精品解析：2025年辽宁省本溪市中考一模数学试题

本溪市2025年初中学业水平考试第一次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体．关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 俯视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三个视图都相同 2. 截止年3月日，电影《哪吒之魔童闹海》实时票房为亿元，输出舞台球影史票房榜第5名．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（ ） A. 2025 B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 8. 放眼东北三省的白山黑水间，黑龙江的尚志市、吉林的靖宇县、哈尔滨的一曼街……这些名称，无不承载着后人对抗联将士的崇敬与思念．某校组织“林海雪原，抗联英雄”为主题的朗诵比赛，选手们需要从赵尚志（男）、杨靖宇（男）、赵一曼（女）这三位抗联将领的英雄事迹中随机抽取两份进行朗诵比赛，则选手恰好选中1名男将领和1名女将领的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 如图，已知，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在AC的延长线上，且，则旋转角的度数是_________． 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____． 14. 如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． （1）求高铁的平均速度； （2）沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为增强学生的国家安全意识，某校对七年级和八年级学生进行了主题为“维护国家安全，你我共参与”的知识竞赛，分别从七、八年级中随机选出20名同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分为四个等级：D：，C：，B：，A：），下面给出了部分信息： 信息一： 七年级学生的成绩为：62，68，71，74，76，79，82，83，83，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级B的学生成绩为：82，82，83，86，87，88，89． 信息二：两组数据的平均数、中位数、众数如表（单位：分）： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 83.8 85.5 a 八年级 83.8 b 91 信息三：八年级成绩等级频数直方图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求、的值； （2）该校八年级有600名学生参加竞赛，请估计其中成绩达到A等级的学生人数； （3）根据以上数据，判断此次知识竞赛中哪个年级的成绩更好，请说明理由．（写出一条理由即可） 19. 手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，． （1）如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 20. 年月大型城市马拉松赛在沈阳开赛，为了迎接这场城市马拉松盛宴，某商店购进了一批进价为元/个的纪念品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销量（个）与销售单价（元/个）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）根据图象，求与的函数关系式； （2）纪念品销售单价定为多少时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 21. 如图，在中，，为的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长度． 22. 在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点． （1）如图1，当是直角三角形，时，求证：； （2）如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； （3）直线与射线交于点，若，直接写出的值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． （1）如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； （2）如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； （3）若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 本溪市2025年初中学业水平考试第一次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体．关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 俯视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确画三视图的前提．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图． 画出这两个组合体的三视图，比较得出答案． 【详解】解：这两个组合体的三视图如图所示： 故选：C． 2. 截止年3月日，电影《哪吒之魔童闹海》实时票房为亿元，输出舞台球影史票房榜第5名．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数，当原数绝对值时，是负数．据此方法将用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选C． 3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴， ∵点在O点左侧， ∴点表示的数为：， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式、积的乘方、单项式乘以多项式和完全平方公式分别计算，进而即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 6. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 8. 放眼东北三省的白山黑水间，黑龙江的尚志市、吉林的靖宇县、哈尔滨的一曼街……这些名称，无不承载着后人对抗联将士的崇敬与思念．某校组织“林海雪原，抗联英雄”为主题的朗诵比赛，选手们需要从赵尚志（男）、杨靖宇（男）、赵一曼（女）这三位抗联将领的英雄事迹中随机抽取两份进行朗诵比赛，则选手恰好选中1名男将领和1名女将领的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有 6 种等可能的结果，其中选手恰好选中 1 名男将领和 1 名女将领的结果有 4 种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把赵尚志（男），杨靖宇（男），赵一曼（女）这三位抗联将领分别记为，画树状图如下： 共有 6 种等可能的结果，其中选手恰好选中 1 名男将领和 1 名女将领的结果有 4 种， ∴选手恰好选中1名男将领和1名女将领的概率为， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求出点点的坐标是解题的关键． 如图中，连接交于，延长交于．求出点的坐标，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，延长交于， ∵菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行， ， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ， ∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）． 故选：A． 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定. 连接，，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，提公因式即可，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，已知，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在AC的延长线上，且，则旋转角的度数是_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，，进而，再由可推出，得到，根据三角形的内角和即可解答． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为． 故答案为： 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．设，根据，得到，求得，，再根据，列式计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及分式的混合运算．熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及分式的混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则计算出各项的值，再进行分式的混合运算即可； （2）先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． （1）求高铁的平均速度； （2）沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【答案】（1）高铁的平均速度为156千米/小时 （2）学校为师生最少购买24张高铁二等座的车票 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设高铁的平均速度为千米/小时，则快车平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买张高铁二等座的车票，则购买张高铁一等座的车票，根据“交通补助费单程不超过6000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设高铁的平均速度为千米/小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的根， 答：高铁的平均速度为156千米/小时． 