数学（黑龙江哈尔滨卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．实数的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 解：实数的相反数是， 故选：D． 2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，我市某中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3．2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年5月1日，该片票房已超过15700000000元．其中15700000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 解：， 故选：C． 4．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 5．方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查解分式方程．根据题意方程两边同时乘以最简公分母，再移项合并同类项计算即可． 解：， 去分母：， 去括号：， 即：， 检验：当时，原分式方程有解， ∴时分式方程的根， 故选：A． 6．已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为 【答案】D 【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 7．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多几个小正方形? （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 故选：D． 8．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 9．小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．过点作于点，交的延长线于点，由作图可知，平分，平分，，由平行四边形得到，而，得到，推出，，则，即可求解． 解：过点作于点，交的延长线于点． 由作图可知，平分，平分，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，之间的距离为． 故选：C． 10．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【解析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 解：．从图中可以看到，当温度为时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在 时在水中是溶解的，故该选项不符合题意； ．观察溶解度曲线，在时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在时，溶解度随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意； ．在时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，故该选项符合题意； ．从图中可知，当温度接近时，硫酸钠的溶解度就达到了，并且在 之间溶解度都不低于，而不是只控制在，故该选项不符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于列式计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【解析】本题主要考查因式分解，利用提取公因式法和公式法相结合因式分解即可．熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键，注意分解一定要彻底． 解：， 故答案为：． 13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为 ． 【答案】26° 【解析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角形的性质求解． 解：连接OA． ∴∠PAO=90°， ∵∠O=2∠B=64°， ∴∠P=90°-64°=26°． 故答案为：26°． 14．如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是 ．    【答案】 【解析】直接由概率公式进行计算即可得到答案． 解：甲从乙手中随机抽取一张共有4种等可能的结果，其中恰好与手中牌组成一对的有2种结果， 甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是：， 故答案为：． 15．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【解析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 16．不等式组的解集是 ． 【答案】 【解析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再取它们公共解集，即可作答． 解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 17．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】108 【解析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 18．若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【答案】 【解析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 解：∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 19．在中，，，，则的长为 ． 【答案】5或7 【解析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，此题分两种情况：如图1，过A作于D，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理得到，求得，，在中，，于是得到结果；如图2，过A作交的延长线于D，同理可得结果． 解：如图1，过A作于D， 在中，∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 如图2，过A作交的延长线于D， 在中，∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 故答案为：5或7． 20．如图，在菱形中，与交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，点为边中点，连接，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点，由菱形的性质得，，由，求得和，由，，求得、和，即可根据勾股定理求得． 解：延长、交于点， ∵四边形是菱形，与交于点，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为边中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共计60分） 21．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可． 解：原式 ， 当时原式． 22．（本题7分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画以为斜边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； (2)在（1）的条件下，在图中以为边画，点C在小正方形的格点上，使，且 连接，直接写出线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【解析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰直角三角形的特征，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用网格，结合等腰直角三角形的性质，取格点，连接、即可； （2）结合已知条件，取格点，连接、、，利用勾股定理求解即可． 解：（1）如图，即为所求作； （2）如图，即为所求作； 由勾股定理得：． 23．（本题8分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． (1)本次抽测的男生有多少人？ (2)通过计算请将图2中的统计图补充完整； (3)若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 【答案】(1) (2) 补全条形图见详解 (3)该校名九年级男生中估计有人体能达标 【解析】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，理解扇形图和条形图的信息，掌握根据样本估算总体数量，众数的概念，根据调查数据作决策等知识是解题的关键． （1）根据4次的人数和百分比即可求出样本容量； （2）根据样本容量即可求出5次的人数，并补全图形； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 解：（1）4次的有10人，百分比为， ∴（人）， 答：本次抽测的男生有50人； （2）由（1）可知， 5次的人数为：（人）， ∴补全图形如下， （3）（人）， ∴该校350名九年级男生中估计有人体能达标． 24．（本题8分）如图，在 中， 为边上的中线．动点 从点 出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接，以为边在其右侧作等边三角形，连接、．设点的运动时间为（s）． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)在不添加辅助线和其他字母的前提下，在点的运动过程中，当图中存在轴对称的四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)或 【解析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和分类讨论的数学思想． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用有一个角为的等腰三角形是等边三角形即可证明结论； （2）利用等边三角形的性质得出三条边相等，三个角相等，证出，利用全等三角形的性质得出，再证出，得到对应边相等，再利用等量代换即可得出结论； （3）采用分类讨论，根据点的运动轨迹，证出四边形是轴对称图形，再证出四边形是轴对称图形，分别求出长度即可求出值． 证明：（1） 是直角三角形， 为边上的中线， 又 是等边三角形； （2）由（1）得， ∵与是等边三角形 ，，， 即 在与中， 在与中， 又 ； （3）如图： ①如图，当点运动到的时候，四边形是轴对称图形，证明如下， 与是等边三角形 ， 在与中， ∴四边形是轴对称图形， 在中， 解得， 此时，点的运动时间； ②如图，当点运动到终点的时候，四边形是轴对称图形，证明如下， 是等边三角形， 又 ∴直线是线段的垂直平分线， ∴四边形是轴对称图形， 在中， 解得， 此时，点的运动时间； 综上，或． 25．（本题10分）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多10个． (1)求打折前每个篮球的售价是多少元？ (2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？ 【答案】(1)打折前每个篮球的售价是120元 (2)不够用，该学校至少还需要再添加2000元 【解析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设打折前每个篮球的售价是元，根据打折后购买的篮球总数量比打折前多10个列出方程即可； （2）根据题意列出总费用关于篮球个数的一次函数再求解即可． 解：（1）设打折前每个篮球的售价是元，则打折后每个篮球的售价是元， 由题意，得，解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：打折前每个篮球的售价是120元； （2）设购买篮球个，则购买足球个 设购买50个篮球和足球的总费用为元 由题意，得 随着的增大而减小 又 当时，取得最小值，最小值为 学校预算的1800元不够用 （元） 该学校至少还需要再添加2000元． 26．（本题10分）已知为的直径，点、为上异于、的两点，点在外，已知，垂足为，过点做，垂足为，交于点，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图，连接，分别交，于点，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是的切线，理由见解析 (3) 【解析】（1）连接，由为的直径，且得，所以，且，由得，所以，即可得证； （2）连接，由题意得，所以可变形为，再结合，得，所以，由得，即可求解； （3）连接，，，设，则，，由，，再结合，求得，所以，，，，，又，且，所以，，由勾股定理得，，，求出，由得，即，解出，证明得，代入数据求出，最后根据，即可得解． 证明：（1）连接， 为的直径，且， ， ，且， 又， ， ， ； （2）是的切线，理由如下： 连接， 点在圆上， 是的半径， ， ， ，即，且， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （3）如图，连接，，， 设，则，， ，， ， ， 又， ， ， ，， ，，， 又，且， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 由（1）可知， ， ， ， ， ，即， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． 