专题06 二元一次方程求参、实际问题及新定义问题（九大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题06 二元一次方程求参、实际问题及新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程组的特殊解法 2 类型二、二元一次方程组的错解复原 3 类型三、方程组相同解问题 4 类型四、方案问题 5 类型五、行程问题 6 类型六、销售问题 8 类型七、几何问题 9 类型八、三元一次方程组的求解 11 类型九、新定义问题 12 压轴能力测评 13 考点一、解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 考点二、二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 类型一、二元一次方程组的特殊解法 【例1】已知方程组，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】已知关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 【变式1-1】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【变式1-2】已知方程组的解是求方程组的解． 【变式1-3】解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 类型二、二元一次方程组的错解复原 【例3】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【例4】上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)____；____； (2)按照正确的a、b求出原方程组的解． 【变式2-1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为． (1)求出a和b的值； (2)求出原方程组的正确解． 【变式2-2】在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【变式2-3】在解方程组时，小明不小心把方程①抄错了，得到错解而小亮不小心把方程②抄错了，得到错解你能求出该方程组的正确解吗？请试一试． 类型三、方程组相同解问题 【例5】如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【例6】已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 【变式3-1】关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【变式3-2】已知方程组和方程组解相同，则 ． 【变式3-3】已知关于的方程组与同解，求的值． 类型四、方案问题 【例7】某商店计划购买一批水果出售，据了解1箱苹果、3箱梨的进价共计204元；4箱苹果、2箱梨的进价共计336元． (1)求每箱苹果、梨两种水果的进价分别为多少元？ (2)某商店需要购买苹果12箱，梨10箱，现商家推出活动，优惠一：苹果满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算？ 【例8】“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【变式4-1】已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式4-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式4-3】为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． (1)求每辆，车型各有多少个座位？ (2)要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ 类型五、行程问题 【例9】A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 【例10】兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？ 【变式5-1】如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【变式5-2】绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【变式5-3】甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快． (1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？ (2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 类型六、销售问题 【例11】班长安排小明购买班级演讲比赛的奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境： 请根据上面的信息解决问题： (1)这两种笔记本各买了多少本？ (2)小明为什么不可能找回68元？ 【例12】某水果批发市场苹果的价格如下表： 购买苹果质量 不超过 以上但不超过 以上 价格 6元 5元 4元 张阿姨分两次购买苹果共（第二次多于第一次），共付款264元．张阿姨第一次、第二次各购买苹果多少千克？ 【变式6-1】某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【变式6-2】2025年，中国新能源汽车产量目标预计将突破1300万辆，标志着中国在全球新能源汽车市场中的领先地位．某型号新能源汽车的某个集成块由，两个元件组成，，两个元件原来的生产成本之和为920元．为了降低成本，进行技术革新，要求元件生产成本不超过350元，该集成块的总成本不超过500元．已知经过一次技术革新后，元件的生产成本降低了，元件的生产成本降低了，，两元件的生产成本之和为400元．判断这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求”，并说明理由． 【变式6-3】为了响应“每天锻炼小时”的号召，卢老师先后三次到同一家体育用品专卖店为学校采购乒乓球拍，羽毛球拍．第一，二次按照标价采购，第三次采购时恰巧遇到专卖店搞活动，乒乓球拍，羽毛球拍都按标价折销售．三次购买乒乓球拍，羽毛球拍数量及其费用如下表： 采购 乒乓球拍的数量（副） 羽毛球拍的数量（副） 总支出（元） 第一次采购 第二次采购 第三次采购 (1)求每副乒乓球拍，羽毛球拍的标价； (2)第三次采购乒乓球拍，羽毛球拍的数量分别为，求的值． 类型七、几何问题 【例13】如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是（   ） A． B． C． D． 【例14】学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【变式7-1】老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则阴影部分的面积为 ． 【变式7-3】某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 类型八、三元一次方程组的求解 【例15】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 【例16】已知，且，求、、的值． 【变式8-1】解方程组： (1)； (2)． 【变式8-2】幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为 ． 【变式8-3】2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元． (1)求等票和等票每张分别为多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案． 类型九、新定义问题 【例17】对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【例18】对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若无论k取何值时，的值均不变，则； ④若对任意有理数x、y都成立，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式9-1】现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 【变式9-2】定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 【变式9-3】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 1．如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 2．密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 3．当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．解关于x，y的二元一次方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，则a，b，c的值分别是（    ） A．，， B．，， C．a，b不能确定， D．a，b不能确定， 6．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为 ． 8．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 9．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是 ． 10．有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 11．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 12．数学试题）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 13．我们规定．关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题， (1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二元一次方程求参、实际问题及新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程组的特殊解法 2 类型二、二元一次方程组的错解复原 5 类型三、方程组相同解问题 9 类型四、方案问题 12 类型五、行程问题 16 类型六、销售问题 19 类型七、几何问题 23 类型八、三元一次方程组的求解 26 类型九、新定义问题 29 压轴能力测评 34 考点一、解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 考点二、二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 类型一、二元一次方程组的特殊解法 【例1】已知方程组，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， 可得：，解得：． 故选C． 【例2】已知关于、的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：方程组整理得， 方程组的解为， 方程组的解为，即， 方程组的解为． 故答案为：． 【变式1-1】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组， ∴， 解得：， 则二元一次方程组的解是， 故答案为： 【变式1-2】已知方程组的解是求方程组的解． 【答案】 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 【变式1-3】解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1， (2)； (3)． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 类型二、二元一次方程组的错解复原 【例3】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：， ∴③，， ∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：， ∴④， ∴， 解得： ∴， 故答案为：5． 【例4】上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)____；____； (2)按照正确的a、b求出原方程组的解． 【答案】(1)1， (2) 【详解】（1）解：由题意得 是②的解， 解得：， 是①的解， ， 解得：， 故答案为：，； （2）解：原方程组为 ①得， ③， ③②得 ， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 【变式2-1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为． (1)求出a和b的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 把代入②得， 解得； 把代入①得 ， 解得：； （2）把，代入得 由④得 将⑤代入③得 解得 把代入⑤得 ∴原解方程组的解为． 【变式2-2】在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式2-3】在解方程组时，小明不小心把方程①抄错了，得到错解而小亮不小心把方程②抄错了，得到错解你能求出该方程组的正确解吗？请试一试． 【答案】 【详解】解：依题意把代入②，得， 代入①得， 则， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴ 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴该方程组的正确解为 类型三、方程组相同解问题 【例5】如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【详解】解：方程组和有相同的解， 则有， ，得， 解得， 把代入①，解得， 把，，代入， 得， ，得， 解得， 把代入④，解得， 当，时，． 故选：B． 【例6】已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或或； （2）解：， ∵， ∴， 将③代入①得， 将代入③得， 将代入②得，； （3）解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的同一个解为． 【变式3-1】关于x、y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【详解】解：关于x、y的方程组与有相同的解， 关于x、y的方程组与有相同的解， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：. 【变式3-2】已知方程组和方程组解相同，则 ． 【答案】1 【详解】解：由于方程组和方程组解相同， 则的解与两个方程组的解相同， 解方程组得：； 把分别代入中，得， 解得：， 则； 故答案为：1． 【变式3-3】已知关于的方程组与同解，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意，四个方程同时成立，所以有方程组 解得， 代入其余两个方程，得 解得． 类型四、方案问题 【例7】某商店计划购买一批水果出售，据了解1箱苹果、3箱梨的进价共计204元；4箱苹果、2箱梨的进价共计336元． (1)求每箱苹果、梨两种水果的进价分别为多少元？ (2)某商店需要购买苹果12箱，梨10箱，现商家推出活动，优惠一：苹果满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算？ 【答案】(1)每箱苹果的进价分别为60元，每箱梨的进价分别为48元 (2)该商店选择优惠一购买更划算 【详解】（1）解：设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元， 根据题意得：，解得， 答：每箱苹果的进价分别为60元，每箱梨的进价分别为48元； （2）解：选择优惠一所需费用为：（元）； 选择优惠二所需费用为：（元）； ， ∴该商店选择优惠一购买更划算． 【例8】“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元 (2)答：共有以下3种购买方案：方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【变式4-1】已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 【变式4-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 (3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元． （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆． （3）解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 【变式4-3】为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． (1)求每辆，车型各有多少个座位？ (2)要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ 【答案】(1)每辆型车有个座位，每辆型车有个座位 (2)有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车 【详解】（1）解：设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆型车有个座位，每辆型车有个座位； （2）解：设租辆型车，辆型车， 根据题意得：， ∴， 又∵，为非负整数， ∴或或， ∴有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车． 类型五、行程问题 【例9】A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 【答案】 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得：， 解得：， ∴甲的骑行速度为． 故答案为：． 【例10】兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？ 【答案】甲乙两地相距40千米 【详解】解：设甲乙两地相距千米，哥哥所用的时间为． ， 解得， 答：甲乙两地相距40千米． 【变式5-1】如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【答案】25 【详解】解：设步行速度为，则车速为，设，， 则的路程为，的路程为， 根据题意知，， 解得， 则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟）， 故答案为：25． 【变式5-2】绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【答案】(1)需要甲13辆，乙16辆； (2)共有6种运输方案，详见解析． 【详解】（1）解：设需要辆甲种车，辆乙种车， ∴ ∴， ∴需要甲13辆，乙16辆． （2）解：设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车， ∴ ∴ 又∵，，均为正整数， ∴或或或或或， ∴共有6种运输方案，所需费用如下表， 车型 甲 乙 丙 总费用 等级 汽车辆数 6 1 13 4750 优秀 5 4 11 4800 良好 4 7 9 4850 良好 3 10 7 4900 良好 2 13 5 4950 合格 1 16 3 5000 合格 【变式5-3】甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快． (1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？ (2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【答案】(1)甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟 (2)甲、乙两人跑一圈各需要3分钟，6分钟 【详解】（1）解：设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米， 依题意，得：， 解得：． 答：甲、乙两人速度分别是米/每分钟，米/每分钟； （2）解：甲跑一圈各需要（分钟）， 乙跑一圈各需要（分钟）， 类型六、销售问题 【例11】班长安排小明购买班级演讲比赛的奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境： 请根据上面的信息解决问题： (1)这两种笔记本各买了多少本？ (2)小明为什么不可能找回68元？ 【答案】(1)5元，8元的笔记本分别买了本，本 (2)理由见解析 【详解】（1）解：设5元的笔记本买了本，，8元的笔记本买了本．根据题意，得 解得   答：5元和8元笔记本分别买了25本和15本． （2）设买本5元的笔记本，则买本8元的笔记本．根据题意得 ． 解得． 因为是正整数， 所以不合题意，舍去． 所以不可能找回68元． 【例12】某水果批发市场苹果的价格如下表： 购买苹果质量 不超过 以上但不超过 以上 价格 6元 5元 4元 张阿姨分两次购买苹果共（第二次多于第一次），共付款264元．张阿姨第一次、第二次各购买苹果多少千克？ 【答案】张阿姨第一次购买苹果，第二次购买苹果 【详解】解：设张阿姨第一次购买苹果，第二次购买苹果．根据题意，得 ． （1）当，时，根据题意，得 解得 ； （2）当，时，根据题意，得 解得（不合题意，舍去）．   （3）当时，则，此时张阿姨用去的钱数为（不合题意，舍去）． 张阿姨第一次购买苹果，第二次购买苹果． 【变式6-1】某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)可获利1000元 (3)销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1000元； （3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【变式6-2】2025年，中国新能源汽车产量目标预计将突破1300万辆，标志着中国在全球新能源汽车市场中的领先地位．某型号新能源汽车的某个集成块由，两个元件组成，，两个元件原来的生产成本之和为920元．为了降低成本，进行技术革新，要求元件生产成本不超过350元，该集成块的总成本不超过500元．已知经过一次技术革新后，元件的生产成本降低了，元件的生产成本降低了，，两元件的生产成本之和为400元．判断这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求”，并说明理由． 【答案】元件的生产成本是否符合“要求”，理由见详解 【详解】解：元件的生产成本是否符合“要求”，理由如下： 设降低成本前的，两个元件分别为a元和b元， 则进行技术革新后，两个元件分别为元和元，且元， 根据题意有：， 解得：． 则元， 即这次技术革新后，元件的生产成本是否符合“要求” 【变式6-3】为了响应“每天锻炼小时”的号召，卢老师先后三次到同一家体育用品专卖店为学校采购乒乓球拍，羽毛球拍．第一，二次按照标价采购，第三次采购时恰巧遇到专卖店搞活动，乒乓球拍，羽毛球拍都按标价折销售．三次购买乒乓球拍，羽毛球拍数量及其费用如下表： 采购 乒乓球拍的数量（副） 羽毛球拍的数量（副） 总支出（元） 第一次采购 第二次采购 第三次采购 (1)求每副乒乓球拍，羽毛球拍的标价； (2)第三次采购乒乓球拍，羽毛球拍的数量分别为，求的值． 【答案】(1)每幅乒乓球的标价为元，羽毛球的标价为元； (2)或． 【详解】（1）解：设每幅乒乓球和羽毛球的标价分别为元，元， 则， 解得， 答：每幅乒乓球的标价为元，羽毛球的标价为元； （2）解：由题意得，， ， 因为是奇数，是偶数， 所以是奇数， 所以或． 类型七、几何问题 【例13】如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形的边长为， 则长方形②的宽为，长为； 长方形①的长为，宽为， ∵长方形①的周长为25，长方形②的周长为13， ， 解得：， 则正方形A、B的边长之比是 故选：C． 【例14】学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； (2) 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 【变式7-1】老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大， 由题意得：， 解得：， ∴桌子的高度为， 故选：C． 【变式7-2】在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则阴影部分的面积为 ． 【答案】33 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得：， 解得：， 则大长方形的宽为， 阴影部分的面积为：； 故答案为：33． 【变式7-3】某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【答案】(1)0.4，0.6； (2)，． 【详解】（1）（米）， （米）； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：． 类型八、三元一次方程组的求解 【例15】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 【答案】11 【详解】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：， ． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 【例16】已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【详解】解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 【变式8-1】幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为 ． 【答案】4 【详解】解：根据题意得：， 即， ， ； 故答案为：4． 【变式8-2】2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元． (1)求等票和等票每张分别为多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案． 【答案】(1)等票和等票每张分别为元和元 (2)方案一：购买3张等票，张等票，张等票；方案二：购买3张等票，张等票，张等票；方案三：购买3张等票，张等票，张等票 【详解】（1）解：设等票和等票每张分别为元和元，由题意，得： ，解得：； 答：等票和等票每张分别为元和元； （2）设购买三种门票分别为张，由题意，得： ， ∴， ∵均为正整数， ∴或或； 故共有3种方案， 方案一：购买3张等票，张等票，张等票； 方案二：购买3张等票，张等票，张等票； 方案三：购买3张等票，张等票，张等票． 【变式8-3】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得： ， 得： ， 将，代入①得： ， ， 方程组的解集为； （2）解： 方程组可整理为 得： ， 联立， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解集为． 类型九、新定义问题 【例17】对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 【例18】对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若无论k取何值时，的值均不变，则； ④若对任意有理数x、y都成立，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； ， ∵无论取何值时，的值均不变， ∴或， 即或，故③错误； 当时， 则， ∴， ∴， 即， ∵对任意有理数都成立， ∴，故④正确； ∴结论的正确为①②④，共3个， 故选：B． 【变式9-1】现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 【答案】 【详解】解：（1）当，且时， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式9-2】定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 【答案】2 【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：， 解得：， 则， 故答案为：2． 【变式9-3】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． （2）解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； （3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 1．如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为， 由题意得：，即， 解得， 故选：B． 2．密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵密匙，都表示的是个相同的有理数， ∴（）若，有或， 当时，，不符合题意； 当时，则，所以， ∴密匙，的三个数为，，， （）若，有或， 当时，则，，不符合题意； 当时，则，，不符合题意； 综上可知：，， ∴； 故选：． 3．当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【详解】解：当分别等于3、5时，代数式的值是5、11， 代入得：， 解得：； 当分别等于5、7时，代数式的值是11、17， 代入得：， 解得：； ∴当分别等于3、5、7时，多项式的值分别为5，11，17， 而当时，多项式的值为， 当时，错误， 故选：A． 4．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将方程组变形得 ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 5．解关于x，y的二元一次方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，则a，b，c的值分别是（    ） A．，， B．，， C．a，b不能确定， D．a，b不能确定， 【答案】A 【详解】解：， 把代入①，得， ③， 把代入①，得， ④， 由③和④组成一个二元一次方程组：， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 即，，． 故选：A． 6．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 7．已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【详解】解：根据题意得图1阴影部分的面积为， ∴， ∵正实数，，，，满足，， ∴联立方程组得， 解得，， 由方程组得 ∴， ∴， ∴图2阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 8．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 9．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ， ， ，故①正确； ∵， ∴当时，，故②错误； ， ， ， ， ，故③正确； ，， ， ，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 故答案为：①③④ 10．有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 【答案】共需80元 【详解】设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元． 根据题意，得 由，得③， 由，得． 所以若购甲，乙，丙货物各1件，则共需80元． 11．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 12．数学试题）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析 【详解】（1）解：设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意： ， 解得： ， 答：小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆； （2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆， 则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为， 则这天小石这天共摄入脂肪， ， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 13．我们规定．关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题， (1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴方程是“幸福”方程； （2）解：∵二元一次方程是“幸福”方程， ∴， 解得：； （3）解：∵是“幸福”方程组， ∴，解得：， ∴原方程组为， ∵是关于x，y的“幸福”方程组的解， ∴， 由①②得：． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$