2025年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷

2025年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. C. 8 D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.函数中，自变量x的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.一组数据：3，4，6，4，7，这组数据的众数和中位数分别是(    ) A. 4，4 B. 4，5 C. 4，6 D. 6，4 6.下列说法正确的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角互补 7.某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高米.为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为，，，(    ) A. 28米 B. 29米 C. 30米 D. 33米 8.《四元玉鉴》中提出了下列问题：今有布帛二色，共织三丈六尺.已知白布每尺价八文，彩布每尺价十文，若白布减五尺，彩布增三尺，二者总价相等，问白布、彩布各几何尺？这段话的意思是：现在有白色和彩色两种布帛，总共织了三丈六尺一丈等于十尺，三丈六尺就是36尺已知白色布每尺价格是8文钱，彩色布每尺价格是10文线、如果白色布的长度减少5尺，彩色布的长度增加3尺，那么白色布和彩色布的价钱就相等，问白色布和彩色布各有多少尺？设白色布有x尺，可列方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，则的值为(    ) A. 1 B. C. D. 10.定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为为常数，且，则称点N是点M关于a的“关联点”.如图，边长为4的正方形ABCD，点A坐标为，点B在x轴正半轴上.给出以下四个结论：①点C关于2的“关联点”在线段AC上；②点D关于2的“关联点”到原点O的距离为；③若点B关于a的“关联点”与点D关于a的“关联点”重合，则；④若点M是正方形ABCD边AB上一点端点除外，其关于a的“关联点”N始终在正方形ABCD内部，则则正确结论的序号为(    ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.因式分解：______. 12.2025年总台春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，接待游客约1560000人次，将1560000用科学记数法表示为______. 13.已知，，那么______. 14.已知，一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______. 15.如图，反比例函数在第二象限的图象经过点A，过点A作轴于点B，若的面积为3，则______. 16.已知一个圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则这个圆锥的侧面积为______结果保留 17.如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点A逆时针方向旋转，则旋转后的直线与x轴的交点坐标为______. 18.已知，在平面直角坐标系中，点，，点P为直线上一点，若有且只有3个点P，使得为直角三角形，则______. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 解不等式组： 20.本小题8分 先化简，再求值：，其中 21.本小题10分 如图，▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，，连接AF， 求证：≌； 连接AC，若，点E为AB的中点，，，求AF的长. 22.本小题10分 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同. 从袋子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率； 从袋子中同时摸出2个球，求摸到的两个球都是红球的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程 23.本小题10分 某学校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了如下不完整的统计图表. 被抽取学生测试成绩统计表 等级 人数 百分比 A B m C D n 请根据图表中的信息解答下列问题： 被抽取学生总人数=______，______，______； 补全学生测试成绩条形统计图； 若该校共有1500名学生，估计该校对“垃圾分类”知识掌握达到A、B等级学生的总人数. 24.本小题10分 如图，在中， 请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AB上找一点P，以点P为圆心作一个圆，使与AC、BC都相切；不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑 已知中，，，求的半径如需画辅助线，请使用图 25.本小题10分 某商店销售一种商品，进价为每件30元.经市场调查发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，，其图象如图所示. 求y与x之间的函数关系式； 若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价. 26.本小题10分 如图，AB为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交CB的延长线于点 求证：DE是的切线； 若，，求CD的长. 27.本小题10分 已知，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B的对应点落在边CD的中点上，交AD于点G，连接 如图，若，时，求EF的长； 若G为AD的三等分点，求的值. 28.本小题10分 已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，函数图象的对称轴经过点 求这个二次函数的表达式； 连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作轴，垂足为点D，PD交BC于点 ①点F为线段DE上一动点，轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，当的面积最大时，求的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：的相反数是8，故C符合题意， 故选： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2.【答案】D  【解析】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选： 根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转180度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟知两者的概念是关键． 4.【答案】D  【解析】解：根据题意得，， 解得 故选： 根据分母不等于0列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5.【答案】A  【解析】解：4出现了2次，出现的次数最多，故这组数据的众数是4； 把这些数从小到大排列为3，4，4，6，7，故中位数是4； 故选： 根据中位数和众数的定义求解可得． 本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6.【答案】B  【解析】解：相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不合题意； B.两点确定一条直线，原说法正确，符合题意； C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不合题意； D.两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不合题意； 故选： 分别根据对顶角的定义，直线的性质，平行公理，平行线的性质判断即可． 本题考查了对顶角的定义，直线的性质，平行公理，平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：如图：前排楼AB高米，太阳光线AC与地面BC的夹角为， 由题意得：，， ， 米， 米， 故选： 画出示意图，根据前楼高和角的正切值可得两楼之间的最小间距应为多少米． 本题考查解直角三角形的应用．掌握锐角三角函数的相关知识并熟练应用是解决本题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：根据题意得方程： ， 故选： 设白色布有x尺，根据“如果白色布的长度减少5尺，彩色布的长度增加3尺，那么白色布和彩色布的价钱就相等”可得方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次方程组解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：如图，作于D，延长AB至点E，使得，连接CE， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故选： 作于D，延长AB至点E，使得，连接CE，利用等腰三角形的性质得到结合推出，则有，得到，设，，在利用勾股定理建立方程，求出a，b之间的关系，再利用正切的定义即可求解． 本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质与判定，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：边长为4的正方形ABCD，点A坐标为， ，，， 点C关于2的“关联点”为，即； 点C关于2的“关联点”不在线段AC上；故①错误； 点D关于2的“关联点”为，即， 到原点的距离为：，故②正确； 若点B关于a的“关联点”为，点D关于a的“关联点”为， 点B关于a的“关联点”与点D关于a的“关联点”重合， ， ，故③错误； 若点M是正方形ABCD边AB上一点端点除外，不妨设，其中， 那么其关于a的“关联点”N为， 其关于a的“关联点”N始终在正方形ABCD内部， ，， ，故④正确； 故选： 先写出，，，求得点C关于2的“关联点”以及点D关于2的“关联点”，即可判断①和②；写出若点B关于a的“关联点”为，点D关于a的“a一关联点”为，根据重合，即可得到a，判断③；若点M是正方形ABCD边AB上一点端点除外，不妨设，其中，那么其关于a的“关联点”N为，根据N始终在正方形ABCD内部，得到，，从而得到a的范围，判断出④，最后得出答案． 本题考查了点关于a的“关联点”，点到点的距离公式，理解题意，数形结合是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13.【答案】  【解析】解：，， ， 故答案为： 利用完全平方公式将变形后代入数值计算即可． 本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 14.【答案】答案不唯一  【解析】解：一次函数中y随x的增大而减小， 函数图象经过点， ， 符合条件的函数关系可以是 故答案为：答案不唯一 先根据y随x的增大而减小得出，再根据一次函数的图象经过点得出b的值，写出符合条件的函数关系式即可． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 15.【答案】  【解析】解：反比例函数在第二象限的图象经过点A，过点A作轴于点B，的面积为3， ， 反比例函数图象在第二象限， 故答案为： 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 16.【答案】  【解析】解：这个圆锥的母线长， 所以这个圆锥的侧面积 故答案为 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17.【答案】  【解析】 解：设直线AB绕点A逆时针方向旋转，则旋转后的直线与x轴的交点为C， 直线与坐标轴分别交于A，B两点， ，， ，， ， 作，交x轴于点D，作于M，于N， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转后的直线与x轴的交点坐标为， 故答案为： 设直线AB绕点A逆时针方向旋转，则旋转后的直线与x轴的交点为C，作，交x轴于点D，作于M，于N，由一次函数的解析式求得A、B的坐标，利用射影定理求得OD，然后利用勾股定理求得AB、AD，然后利用角平分线的性质，利用三角形面积公式求得CM，CN，即可得到，进而求得BC，进一步求得OC，即可求得C点的坐标． 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，射影定理，利用三角形面积公式求得是解题的关键， 18.【答案】  【解析】解：，， 以AB为直径作圆，圆心C坐标为， 当直线与圆C相切时，有且只有3个点P，使得为直角三角形， ①当时， 设切点为E，连接CE，则CE垂直，过点E作EF垂直x轴于点F， 如图所示： 直线过定点， ， ， ， ， ∽， ， ，， ， ， 把代入得：， 解得； ②当时，同理可得， ， 故答案为： 以AB为直径作圆，圆心C坐标为，当直线与圆C相切时，有且只有3个点P，使得为直角三角形，然后分两种情况，根据相似三角形的判定和性质求出点E坐标即可． 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，切线的性质，关键是找出有且只有3个点P，使得为直角三角形时直线的位置． 19.【答案】4；     【解析】解：原式； 由得； 由得； 不等式组的解集为 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，开方的意义计算即可求出值； 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了实数的运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】，  【解析】解： ， ， 原式 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 21.【答案】证明见解答；   AF的长是  【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 在和中， ， ≌ 解：连接AC， ，，， 是等边三角形， ， 点E为AB的中点， ，， ， ， 由得≌， ， 的长是 由平行四边形的性质得，，而，即可根据“SAS”证明≌； 连接AC，由，，证明是等边三角形，则，而点E为AB的中点，所以，，则，由全等三角形的性质得 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由，，证明是等边三角形是解题的关键． 22.【答案】    【解析】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种， 摸到红球的概率为 列表如下： 红 红 红 白 白 红 红，红 红，红 红，白 红，白 红 红，红 红，红 红，白 红，白 红 红，红 红，红 红，白  红，白 白 白，红 白，红 白，红  白，白  白 白，红 白，红  白，红  白，白 共有20种等可能的结果，其中摸到的两个球都是红球的结果有6种， 摸到的两个球都是红球的概率为 由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23.【答案】50，，5；   见解析；   1050人．  【解析】解：本次抽查学生数为人， ， 人， 故答案为：50，，5； 等级所占的百分比为：， 等级人数为：人， 补全条形统计图如下： 人， 答：估计该校对“垃圾分类”知识掌握达到A、B等级学生的总人数为1050人． 根据C等有10人，占抽取学生数的，可求出抽取学生人数，进而求出m和n； 根据人数和百分比之间的关系求出其余数据，补全条形统计图即可； 用1500乘样本中该校对“垃圾分类”知识掌握达到A、B等级学生所占的百分比即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，理解两个图中数量之间的关系是解决问题的关键． 24.【答案】见解析；   【解析】解：如图1中，即为所求； 设与BC相切于点F，连接设， ，，， ， 的半径为 作CP平分，过点P作于点E，以P为圆心，PE为半径作即可； 设与BC相切于点F，设，利用面积法求解． 本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25.【答案】；   40元．  【解析】解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 与x之间的函数关系式为； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该商品销售单价为40元． 根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式； 利用日销售毛利润=每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26.【答案】见解析；    【解析】证明：连接OD，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； 解：为的直径， ，， ，， ，的平分线CD交于点D， ， ， ， 过点B作于点H， ， ， ， 连接OD，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； 根据圆周角定理得到，，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到DH，于是得到结论． 本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 27.【答案】EF的长为；  的值为或  【解析】解：如图1，设EF交于点P，作于点Q，则， 四边形ABCD是矩形，，，点是CD的中点， ，，， ，四边形ABQE是矩形， ，， 由折叠得点与点B关于直线EF对称， 垂直平分， ， ，， ∽， ， ， 的长为 如图2，G为AD的三等分点，且，则，延长BA、交于点H， ， ∽， ， 设，则，， ， 由折叠得， ， ， ， ， ， ； 如图2，G为AD的三等分点，且，则，延长BA、交于点M， ， ∽， ， 设，则， ， ， 由折叠得， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或 设EF交于点P，作于点Q，由矩形的性质得，，则，可证明四边形ABQE是矩形，求得，，由EF垂直平分，得，可证明∽，得，则； 分两种情况讨论，一是，延长BA、交于点H，由∽，得，设，则，，所以，则，求得，则，所以；二是，延长BA、交于点M，由∽，得，设，则，所以，则，求得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 28.【答案】；   ①；②或  【解析】解：，函数图象的对称轴经过点，则点， 则抛物线的表达式为：； 由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：； ①的面积， 则PE最大时，的面积最大， 设点，则点，则， 故当时，PE最大时，即的面积最大，则点，则点， 将点B的坐标向右平移1个单位的长度为得到D，作交BC于点H，交y轴于点G，则此时最小， 理由：且，则四边形GFBD为平行四边形，则， 则为最小， 由点A、C的坐标得，，则， 则， 则最小值为； ②当PE为边时，如下图： 设点，则点， 由P、C、E的坐标得，，，， 则，即，则舍去或， 则， 则点； 当CE为对角线时， 则，则， 解得：不合题意的值已舍去， 则， 则点， 综上，或 由待定系数法即可求解； ①将点B的坐标向右平移1个单位的长度为得到D，作交BC于点H，交y轴于点G，则此时最小，即可求解； ②当PE为边时，由，即，则舍去或，即可求解；当CE为对角线时，同理可解． 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$