27．（本题10分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与x轴正半轴交于点A，点A坐标． (1)求b，c的值； (2)如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，，点D在上，，交于点C，，点E在第二象限，连接，，连接，过点E作的垂线，交过点F且平行的直线于点G，连接交于点M，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点B，交的延长线于点R，，连接并延长交抛物线于点N，，点T在内，连接，，，交的延长线于点H，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意易得，然后结合三角形面积公式，即可获得答案； （3）作轴于J，连接，连接，作于W，作于，作轴于S，延长，交于Q，易得，证明是等腰直角三角形，可知四边形是正方形；再证明点共线，进而可得点共圆；证明 ，由全等三角形的性质可得，；设，，证明以及，结合相似三角形的性质可解得；证明，进一步可得，，，然后求得；作于，结合三角形面积公式可得；证明，，由全等三角形的性质解得，进一步证明，可得， ；设，结合，可解得，，即可确定点坐标；延长，交于X，作于L，交于Z，设交x轴于Y，易得，设，则， ，证明，易得，确定一不确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 解：（1）将点和点代入抛物线， 可得，，解得； （2）∵，点P的横坐标为t， ∴， ∴； （3）如图1，作轴于J，连接，连接，作于W，作于，作轴于S，延长，交于Q， 则， 把代入，可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴可得四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于， 由得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 设， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴a， ∴， ∴， ∴， 如图2， 延长，交于X，作于L，交于Z，设交x轴于Y， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴y． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷） 数学参考答案 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 2 3 4 10 D D B D 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11.x≠2 12.2a(a+2)(a-2) 13.26 14.方 15.3.6 16.-2<x≤1 17.108 18.3+V反 19.5或7 20.53 三、解答题（共计60分） 21.(本题7分) -12 解：原式=m+m-可 m0+1 m ……………………………】分 =-m+1, ………………………………………3分 当m=cos600=专时， ………………………………5分 原式=方， …………………7分 22.(本题7分) 解：(1)如图，△DEF即为所求作： …………………………3分 (2)如图，Rt△BAC即为所求作： 1/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CD=V5. ………………7分 23,(本题8分) 解：(1)4次的有10人，百分比为20%， 10÷20%=50(人)， …………………………………1分 答：本次抽测的男生有50人：………………………………2分 (2)由(1)可知， 5次的人数为：50-4-10-14-6=16（人）， …4分 “补全图形如下， ………………5分 人数/人 20 16 12 4 6 7抽测成绩/次 图2 (3)350×16+14H ent:ttg4g。 50 =252(人)， ………7分 :该校350名九年级男生中估计有252人体能达标. ……………………8分 24.(本题8分) 证明：(1)：∠ACB=90° ÷△ABC是直角三角形， …………………………1分 :CD为边AB上的中线， :CD=AD=DB=AB ……………2分 又：∠A=600 :△ACD是等边三角形： ……………3分 (2)由(1)得， ~△ACD与△CPE是等边三角形 ÷∠ACD=∠PCE=60°，∠ADC=60°，AC=DGPC=EC,CE=PE ·∠ACD-∠PCD=∠PCE-∠PCD 即∠ACP=∠DCE 2/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△APC与△DEC中， AC=DC ∠ACP=∠DCE PC=EC △APC≌△DEC(SAS)…………………………………4分 :∠BDB=i68562cDB=60 ·∠CDE=∠BDE 在△CDE与△BDE中， CD=BD ∠CDE=∠BDE DE=DE △CDE兰△BDE(SAS)………………………………5分 ·CE=BE 又：CE=PE .PE=BE: …………………6分 (3)t=1s或t=4s. 0404444040440 ……8分 25.(本题10分) 解：(1)设打折前每个篮球的售价是x元，则打折后每个篮球的售价是0.6x元， 由题意，得器-吧=10， ………………………………2分 解得x=120…………………………………3分 经检验，X=120是原方程的解，且符合题意…………………………4分 答：打折前每个篮球的售价是120元： ……5分 (2)设购买篮球m个，则购买足球(50-m)个 设购买50个篮球和足球的总费用为w元 由题意，得w=120×0.6m+100×0.8(50-m)=-8m+4000………………7分 :-8<0 :w随着m的增大而减小 又：m≤50×方=25 ÷当m=25时，w取得最小值，最小值为-8×25+4000=3800………………8分 :3800>1800 ÷学校预算的1800元不够用 ………………………………9分 :3800-1800=2000(元) :该学校至少还需要再添加2000元. …………………………10分 26.(本题10分) 证明：(1)连接AC, :AB为⊙O的直径，且CD⊥AB, ÷BD=BC, ………小…………………小……1分 3/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠ADG+∠DAB=90·,且∠DAB=∠CAB=∠DAC=克∠E 2分 又：AP⊥CE, ÷∠ADG+∠ECD=90°， A∠DAB=∠ECD=∠E, ·∠E=2∠ECD: ……小……………4…小…………3分 D H\O G (2)PD是⊙O的切线，理由如下： 连接OD, :点D在圆上， ÷0D是⊙0的半径， ÷0D=0A :0A2=0G.0P, :0D2=0G0P,即器=，且∠D0G=∠D0P, :△D0G△P0D, .∠OGD=∠ODP, ………………5分 又：AB⊥CD, .