【小问2详解】 解：设学校为师生购买张高铁二等座的车票， 根据题意，得， ， 答：学校为师生最少购买24张高铁二等座的车票． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为增强学生的国家安全意识，某校对七年级和八年级学生进行了主题为“维护国家安全，你我共参与”的知识竞赛，分别从七、八年级中随机选出20名同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分为四个等级：D：，C：，B：，A：），下面给出了部分信息： 信息一： 七年级学生的成绩为：62，68，71，74，76，79，82，83，83，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级B的学生成绩为：82，82，83，86，87，88，89． 信息二：两组数据的平均数、中位数、众数如表（单位：分）： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 83.8 85.5 a 八年级 83.8 b 91 信息三：八年级成绩等级频数直方图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求、的值； （2）该校八年级有600名学生参加竞赛，请估计其中成绩达到A等级的学生人数； （3）根据以上数据，判断此次知识竞赛中哪个年级的成绩更好，请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）， （2）估计成绩达到等级的学生人数为240名 （3）八年级的成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数、平均数、利用样本估计总体、频数直方图等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可得； （2）利用该校八年级参加竞赛的学生总人数乘以成绩达到等级的学生人数所占的百分比即可得； （3）从平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得． 【小问1详解】 解：七年级学生成绩中，88分出现的次数最多， ； 由八年级成绩等级的频数直方图可知，等级的人数为（人），等级的人数为（人）， ∴将八年级学生成绩由从小到大排序，处在中间位置的数据是第10个和第11个数，位于等级， 由八年级等级的学生成绩可知，排序后第10个和第11个数为87分和88分， ∴其中位数． 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计成绩达到等级的学生人数为240名． 【小问3详解】 解：八年级的成绩更好．理由如下： 因为七、八年级学生的成绩的平均数相同，但八年级学生的成绩的中位数和众数均高于七年级学生的成绩的中位数和众数， 所以八年级的成绩更好． 19. 手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，． （1）如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）调节后悬臂的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，再进行求解． （1）过点作于点，过点作于点，可知四边形为矩形，则，，由旋转得，得，在中，解直角三角形得，即可求解． （2）过点作，交延长线于点，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， 由旋转得， ， 在中，，， ， ， ， 答：点到地面的距离为． 【小问2详解】 解：过点作，交延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：调节后悬臂的长约为． 20. 年月大型城市马拉松赛在沈阳开赛，为了迎接这场城市马拉松盛宴，某商店购进了一批进价为元/个的纪念品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销量（个）与销售单价（元/个）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）根据图象，求与的函数关系式； （2）纪念品销售单价定为多少时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）纪念品销售单价定为元时，所获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）设总利润为元，然后根据总利润单个利润总数量，得到与的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 图象经过和两点， ， 解得：， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 设日销售利润为元， ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，有最大值，此时， 答：纪念品销售单价定为元时，所获得的利润最大，最大利润是元． 21. 如图，在中，，为的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点，根据等腰三角形的性质证明是的垂直平分线，证明边形为矩形，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形性质求出，求出，根据，求出，根据弧长公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接，并延长交于点， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的直径， ， 四边形为矩形， ， 即， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形，， ， 在中，， ， ， ， 的长度为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，弧长公式，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22. 在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点． （1）如图1，当是直角三角形，时，求证：； （2）如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； （3）直线与射线交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平行四边形是菱形，再证，可得，由此即可求解； （2）延长至点H，使得，连接，可得是等边三角形，因此，，由旋转得，，，从而证得．证明，得到，即可推出，证得，因此四边形是平行四边形，进而根据菱形的定义得证结论； （3）分两种情况求解：①直线与线段交于点；②直线与线段的延长线交于点． 【小问1详解】 证明：将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图，若直线与线段交于点， 由（2）有， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 由（2）有是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，若直线与线段的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 延长至点N，使得，连接，， 由（2）有是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）有四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． （1）如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； （2）如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； （3）若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 【答案】（1） （2） （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标中点的对称性，直线与抛物线的交点问题以及函数分段表达式的构建．熟练掌握等腰三角形的性质，坐标中点的对称性，直线与抛物线的交点问题以及函数分段表达式的构建是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，结合“胖瘦度”的定义直接计算即可； （2）过作于点，由，，等腰三角形可得，，设，，可在平面直角坐标系中得到长度的代数式，结合求解即可； （3）①先根据点横坐标，点横坐标代入抛物线求出纵坐标，再根据“胖瘦度”列出等式，分情况讨论绝对值内式子正负，去掉绝对值符号求解方程，再结合舍去不符合的值，得到的值； ②分情况讨论，注意点P在y轴右侧和y轴左侧时情况不同，找到不同情况下的最高点即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 为边上中线， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意得如图所示等腰三角形， 过作于点， ，， ，， ，是直线上的两点， 设，， ， ． 【小问3详解】 解：①， ∵点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 当时，， 当时，， ∴，， ， ∴结合（1）可知，点的横纵坐标之差的绝对值相等， ， 或， ，或，； ，， 与不符合题意，舍去， 或； ②点的横坐标是点的横坐标的倍，设点的横坐标为， 点的横坐标为， 由等腰三角形可知点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，直线，之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， ∴， 又，两点的纵坐标不能相等， ，即， 当，且时，； 当时，点在轴左侧，此时最高点即为点， 当时，； 当，且点在轴右侧时，最高点即为点与抛物线的交点， 当时，； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $