    ) A. ，， B. C. ：：：4：5 D. ，， 6.如图，在中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，，，的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于M、N，则的周长为(    ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 不确定 9.如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点若，，，则AB的长度为(    ) A. 2 B. C. D. 10.如图，点D为等边三角形ABC内的一点，，，，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点D与点的距离为10；②绕点A顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.写出满足x的不等式的一个整数解______. 12.若等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长为______. 13.如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则______. 14.某种商品进价为200元，标价为300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按______折销售． 15.已知一副直角三角板如图放置，其中，，把的三角板向右平移，使顶点B落在的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分阴影部分的面积为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 解不等式组，并将其解集表示在数轴上. 17.本小题7分 在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形其中、、 将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； 将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，A、B、C的对应点分别是、、； 连，直接写出点、的坐标：______、：______. 18.本小题7分 如图，在中，，，AD是的平分线，垂足为求BE的长． 19.本小题9分 图1是一个平分角的仪器，其中， 如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点是的平分线吗？请判断并说明理由. 如图3，在的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是60，求AB的长. 20.本小题9分 【问题背景】 2025年央视春晚节日《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元. 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件；B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决 求A、B两种型号智能机器人的单价； 问题解决 现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台.则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 21.本小题9分 如图，四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到 求证：； 若，，试求出四边形ABCD的对角线BD的长． 22.本小题13分 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究. 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … 如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； 若，为该函数图象上不同的两点，则______； 当时，自变量x的取值范围是______； 定义，例如，，则函数的最大值为______. 23.本小题14分 【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点D在AC边上，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转得到线段DE，连接EA并延长交BC的延长线于点求证： ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交CA的延长线于点 ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在BC上截取，连接 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程. 【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答. 如图4，在中，，，点D，E在AB边上，，连接CD，CE，点F在BC边上，连接DF，且求证： 【学以致用】 如图5，在中，，，点D在AC边上，，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转得到线段DE，连接EC并延长交BA的延长线于点F，连接DF，求的面积. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选： 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2.【答案】D  【解析】解：， ， 则， 故选： 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得解集，再判断出数轴上的正确表示的结果． 本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的基本步骤． 3.【答案】B  【解析】解：A、， ， 故A不符合题意； B、， ， 故B符合题意； C、， ， 故C不符合题意； D、， ， 故D不符合题意； 故选： 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：将点向左平移3个单位长度得到的点的坐标是，即， 故选： 横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得对应点的坐标． 此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5.【答案】C  【解析】解：A、， 是直角三角形，不符合题意； B、， ， ， 是直角三角形，不符合题意； C、：：：4：5， ， 不是直角三角形，符合题意； D、， 是直角三角形，不符合题意， 故选： 根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析即可． 本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：的垂直平分线DE交BC于点D，， ， ， ， ， ， 故选： 根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和解答即可． 此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和解答． 7.【答案】D  【解析】解：一次函数与一次函数的图象交于点， 关于不等式的解集是 故选： 直接利用图象得出不等式的解集． 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键． 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，根据等角对等边可得，，然后求出的周长 【解答】 解：和的平分线交于点E， ，， ， ，， ，， ，， 的周长， ，， 的周长 故选： 9.【答案】B  【解析】解：由作法得， ， 在中，， 在中，， 为等腰直角三角形， 故选： 利用基本作图得到，先在在中利用勾股定理计算出，然后利用等腰直角三角形的性质得到AB的长． 