∠0GD=90°， ÷∠0DP=90°， ÷OD⊥PD, ÷PD是⊙0的切线： ……………6分 (3)如图，连接AE,OC,BC, 设0G=x,则0H=2x,HG=3x, :AB⊥CD,CE⊥AD, 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ECD+∠CHG=∠ECD+∠CDF=90o ·∠CHG=∠CDF, ÷∠CHG=∠ADC, 又：∠ADC=∠ABC, ÷∠CHG=∠ABC, ÷CH=CB, BG=HG=3x.0B=BG+0G=4x, OC=4x,AB=8x,AH=2x ………7分 又∠CHB=∠AHE,∠CBA=∠CEA且∠CHB=∠CBA, :∠AHE=∠CEA, ÷AE=AH=2x 在Rt△0CG中，CG=VOC2-0G2=V5x, 在Rt△ABE中，BE=VAB2-AE2=215x, 在Rt△HGC中，CH=VHG2+CG=2V6x, ………………………8分 由(1)可知∠CED=2∠ECD, ÷CD=2DE ÷C⑦=2BC, ·BC=DE=BD, ÷∠BAD=∠DCE ÷sin∠BAD=sin∠DCE,即照=皆， 0 x=29, ÷BB=2⑤5x=20,8G=3x=2W15,AB=8x=16 3 ………………9分 :∠ABE=∠GBN,∠BGN=∠AEB=90°， ·△BGN∽△ABE, …器=噩， 8N=鸭裂=乎=8 20 ÷EN=BE-BN=12, ……………10分 27.(本趣10分) 解：(1)将点(0,0)和点A(3,0)代入抛物线y=x2+bx+c, c=0 1c=0 可得，{3×32+3b+c=0,解得b=-号： ………………………2分 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)A(3,0),点P的横坐标为t .0A=3,yp=2t 4分 S=0Ayp=×3×(3t2-t)=t2-t ………………………5分 (3)如图1，作PJ⊥x轴于J,连接BF,连接BD,作MW⊥BE于W,作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于 S,延长BE,交SN于Q, 图1 则∠Q=∠NSD=∠MWC=∠MWB=∠RBC=90°， 把t=-2代入y=x2-x,可得，y=×(-2)2-是×(-2)=5， AJ=3-(-2)=5, ∴A=Pj, ∠PAJ=45°， ∠ADC=90°， ∠ACD=90°-∠PAJ=45°， ∠PA=ACD, ·△ACD是等腰直角三角形， :可得四边形ABCD是正方形， …………6分 ∴∠ACD=∠DBC=45°，∠FCB=∠BCD=90°， CF=CD=BC ∠CFB=∠CBF=45°， FG//AC. ∴.∠CFG=∠ACD=45°， ∴点F、G、B共线， “∠FBD=∠FBC+∠DBC=90°，∠GED=90°， ∠FBD+∠DEG=180°， ∴点G、E、D、B共圆， ∠EGD=∠DBC=45°，∠EDG=∠FBC=45°， ∴∠EGD=∠EDG, 6/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴EG=ED, "∠EVG=∠DCE=90°， ∴∠EGV+∠VEG=90°， ∠DEG=90°， ∴∠DCE+∠VEG=90°， ∴∠DEC=∠EGV, ·△EGV≌△DEG(AAS), ∴EV=CD,CE=GV, 设CM=V2x,W1=a, ∠AC8=45,CM=号RB, WM=CW=x.RB=3x MW//BR. ∴△MWI∽△RBI, 贤=毁=， ∴BI=3WI=3a AB=BC=CW+WI+BI=x+4a, BC//AD ·△RBI∽△RAD, 器=器 小是= x=2a, EAAEA-AEA8 0 …………………7分 BC=AB=x+4a=6a,RB=3x=6a BF=2BC=62a.DF=2CD=12a. DF//RB. △GFD∽△GBR, 器=器=岩-2， BG=青BF=2V2a, GV=BV=号8G=2a CE=GV=2a BE=BC+CE=6a+2a=8a, ER=BR+BE6a)+8a)=10a. RN=RA=12a, 7/10 商学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴EN=RN-RE=2a, ∴CE=EN=2a, 作IK⊥RN于K, 由S△RBE=S△RBI十S△RIE得， ×6a…8a=青×6a3a+×101K, K=3a, ∴∠NRD=∠ARD, RD=RD ·△ARD≌△NRD(SAS), ∴∠RND=∠RAD=90o, ∴∠RND=∠ECD=90°， DE=DE Rt△DCE≌Rt△DNE(HL), ∴DN=CD=6a, ∠Q=∠NS0=90°， ÷∠QEN+∠QNE=90°， ∠EDN=90°， ∴∠QNE+∠DNS=90°， ∠DNS=∠QEN, :△EQN∽△NE0, 器=器=歌= NS=3EQ,QN=专DS, 设N(x,y): E(3-8a,6a),D(3-6a,0), :EQ=3-8a-x,DS=3-6a-X NS=3(3-8a-x),NQ=青(3-6a-x), NQ+NS=QS=CD=6a. 3(3-8a-x)+(3-6a-x)=6a, x=3-智a, y=NS=3(3-8a-x)=号a, 3-增)-03-增)=兽， a=8, 6a=, 8/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 c(3) …………………9分 如图2， 图2 延长DH,交CT于X,作DL⊥CT于L,交AH于Z,设CT交x轴于Y, ∠DHT=90°，∠ATC=135°， ∴∠XHT=90°，∠XTH=45o, ∴∠TXH=45o, ÷∠XDL=90°-∠TXH=45°， ÷∠HZD=90°-∠XDL=45°， ∴DH=HZ, 设HZ=DH=m,则XH=2DH=2m,DZ=V2DH=V2m, ×∠XDL=45°，∠ADC=90°， ∴∠CDX+∠ADZ=45°， ∠CDX+∠DCX=∠DXL=45o, ∴∠ADZ=∠DCX, ∠DXC=∠AZD=135°，AD=CD, ÷△ADZ≌△CDX(AAS), CX=DZ=V2 m. DX=DH+XH=m+2m=3m. DL=XL=号DX=9m, cL=cx+xL=巨m+9m=9m: tanDCL=器=竖=是， DY= …Y(2,0), 设直线CT的解析式为：y=kx+b(k≠0)， 9/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2k+b=0 ∫k=- k+b=月，解得b=号 y=-x+9 10分 10/10 ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前，考生先将自己的 “ 姓名 ” 、 “ 考号 ” 、 “ 考场 ” 、 “ 座位号 ” 在答题卡上填写清楚，将 “ 条形码 ” 准确粘贴在条形码区城内 3．请按 照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效 4．