2.5一元一次不等式与一次函数 导学案 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

2.5一元一次不等式与一次函数 导学案 【学习目标】理解一次函数图象与一元一次不等式的关系,会选择适当的方法解一元一次不等式. 【学习重难点】感受函数，方程，不等式之间的联系. 【导学过程】 一.知识回顾 1．已知点A(－5，a)，B(4，b)在直线y＝－3x＋2上，则a，b的大小关系为( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 2.在一次函数y＝2x-5中， ①当y＝0时，可得方程__________；②当y＞0时，可得不等式_________； ③当y＜0时，可得不等式_________． 二.探究新知 1.观察函数y=2x－5的图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3? 解：（1）当____时，2x－5=0.∴x=____,∴当x=____时，2x－5=0. （2）由y=2x－5可知____.∴当x____时，2x－5＞0； （3）同理可知，当x____时，有2x－5＜0； （4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B________，则当x____时，有2x－5＞3. 2.函数、(方程)不等式之关系 ( ① 可以看成是一次函数y＝ax＋b(a ≠ 0，a，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围； ) ( ② 反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围． )求一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b为常数)的解集 因此既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用. 三.典例与练习 例1.已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时， (1) y1＞y2 (2) y1＝y2 (3) y1＜y2 解法一：代数法． (1)y1＞y2，即2x－5____3－2x，解得x____. (2)y1＝y2，即2x－5____3－2x，解得x____. ( 图 1 )(3)y1＜y2，即2x－5____3－2x，解得x____. ∴当x____时，y1＞y2；当x____时，y1＝y2；当x____时，y1＜y2. 解法二：图象法． 在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象， 如图1．由图象知，两直线的交点坐标为________． 观察图象可知，当x____时，y1＞y2；当x____时，y1＝y2；当x____时，y1＜y2. 练习1.对于直线y＝x－1在x轴上方的点对应的x的取值范围是( 　) A．x＞1　　B．x≥1　　　C．x＜1　　　D．x≤1 例2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时哥哥分追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ 解：设哥哥跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2， ( 图 2 )根据题意，得y1=____,y2=____,函数图象如图2： （1）____时哥哥追上弟弟 （2）当________时，弟弟跑在哥哥前面； （3）当________时，哥哥跑在弟弟前面； （4）____先跑过20m，____先跑过100m; 练习2.若正比例函数y＝3x和一次函数y＝2x＋k的图象 的交点在第三象限，则k的取值范围是____． 四.课堂小结 一次函数与一元一次不等式的关系： “关于一次函数变量的取值范围的问题”可变换成“关于一次不等式的解集问题”；反之也成立. 因此不等式与函数、方程是紧密联系着的一个整体. 五.分层过关 1.直线y＝kx＋3经过点A(2，1)，则不等式kx＋3≥0的解集是(　 ) A．x≤3 B．x≥3 C．x≥－3 D．x≤0 2.已知函数y＝8x－11，要使y＞0，那么x应取( ) A．x＞ B．x＜ C．x＞0 D．x＜0 3.已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图3，当x＜0时，y的取值范围是（ �） ( 图 6 )A．y＞0 B．y＜0 C．－2＜y＜0 D．y＜－2 ( 图4 ) 4.直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图4，则关于x的不等式的解为（ ） A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定 5.一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图5，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（填序号）____ 6.如图6，直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则y>0时，x的取值范围是____. 7.已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围： （1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 ( 图 7 )8.如图7，直线：y=2x-2与x轴交于点D，直线：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点C(m,2)．（1）则m=____；（2）直线的解析式为________； （3）根据图象，直接写出1<kx+b<2x-2的解集． （4）求△ACD的面积． 答案 【学习目标】理解一次函数图象与一元一次不等式的关系,会选择适当的方法解一元一次不等式. 【学习重难点】感受函数，方程，不等式之间的联系. 【导学过程】 一.知识回顾 1．已知点A(－5，a)，B(4，b)在直线y＝－3x＋2上，则a，b的大小关系为(　A　) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 2.在一次函数y＝2x-5中， ①当y＝0时，可得方程2x-5＝0；②当y＞0时，可得不等式2x-5>0； ③当y＜0时，可得不等式2x-5<0． 二.探究新知 1.观察函数y=2x－5的图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3? 解：（1）当y=0时，2x－5=0.∴x=2.5,∴当x=2.5时，2x－5=0. （2）由y=2x－5可知y＞0.∴当x＞2.5时，2x－5＞0； （3）同理可知，当x＜2.5时，有2x－5＜0； （4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3. 2.函数、(方程)不等式之关系 ( ① 可以看成是一次函数y＝ax＋b(a ≠ 0，a，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围； ) ( ② 反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围． )求一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b为常数)的解集 因此既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用. 三.典例与练习 例1.已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时， (1) y1＞y2 (2) y1＝y2 (3) y1＜y2 解法一：代数法． (1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2. (2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2. ( 图 1 )(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2. ∴当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2. 解法二：图象法． 在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象， 如图1．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)． 观察图象可知，当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2. 练习1.对于直线y＝x－1在x轴上方的点对应的x的取值范围是(　A　) A．x＞1　　B．x≥1　　　C．x＜1　　　D．x≤1 例2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时哥哥分追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ ( 图 2 )解：设哥哥跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2， 根据题意，得y1=4x,y2=3x+9,函数图象如图2： （1）9s时哥哥追上弟弟 （2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面； （3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面； （4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m; 练习2.若正比例函数y＝3x和一次函数y＝2x＋k的图象 的交点在第三象限，则k的取值范围是k<0． 四.课堂小结 一次函数与一元一次不等式的关系： “关于一次函数变量的取值范围的问题”可变换成“关于一次不等式的解集问题”；反之也成立. 因此不等式与函数、方程是紧密联系着的一个整体. 五.分层过关 1.直线y＝kx＋3经过点A(2，1)，则不等式kx＋3≥0的解集是(　A　) A．x≤3 B．x≥3 C．x≥－3 D．x≤0 2.已知函数y＝8x－11，要使y＞0，那么x应取( A ) A．x＞ B．x＜ C．x＞0 D．x＜0 3.已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图3，当x＜0时，y的取值范围是（D �） ( 图 6 )A．y＞0 B．y＜0 C．－2＜y＜0 D．y＜－2 ( 图4 ) 4.直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图4，则关于x的不等式的解为（ B ） A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定 5.一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图5，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（填序号）① 6.如图6，直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则y>0时，x的取值范围是x>4. 7.已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围： （1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 解：（1）∵y1=x+3，y2=-x+2，∴x+3＜-x+2，解得x＜-； （2）∵y1=x+3，y2=-x+2，2y1-y2≤4， ∴2（x+3）-（-x+2）≤4，解得x≤0． 8.如图7，直线：y=2x-2与x轴交于点D，直线：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点C(m,2)．（1）则m=2；（2）直线的解析式为y=−x+4； （3）根据图象，直接写出1<kx+b<2x-2的解集． （4）求△ACD的面积． ( 图 7 )解：（3）观察图象：1<kx+b<2x-2的解集是：2<x<3． （4） ∵D为与x轴交点∴当y=0时，2x-2=0，解得x=1∴D（1,0） ∵A为与x轴交点∴当y=0时，-x+4=0，解得x=4,∴A（4,0）∴AD=3 ∵C（2,2）∴． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$