4.4 利用三角形全等测距离 课时同步训练 2024-2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.4 利用三角形全等测距离 本节所涉及的核心原理是通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离（如河宽、池塘两端距离）转化为可测量的对应边长度。全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS等）是前置知识基础。 本节课时同步训练除纳入关于“三角形全等的实际应用”这一知识点的讲解以外，还配有第四章知识点的应用题综合训练题供复习使用。 【例1】三角形全等的实际应用 【典例】如图，某校学生为了测量学校一幢教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．用测角仪测得旗杆顶视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得到楼底的距离与旗杆高度相等，量得旗杆与观察点之间距离为，这样就可以计算出楼高，求教学楼的高度． 【答案】 【难度】0.85 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 【变式1】如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ∴， ∴（米）， 故选：A． 【变式2】小明、小亮为得到河流两岸，两处之间的距离（不可直接测量）进行了如下操作．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子的帽檐，使视线通过帽檐恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上）． (1)对于小明的做法，小亮思考如下，请将过程补充完整（括号内填依据）； 由题意得______________，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以______________度， 所以______________（_____）． (2)已知小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步，求点，之间的距离． 【答案】(1)；；； (2)米 【难度】0.65 【分析】本题考查全等三角形的应用， （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定即可得到结论； （2）先确定的长，再根据全等三角形的性质可得结论； 熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以度， 所以． 故答案为：；；；； （2）∵小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步， ∴， ∵， ∴（米）， ∴点，之间的距离为米． 【变式3】下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 任务： (1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是（    ） A ②→③→①→④    B．③→④→①→②    C． ①→②→④→③    D．②→④→③→① 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸    解决过程 ①标记测试直杆的底端点D，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角； 项目数据 …… (2)线段______的长度，即为点A的高度； (3)请你说明他们作法的正确性． 【答案】(1)D (2) (3)测量的长度，就等于的长度，即点A的高度 【难度】0.65 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意，从模型中抽象出几何等量是解本题的关键； （1）由实际操作判断即可； （2）证明即可； （3）证明即可． 【详解】（1）解：正确的顺序应是： ②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合； ④记下直杆与地面的夹角； ③使直杆顶端缓慢下滑，直到； ①标记测试直杆的底端点D，测量的长度． 故选：D； （2）∵，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：由（2）知，在和中， ， ∴， ∴． 即测量的长度，就等于的长度，即点A的高度． 本章应用题专项训练 一、单选题 1．我们可以用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线，这里构造全等三角形的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即射线是的平分线， 故选：D． 2．如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选C． 3．如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（   ） ①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使★； ③连接并延长到点E，使♠； ④连接，量出▲的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．▲代表 D．该方案的依据是 【答案】D 【分析】本考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使，A选项正确； ③连接并延长到点E，使，B选项正确； ④连接，量出的长即为的距离，C选项正确； 该方案的依据是，D选项错误， 故选：D． 4．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 5．将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 6．如图，嘉琪站在河边的点A处，在河对面（嘉珙正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道此时电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔､树与自己现处的位置E在一条直线时，测得米，则电线塔离点A的距离是（   ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，证明，得出米，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴电线塔离点A的距离是20米， 故选：B． 7．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 8．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 9．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ∴， ∴， 乙方案：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 二、填空题 10．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据题意即可得到答案． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 11．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ． 故答案为： ． 12．一个等腰三角形的周长是25，已知一边是6，则其他两边分别为 ． 【答案】9.5，9.5． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 当等腰三角形的底边为6时，腰为，根据，，得满足三角形三边关系，当等腰三角形的腰为6时，底边为，根据得不满足三角形三边关系，综上，即可得． 【详解】解：当等腰三角形的底边为6时，腰为：， ∵，， ∴满足三角形三边关系， 当等腰三角形的腰为6时，底边为：， ∵， ∴不满足三角形三边关系， 综上，另两边长分别为9.5，9.5， 故答案为：9.5，9.5． 13．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键． 显然第③中有完整的三个条件，用可得到现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 14．如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 【答案】2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 15．如图，小迪站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺、量角器等 测量方案 示意图 测量步骤 ①小迪沿堤岸走到电线杆旁； ②再往前走相同的距离，到达点； ③然后他向左直行，当他看到电线杆与游艇在一条直线上处时停下来． 测量数据 米，米，米，， 那么凉亭与游艇之间的距离是 米． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意画出图形是解答此题的关键．根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：米，米， ， ，， ， 在与中， ， ， （米）． 凉亭与游艇之间的距离是6米， 故答案为：6 16．如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 证明，结合，，得，得，即得． 【详解】解：由条件可知， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2． 三、解答题 17．第一小组同学们要测量池塘两端，的距离，先在平地上取一个点，从点不经过池塘直接到达点和；再连接，并分别延长到点，，使，；连接．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段与有什么样的数量关系？并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，直接利用证明即可得结论． 【详解】解：，理由如下： 由题意知，， 在和中， ， ∴， ∴． 18．如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等； （2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ． 19．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.4m和1.8m，求F、E两点的高度差即的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握这一判定与性质是关键；由互余关系可得，由可证明，从而可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 答：的长为04m． 20．生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2)垂线段最短 (3)合适，见解析 【分析】本题考查三角形的稳定性，垂线段最短，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的稳定性进行作答即可； （2）根据垂线段最短，作答即可； （3）根据全等三角形的判定和性质，进行说明即可． 【详解】（1）解：这种设计应用的几何原理是三角形具有稳定性； （2）这里所运用的几何知识是：垂线段最短； （3）合理，理由如下： 因为， 所以． 在与中， 所以， 所以． 21．如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点作，垂足为，根据题意可得：，，后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， 与互余，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴单元楼的高为． 22．如图，有一座锥形小山，小明想用绳子测量小山两端A，B的距离，但绳子无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识帮助小明，回答下列问题： (1)写出测量方案并画出示意图； (2)揭示其中的数学道理． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，得出是解题关键． （1）重新构造三角形，使，进而得出即可． （2）根据全等三角形的判定和性质求解； 【详解】（1）解：如图所示：在下方找一点O，连接，并延长使，连接，并延长使，进而测量的长度，即可求解； （2）解：在和中 ∵， ， ， 量出的长即可． 23．【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， ． 24．“无定河边暮角声，赫连台畔旅人情”．无定河（如图1）是黄河的一级支流，位于陕西省北部．王欣随父母旅游期间，想测量无定河某段的宽度，如图2，河中有一个标志物，王欣爸爸操控一架无人机，使其停留在点处，王欣从点出发，沿着与垂直的方向走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，沿继续向前走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，已知点在上，与互余．请你根据王欣的测量结果计算无定河此段的宽度． 【答案】300米 【分析】本题考查全等三角形的应用，先得到，然后运用证明，即可得到解题即可． 【详解】解：根据题意得，米，， ， 米． 与互余， ， ． ， ， 米． 即无定河此段的宽度为300米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.4 利用三角形全等测距离 本节所涉及的核心原理是通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离（如河宽、池塘两端距离）转化为可测量的对应边长度。全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS等）是前置知识基础。 本节课时同步训练除纳入关于“三角形全等的实际应用”这一知识点的讲解以外，还配有第四章知识点的应用题综合训练题供复习使用。 【例1】三角形全等的实际应用 【典例】如图，某校学生为了测量学校一幢教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．用测角仪测得旗杆顶视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得到楼底的距离与旗杆高度相等，量得旗杆与观察点之间距离为，这样就可以计算出楼高，求教学楼的高度． 【变式1】如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【变式2】小明、小亮为得到河流两岸，两处之间的距离（不可直接测量）进行了如下操作．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子的帽檐，使视线通过帽檐恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上）． (1)对于小明的做法，小亮思考如下，请将过程补充完整（括号内填依据）； 由题意得______________，且． 又因为小明直立在河岸边， 所以______________度， 所以______________（_____）． (2)已知小明以米/步的均匀步长从点走到点，一共走了步，求点，之间的距离． 【变式3】下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 任务： (1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是（    ） A ②→③→①→④    B．③→④→①→②    C． ①→②→④→③    D．②→④→③→① 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸    解决过程 ①标记测试直杆的底端点D，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角； 项目数据 …… (2)线段______的长度，即为点A的高度； (3)请你说明他们作法的正确性． 本章应用题专项训练 一、单选题 1．我们可以用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线，这里构造全等三角形的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 3．如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（   ） ①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使★； ③连接并延长到点E，使♠； ④连接，量出▲的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．▲代表 D．该方案的依据是 4．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 6．如图，嘉琪站在河边的点A处，在河对面（嘉珙正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道此时电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔､树与自己现处的位置E在一条直线时，测得米，则电线塔离点A的距离是（   ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 7．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 8．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 9．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 二、填空题 10．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 11．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 12．一个等腰三角形的周长是25，已知一边是6，则其他两边分别为 ． 13．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 14．如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 15．如图，小迪站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺、量角器等 测量方案 示意图 测量步骤 ①小迪沿堤岸走到电线杆旁； ②再往前走相同的距离，到达点； ③然后他向左直行，当他看到电线杆与游艇在一条直线上处时停下来． 测量数据 米，米，米，， 那么凉亭与游艇之间的距离是 米． 16．如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 三、解答题 17．第一小组同学们要测量池塘两端，的距离，先在平地上取一个点，从点不经过池塘直接到达点和；再连接，并分别延长到点，，使，；连接．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段与有什么样的数量关系？并说明理由． 18．如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 19．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为1.4m和1.8m，求F、E两点的高度差即的长． 20．生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 21．如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高． 22．如图，有一座锥形小山，小明想用绳子测量小山两端A，B的距离，但绳子无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识帮助小明，回答下列问题： (1)写出测量方案并画出示意图； (2)揭示其中的数学道理． 23．【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 24．“无定河边暮角声，赫连台畔旅人情”．无定河（如图1）是黄河的一级支流，位于陕西省北部．王欣随父母旅游期间，想测量无定河某段的宽度，如图2，河中有一个标志物，王欣爸爸操控一架无人机，使其停留在点处，王欣从点出发，沿着与垂直的方向走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，沿继续向前走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，已知点在上，与互余．请你根据王欣的测量结果计算无定河此段的宽度． 学科网（北京）股份有限公司 $$