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米 黑 色字迹的签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 计 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 计30 分） 11． _______ _________ _ 12 ． ___________________ 1 3 ． __________________ 14 ． ______________ ____ 1 5 ． _______ __________ 1 6 ． ____________ ______ 1 7 ． __________________ 1 8 ． _______ ___________ 1 9 ． _______ __________ 20 ． __________________ 三 、 解答题 （共计 6 0分） 21．（本题7分） )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（本题7分） （ 1 ） （ 2 ） 23 ．（本题8分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（本题8分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ． （ 本题10 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26．（本题10分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27．（本题10分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 1 2025 年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．______________ ____ 15．_________________ 16．____________ ______ 17．__________________ 18．__________________ 19．_________________ 20．__________________ 三、解答题（共计 60 分） 21．（本题 7 分） 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．本试卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号” 在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区城内 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效 4．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字 迹的签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改 液、修正带、刮纸刀 注意事项 22．（本题 7 分） （1） （2） 23．（本题 8 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本题 8 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本题 10 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（本题 10 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（本题 10 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷） 数 学 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区城内 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．实数的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，我市某中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年5月1日，该片票房已超过15700000000元．其中15700000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．方程的解是（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为 7．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多几个小正方形? （ ） 第7题图 A． B． C． D． 8．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） 第8题图 第9题图 第10题图 A． B． C． D． 9．小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（ ） A． B． C． D． 10．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．因式分解： ． 13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为 ． 第13题图 第14题图 第15题图 14．如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是 ． 15．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 16．不等式组的解集是 ． 17．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 第17题图 第20题图 18．若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 19．在中，，，，则的长为 ． 20．如图，在菱形中，与交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，点为边中点，连接，若，，则线段的长为 ． 三、解答题（共计60分） 21．（本题7分） 先化简，再求值：，其中． 22．（本题7分） 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画以为斜边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； (2)在（1）的条件下，在图中以为边画，点C在小正方形的格点上，使，且 连接，直接写出线段的长． 23．（本题8分） 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． (1)本次抽测的男生有多少人？ (2)通过计算请将图2中的统计图补充完整； (3)若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 24．（本题8分） 如图，在 中， 为边上的中线．动点 从点 出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接，以为边在其右侧作等边三角形，连接、．设点的运动时间为（s）． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)在不添加辅助线和其他字母的前提下，在点的运动过程中，当图中存在轴对称的四边形时，直接写出的值． 25．（本题10分） 为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多10个． (1)求打折前每个篮球的售价是多少元？ (2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？ 26．（本题10分） 已知为的直径，点、为上异于、的两点，点在外，已知，垂足为，过点做，垂足为，交于点，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图，连接，分别交，于点，，若，，求线段的长． 27．（本题10分） 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与x轴正半轴交于点A，点A坐标． (1)求b，c的值； (2)如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，，点D在上，，交于点C，，点E在第二象限，连接，，连接，过点E作的垂线，交过点F且平行的直线于点G，连接交于点M，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点B，交的延长线于点R，，连接并延长交抛物线于点N，，点T在内，连接，，，交的延长线于点H，，求直线的解析式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（黑龙江哈尔滨卷） 数 学 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区城内 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．实数的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，我市某中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年5月1日，该片票房已超过15700000000元．其中15700000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．方程的解是（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为 7．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多几个小正方形? （ ） 第7题图 A． B． C． D． 8．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） 第8题图 第9题图 第10题图 A． B． C． D． 9．小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（ ） A． B． C． D． 10．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．因式分解： ． 13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为 ． 第13题图 第14题图 第15题图 14．如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是 ． 15．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 16．不等式组的解集是 ． 17．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 第17题图 第20题图 18．若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 19．在中，，，，则的长为 ． 20．如图，在菱形中，与交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，点为边中点，连接，若，，则线段的长为 ． 三、解答题（共计60分） 21．（本题7分） 先化简，再求值：，其中． 22．（本题7分） 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画以为斜边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； (2)在（1）的条件下，在图中以为边画，点C在小正方形的格点上，使，且 连接，直接写出线段的长． 23．（本题8分） 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． (1)本次抽测的男生有多少人？ (2)通过计算请将图2中的统计图补充完整； (3)若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 24．（本题8分） 如图，在 中， 为边上的中线．动点 从点 出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接，以为边在其右侧作等边三角形，连接、．设点的运动时间为（s）． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)在不添加辅助线和其他字母的前提下，在点的运动过程中，当图中存在轴对称的四边形时，直接写出的值． 25．（本题10分） 为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多10个． (1)求打折前每个篮球的售价是多少元？ (2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？ 26．（本题10分） 已知为的直径，点、为上异于、的两点，点在外，已知，垂足为，过点做，垂足为，交于点，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图，连接，分别交，于点，，若，，求线段的长． 27．（本题10分） 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，与x轴正半轴交于点A，点A坐标． (1)求b，c的值； (2)如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，，点D在上，，交于点C，，点E在第二象限，连接，，连接，过点E作的垂线，交过点F且平行的直线于点G，连接交于点M，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点B，交的延长线于点R，，连接并延长交抛物线于点N，，点T在内，连接，，，交的延长线于点H，，求直线的解析式． 10 / 11 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$