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了勾股定理． 10.【答案】D  【解析】解：①连接，如图， 线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， 所以①正确； ②为等边三角形， ，， 把绕点A逆时针旋转后，AB与AC重合，AD与重合， 绕点A顺时针旋转会和重合， 所以②正确； ③由②可知； ， ， 在中， ， ， 为直角三角形， ， 即， 所以③正确； ④， 所以④正确． 故选： 连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，，则把逆时针旋转后，AB与AC重合，AD与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③进行判断；由于，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对④进行判断． 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，关键是对综合知识的掌握和灵活运用． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 则不等式的整数解可以为答案不唯一 故答案为：答案不唯一 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得解集，即可得出答案． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是关键． 12.【答案】12cm  【解析】解：当腰是2cm时，三角形的三边是：2cm，2cm，5cm，，不能构成三角形； 当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，2cm，，能构成三角形， 则等腰三角形的周长， 因此这个等腰三角形的周长为 故答案为： 题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 13.【答案】2  【解析】解：， ， 由，得， 根据题意，得：， 解得， 故答案为： 解不等式得，解不等式得，根据题意得，解之可得答案． 本题主要考查解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为 14.【答案】7  【解析】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为，那么利润为：， 根据题意可得：， 解得： 答：这种商品最多可以按7折销售． 故答案为： 利润率不能低于，意思是利润率大于或等于，相应的关系式为：打折后的销售价-进价进价，把相关数值代入即可求解． 此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“”；利润率是利润与进价的比值． 15.【答案】  【解析】解：在直角中，，， 又， 则 在直角中，，， ， 则，， ， 阴影部分的面积为： 故答案是： 根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积． 本题考查的是平移的性质，需要正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值． 16.【答案】  【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将解集表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17.【答案】的如图所示． 的如图所示． ；  【解析】解：见答案. 见答案. ，， 故答案为， 【分析】 分别画出A、B、C的对应点、、即可； 分别画出A、B、C的对应点、、即可； 根据、的位置写出坐标即可； 本题考查作图-平移变换，作图-旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18.【答案】解：，， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，   【解析】先根据角平分线的性质得到，再证明得到，接着利用勾股定理计算出，然后计算即可． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定． 19.【答案】解：是的平分线， 理由如下：，，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点 ，，， 在和中， ， ≌， ， 平分 平分，， 的高等于PQ， ，   【解析】利用三条对应边相等证明≌来得到即可． 利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． 20.【答案】A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；   选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．  【解析】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， ， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为万件， 选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 依据题意，设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； 依据题意，设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． 21.【答案】解：如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N， 旋转， ，； 又， ， ， ， ； ； ； 如图，连接DE， 旋转， ，，， ，， ， ， ，   【解析】由旋转的性质可得，，即可得，根据直角三角形的性质可得， 由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求得DE、AE的长，即可求出BD的长． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 22.【答案】    或  1  【解析】解：函数的图象如图的所示， 根据图象可得：当y随x的增大而减小时，x的取值范围是； 把，，分别代入， 得， 则， 解得：， ，，该函数图象上不同的两点， ； 由图象可得：当时，自变量x的取值范围是或； 由图象可得： 当时，，当时，y的最大值为； 当时，，当时，y的最大值为1； 当时，，当时，y的最大值为1； 综上，y的最大值为 用描点法作出函数的图象；再根据图象性质求解即可； 把，，代入，求解即可； 利用图象法，根据中所画函数图象求解即可； 分三种情况：当时，；当时，；当时，；分别 求出函数最大值即可得解． 本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键． 23.【答案】解：选择小辉同学的解题思路．证明：如图，过E作交CA的延长线于M， ， ，， 交CA延长线于M， ， ， 又绕点D旋转至DE， ， ≌， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 选择小光同学的解题思路．证明：如图，在BC上截取，连接 ， ，， 即 又， ≌ ，， ， ， ， ， ，， 证明：如图．过E作于G，过D作于 ，， ， 又 ≌ ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ≌ ，， ，， 如图，在AB边上截取，连接 由题意得，， ， ，， ， ≌ ，， ， ， 又， ，，， 过D作于P，则， ， 根据勾股定理得，   【解析】①选择小辉同学的解题思路；过E作交CA的延长线于M，.可得≌，再证出为等腰直角三角形，即可得出结论 ②选择小光同学的解题思路．证明：如图，在BC上截取，连接DN，可以证出≌，再根据勾股定理可得，即可得出结论； 过E作于G，过D作于H，可得出≌，得，，再证明≌，即可得出结论； 在AB边上截取，连接DQ，可得≌，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$