精品解析：云南省德宏州民族第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

德宏州民族第一中学2025年春季学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：郭彪 审题人：李娇林 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 2. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 3. 某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 144 D. 240 5. 已知随机变量X满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则事件相互独立 B. 已知随机变量，则 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D. 已知随机变量，若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. e是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 若方程（）有两个不同的实根，则. D. 在定义域内无最小值，无最大值. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______ 14. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前n项和，数列的前n项和． （1）求，的通项公式； （2）若，求的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为，求的值； （2）若为上的单调函数，求的取值范围； （3）若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州民族第一中学2025年春季学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：郭彪 审题人：李娇林 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质进行计算即可. 【详解】随机变量服从正态分布， 且, 所以， ， 所以， 故选:D. 2. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示鱼被钓上来，事件表示随机钓一条鱼且该鱼是鲢鱼，则， 所以. 故选:C. 4. 某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 144 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】分三步，首先除代表甲与代表乙以外的3名代表全排，其次将代表甲与代表乙插入3名代表排好后产生的4个空位，最后安排记者在两端，由分步计数，相乘可得结果. 【详解】第一步除代表甲与代表乙以外的3名代表的排法有种， 第二步由代表甲与代表乙不相邻，利用插空法，将代表甲与代表乙插入其他3名代表排好后产生的4个空位，方法为种， 第三步将记者安排在两端有种， 所以共有种排法. 故选：C. 5. 已知随机变量X满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用期望、方差的性质求解. 【详解】由，得，则； 由，得，因此. 故选：C 6. 安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人； 当分为3,1,1人时，有种实习方案， 当分为2,2,1人时，有种实习方案， 即共有种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为， 故选：D. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解， 所以成立， 由于，所以， ， 则实数的取值范围是． 故选：D. 二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，解得，所以AB选项正确. ，所以 ，C选项错误. ， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则事件相互独立 B. 已知随机变量，则 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D. 已知随机变量，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的概率公式求出，由结合事件相互独立的定义即可判断；对于B，根据二项分布的方差公式求解即可；对于C，根据百分位数的定义，求值判断即可；对于D，根据正态分布的对称性求解即可判断. 【详解】对于A，，则，所以事件相互独立，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将数据按从小到大排序为：.共有8个数据，所以第75百分位数为第6，7个数据的平均数，为，故C错误； 对于D，随机变量，且，则，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. e是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 若方程（）有两个不同的实根，则. D. 在定义域内无最小值，无最大值. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，数形结合判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，方程（）有两个不同的实根，则，C正确； 对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D正确 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项分前面括号内取1和分别求解即可. 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______ 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出函数的导数，从而求得切线斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴的交点坐标，然后得到面积. 【详解】所以， ∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程：， 切线与坐标轴交点为， ∴封闭图形的面积：. 故答案为：. 14. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 因为开口方向向下， 所以在区间上的最小值的端点处取得， 所以要使对，，使得成立， 只需，即或， 即或， 解得， 所以a的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前n项和，数列的前n项和． （1）求，的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由通项公式与前n项和的关系，作差即可求解； （2）由错位相减法即可求解； 【小问1详解】 因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时，， 此时满足上式，故． 因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时， ，此时满足上式， 故． 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 两式相减得， 化简得． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，， 又是的中点，则且， 由是的中点，底面为矩形，则， 故，，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，得到线线平行，根据线线平行，可证线面平行. （2）方法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦； 方法2：根据二面角的平面角的概念，作出平面与平面所成的角，再利用三角形的边角关系，求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面为矩形，可得， 平面平面，平面平面，，平面PAB， 所以平面，则，， 可以以，，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， 所以， 设平面EFD的一个法向量为， 则，令，则， 依题意，可得平面PAB的一个法向量为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：（2）底面为矩形，，平面平面， 平面平面，平面，所以平面PAB. 延长，交于点，连接， 过点作，垂足为点，连接. 平面，平面， ，，平面，平面， 平面ADH，， 为二面角的平面角， ，，，， ，，， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出，从而求出，即可求解方程； （2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即可. 【小问1详解】 由焦点为得，又离心率，得到， 所以，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消y得， ，得到， 由韦达定理得，，， 又因为， 又原点到直线的距离为， 所以， 所以，所以，即，满足， 所以直线l的方程为. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 数学期望为1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为，求的值； （2）若为上的单调函数，求的取值范围； （3）若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：，其定义域为，又，故其为奇函数； 又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可. 又，令，则， 当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立， 故在单调递减，又，，故存在，使得， 则当，，单调递增；当，，单调递减； 故当，，又， 故存在，使得； 综上所述：当时，在存在唯一零点， 也即当时，恰好有三个零点， 于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【解析】 【分析】（1）根据，结合导数运算，即可求得参数值； （2）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （3）根据，以及为奇函数，只需证明在有一个零点即可；讨论时，的单调性，结合（2）中所求，即可证明. 【小问1详解】 ，故，故； 由题可知，，故，解得. 【小问2详解】 若为上的单调增函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $