2.5一元一次不等式与一次函数 学案 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

2.5一元一次不等式与一次函数 学案 【学习目标】综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题。. 【学习重难点】感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系. 【导学过程】 一.知识回顾 1．若y1=-2x-2，y2=3x+3，试确定当x____时，y1<y2. 2.某商品原价60元，现优惠25%，则现价是____元 3.某商品原价200元，现打七五折，则现价是____元 二.探究新知 1.通信费用问题. 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 解：设每月通话时间为x分钟,选择甲种业务时,所需的费用为y1元,选择乙种业务时,所需的费用为y2元,则：y1=________，y2=________. 当y1=y2时，________=________，解得x________； 当y1＜y2时，________＜________，解得x________； 当y1＞y2时，________＞________，解得x________； ∴通话的时间________分钟时，y1＜y2，应选择甲种业务对顾客更合算． 通话的时间________分钟时，y1＞y2．应选择乙种业务对顾客更合算． 2.旅行费用问题 某单位计划在新年期间组织员工到大梅沙一日游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1=___________，即y1=____．y2=________________，即y2=__________． 当y1=y2时，____=________,解得x____; 当y1＞y2时，____＞________,解得x____; 当y1＜y2时，____＜________,解得x____． 因为参加旅游的人数为10至25人，所以当x=____时，甲乙两家旅行社的收费相同；当 ____≤x≤____时，选择甲旅行社费用较少，当____≤x≤____时，选择乙旅行社费用较少． 3.一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用规律归纳 ( 解决问题 实际问题 画出图象 分析图象 写出两个函数表达式 建立 不等式 解不等式 ) ( 实际问题 画出图象 分析图象 解决问题 写出两个函数表达式 不等式 解不等式 ) ( 实际问题 画出图象 分析图象 解决问题 写出两个函数表达式 不等式 解不等式 ) 三.典例与练习 例1.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠. 甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%。那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是:y1=____________________ 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系是y2=________________. （1）当y1=y2时，得：x____.所以x____时到两家商场的收费相同. （2）当y1＜y2时，得：x____，所以x____时到甲商场购买更优惠. （3）当y1＞y2时，得：x____.所以x____时到乙商场购买更优惠. 练习1.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费. 设制作宣传材料x份，收费y元，则y甲=________；y乙=____ （1）当y甲=y乙时，得：x=____，所以x=____时两公司的收费相同. （2）当y甲＜y乙时，得：x______，所以x______时选择甲公司比较合算. （3）当y甲＞y乙时，得：x______，所以x______时选择乙公司比较合算. 四.课堂小结 一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答： (1)根据题意写出每个方案的函数关系式； (2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式； (3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策． 五.分层过关 1.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于商品积压，商品准备打折出售，但要保证利润率不低于5％，则至多可打（ ）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2.一次函数y＝2x－4与x轴的交点坐标为（2，0），则一元一次不等式2x－4≤0的解集应是（ ） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 3．某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？ 4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元．请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多？ 答案 【学习目标】综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题。. 【学习重难点】感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系. 【导学过程】 一.知识回顾 1．若y1=-2x-2，y2=3x+3，试确定当x>-1时，y1<y2. 2.某商品原价60元，现优惠25%，则现价是45元 3.某商品原价200元，现打七五折，则现价是150元 二.探究新知 1.通信费用问题. 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 解：设每月通话时间为x分钟,选择甲种业务时,所需的费用为y1元,选择乙种业务时,所需的费用为y2元,则：y1=10+0.3x，y2=0.4x. 当y1=y2时，10+0.3x=0.4x，解得x=100； 当y1＜y2时，10+0.3x＜0.4x，解得x＞100； 当y1＞y2时，10+0.3x＞0.4x，解得x＜100； ∴通话的时间大于100分钟时，y1＜y2，应选择甲种业务对顾客更合算． 通话的时间小于100分钟时，y1＞y2．应选择乙种业务对顾客更合算． 2.旅行费用问题 某单位计划在新年期间组织员工到大梅沙一日游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1=200×0.75x，即y1=150x．y2=200×0.8（x－1），即y2=160x－160． 当y1=y2时，150x=160x－160,解得x=16; 当y1＞y2时，150x＞160x－160,解得x＜16; 当y1＜y2时，150x＜160x－160,解得x＞16． 因为参加旅游的人数为10至25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当 17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少． 3.一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用规律归纳 ( 解决问题 实际问题 画出图象 分析图象 写出两个函数表达式 建立 不等式 解不等式 ) ( 实际问题 画出图象 分析图象 解决问题 写出两个函数表达式 不等式 解不等式 ) ( 实际问题 画出图象 分析图象 解决问题 写出两个函数表达式 不等式 解不等式 ) 三.典例与练习 例1.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠. 甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%。那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是:y1=6000+6000(1-25%)(x-1)=4500x+1500 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系是y2=80%×6000x=4800x. （1）当y1=y2时，得：x=5.所以x=5时到两家商场的收费相同. （2）当y1＜y2时，得：x＞5，所以x＞5时到甲商场购买更优惠. （3）当y1＞y2时，得：x＜5.所以x＜5时到乙商场购买更优惠. 练习1.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费. 设制作宣传材料x份，收费y元，则y甲=3000+20x；y乙=30x （1）当y甲=y乙时，得：x=300，所以x=300时两公司的收费相同. （2）当y甲＜y乙时，得：x＞300，所以x＞300时选择甲公司比较合算. （3）当y甲＞y乙时，得：x＜300，所以x＜300时选择乙公司比较合算. 四.课堂小结 一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答： (1)根据题意写出每个方案的函数关系式； (2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式； (3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策． 五.分层过关 1.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于商品积压，商品准备打折出售，但要保证利润率不低于5％，则至多可打（ B ）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2.一次函数y＝2x－4与x轴的交点坐标为（2，0），则一元一次不等式2x－4≤0的解集应是（ A ） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 3．某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？ 解：设需刻录x张光盘，则到电脑公司刻录费：y1=8x，自己刻录费：y2=120+4x 当x＞30时，y1＞y2；当x=30时，y1=y2；当x＜30时，y1＜y2； 因此，这批光盘多于30张时，自刻录费用省；少于30张时，到电脑公司刻录费用省； 刻录30张时，两种方式费用一样。 4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元．请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多？ 解：设商场投入资金x元， 如果本月初出售，到下月初可获利y1元， 则y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x； 如果下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8000＝0.25x－8000 当y1＝y2即0.21x＝0.25x－8000时，x＝200000 当y1＞y2即0.21x＞0.25x－8000时，x＜200000 当y1＜y2即0.21x＜0.25x－8000时，x＞200000 ∴若商场投入资金20万元，两种销售方式获利相同；若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多，若投入资金多于20万元，下月初出售获利较多． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$