2025 河南省鲁山县部分中学中考二模数学试卷

2025 河南省鲁山县部分中学中考第二次模拟试卷 九年级数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟。 2.请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题(每小题3分，共30 分) 1.3的倒数是 ( ) A. C.3 D. -3 2.火星是离太阳第四近的行星，也是太阳系中仅次于水星的第二小的行星，为太阳系里四颗类地行星之一，它的半径为3 396千米，与地球的平均距离为2.25亿千米.数据2.25亿用科学记数法表示为 ( ) B.2.25 3.将“祖国繁荣昌盛”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是 ( ) A.繁 B.荣 C.昌 D.盛 4.下列运算正确的是 ( ) 5.一组数据x，3，7，10的平均数是9，则x的值为 ( ) A.5 B.16 C.20 D.9 6.北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘.问客及盘各几何?”意思为：“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少?”设有x个客人，y个盘子.则可列方程组为 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 7.暑假期间，小明的父母计划带小明外出进行研学，他们打算从3个红色基地(A.红旗渠；B.竹沟革命纪念馆；C.桐柏革命纪念馆)中随机选取一个，再从2个自然景点(D.云台山；E.嵩山)中随机选取一个，则他们恰好选中红旗渠和嵩山的概率是 ( ) A. B. C. D. 8.若过多边形一个顶点的所有对角线，将一个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是6，其中边AB经过原点O，点C在x轴上，若点A在双曲线 上，点B 在双曲线 上,且AO=AC,则k的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图1,四边形是ABCD是以AB,CD为底的直角梯形,其中AB=BC=2,CD=1,动点P从点A 出发沿AB→BC匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为x，线段PD 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点 M的坐标为 ( ) A.(2, B.(2,2) C.(2, D.(2,2.5) 二、填空题(每小题3 分，共15 分) 11.要使 有意义，则实数x可以是 . 12.点 （-a²-1，－3）在第 象限. 13.小明早上从家骑自行车到学校，xmin后他离学校的路程为 ym，已知y与x之间的函数表达式为y=4500-300x,则小明从家到学校所用时间是 min. 14.如图，分别以正六边形ABCDEF 的顶点B，C为圆心，AB长为半径作圆，若正六边形的边长为4，则两圆在正六边形内部重合的面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 15.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(4，3)，点D是x轴上一点，过点D作CD的垂线交直线OC 于点E，当点 D 在x轴上移动时，线段CE的最小值为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75 分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简: 17.(8分)在浩瀚的历史长河中，中国传统文化犹如一颗璀璨的明珠，以其独特的魅力和深厚的底蕴影响着世界的每一个角落，学校为了弘扬中国传统文化，开展了丰富姿多彩的传统文化活动，开设了五种项目：A文学，B戏剧，C剪纸，D中国结，E象棋.为了解学生最喜欢以上哪种传统项目，随机抽取部分学生进行调查(每位学生仅选一种)，并绘制了统计图.某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有2000 名学生，请你估计该校最喜欢“E象棋”的学生人数. 学科网（北京）股份有限公司 18.(8分)如图,在△ABC中,AB =AC,∠B =36°. (1)尺规作图:作边AC的垂直平分线,分别交AC,BC于点F,G,在线段GB上截取GH=GC; (2)求证: 19.(9分)河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年(955年)重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会经济、文化发展起到了积极的促进作用.某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量妙乐寺塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在 C 处使用测角仪测得塔的顶部点 B 的仰角∠BDG=37°； ②沿着 CA 方向走到E处,用皮尺测得 CE=12.5米; ③在E 处使用测角仪测得塔的顶部点 B 的仰角∠BFG=45°. …… 已知测角仪的高度为1.5米，点C，E，A在同一水平直线上.根据以上信息，求塔AB 的高度.(参考数据：s ) 学科网（北京）股份有限公司 20.(9分)如图,AC是⊙O的直径,点 D 为⊙O 上一点,在CD的延长线上取点B,使得AB=AC,过点D 作 DE⊥AB,交AB 于点 E,交CA 的延长线于点 F. (1)求证:DF为⊙O 的切线; (2)若AE=1,AF=3,求 sin B 的值. 21.(10分)2024年9月27日，第十四届全国运动会在西安圆满落幕，全运会期间，吉祥物秦岭四宝深受全国人民的欢迎.某商店购进A，B两种型号的秦岭四宝的手办，已知A型号手办的单价比B型号手办的单价高100 元.用6 000 元购进A 型号手办的数量和用4000 元购进B型号手办的数量相同. (1)求A，B两种型号手办的单价分别是多少元? (2)商店计划购买A，B型号手办共400件，且A型号手办的数量不少于 B型号手办数量的2倍，若总费用不超过110000元，如何购买这两种型号手办使总费用最少? 22.(10分)为了增强校运会的趣味性，学校新增了“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次.九(3)班选择小明和小亮摇动大绳；在比赛前的训练中发现，两位同学持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A 和点B，在离点O 的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m. 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为增加比赛的观赏性，九(3)班准备选择若干名身高均为1.75 m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为0.5m，请问，九(3)班这样的设计是否能够达到比赛的要求?请说明理由. 23.(11分)综合与探究 问题情境:如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作 CF⊥AD 于点 F. 猜想证明： (1)若四边形AECF 是矩形，判断四边形ABCD 的形状并说明理由； 深入探究： (2)在(1)的条件下，将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H. ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N.猜想线段 CH 与 MD 的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线 AD，CD交于点 M，N，直线AH与线段CD交于点 Q.若AB=5,BE=4,直接写出四边形AMNQ 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025河南省鲁山县部分中学 中考二模数学参考答案 1. A 【解析】3的倒数是 1 3 .故选:A. 2. D【解析】2.25亿=2.25×10⁸.故选:D. 3. C 【解析】根据正方体表面展开图可知，“国”与 “昌”是对面，故选：C. 4. C【解析】】x²与 x³不是同类项，无法合并，∴A 不正确，不符合题意； x5 ⋅ x2 = x7,∴B不正确，不 符合题意； x4 ÷ x = x3,∴ C 正确，符合题意； (xy2)4 = x4y8,∴ D不正确，不符合题意.故选:C. 5. B 【解析】∵一组数据 x,3,7,10 的平均数是 9, ∴ x+3+7+10 4 = 9,解得 x=16.故选:B. 6. D 【解析】根据题意，得 { x 2 =y+2, x 3 +3=y, 故选:D. 7. A 【解析】树状图如下所示： 由上可得，一共有 6种等可能性，其中恰好选 中红旗渠和嵩山的有 1种， ∴恰好选中红旗渠和嵩山的概率是 1 6 .故选:A. 8. C 【解析】设这个多边形的边数是 n，由题意 得:n-2=8,∴n=10,故选:C. 9. C【解析】如图,过 A作 AD⊥x轴于 D. 由题意，设 A(a,ka)(a⟩0), ∵AO=AC,AD⊥OC,∴OC=2OD=2a. 又设直线 OA的解析式为 y=mx， ∴ ma = k a . ∴ m = k a2 . ∴直线 OA的解析式为 y = k a2 x. 联立 ∴ B(-a2 ,- k2a). ∴ S △ABC = S △BOC + S △AOC = 1 2 OC·∣yB∣ + 1 2 OC· ∣yA∣ = 1 2 ×2a( k2a+ka) = 32k. 又∵ S△ABC = 6, ∴ 3 2 k = 6. ∴ k = 4.故选:C. 10. C 【解析】由题意可知,当点 P 在边 AB 上时,y 的值先减小后增大，当点 P在边 BC上时，y的 值逐渐减小，∴M点的横坐标为 AB的长度，纵 坐标为 BD的长度， ∵AB=2,CD=1,∴BD= 5,∴M(2, 5),故选 : C. 11.3(答案不唯一) 【解析】由二次根式有意义的条 件可知,x-2≥0,即 x≥2.故答案为:3(答案不唯一). 12.三 【解析】 ∵ -a2 - 1 ≤ slant - 1, - 3 < 0,∴点 P (-a2-1,-3)在第三象限. 故答案为：三. 13.15 【解析】∵ y=4 500 - 300x,令 y =0,则 4 500-300x=0,∴x=15, ∴小明从家到学校所用时间是 15min.故答案为:15. 14.16π 3 - 4 3 【解析】重合部分的面积 = 2×60×42π 360 - 3×4 2 4 = 16π 3 - 4 3.故答案为： 16π 3 - 4 3. 15. 15 4 【解析】如图， 作 CF⊥x轴,垂足为 F,EG⊥x 轴 ,垂足为 G,设点 D(x,0), ∵由题意可得，直线 OC的 解析式为 y = 3 4 x,OC = 5,设 点 E(4m,3m),则 OE=5m, ∴CE=5-5m,GD=x-4m. ∵∠CDE=90°,∴△EGD∽△DFC, ∴ EG DF = GD CF ,即 3m 4-x = x-4m 3 , 整理得： x2 - (4+4m)x + 25m = 0, 点 D在 x轴上，方程必有实数解， ∴△= (4 + 4m)2−100m ≥ slant0,即 16m2 - 6 8m+ 16 ≥ slant0, ∴ 4m2 - 17m + 4 ≥ slant 0, 解得m≥4(舍去)或m ≤ 1 4 , ∴m取最大值为 1 4 ∴ CE = 5 - 5m = 5 - 5 4 = 15 4 . 16.解: (1)(π-3)0 + 2sin30∘ + ∣1 - 3∣ = 1 + 2× 1 2 + 3 - 1 = 1 + 1 + 3 - 1 = 1 + 3. (2)(2+ 2x+1) ⋅ x+1x2-4 = ( 2x+2 x+1 + 2 x+1) ⋅ x+1 (x+2)(x-2) = 2x+4 x+1 ⋅ x+1 (x+2)(x-2) = 2 x-2 . 17.解:(1)本次调查的样本容量是 50÷25%=200,扇 形统计图中 C 对应圆心角的度数为 360°× 20 200 = 36∘. 故答案为 200,36; (2)B项目的人数为 200-54-20-50-46=30, 补全条形统计图如下： (3)2000× 46 200 = 460(名), 答：该校最喜欢“E象棋”的学生人数为 46 0名. 18.解：(1)尺规作图如图所示； (2)∵∠GCA=∠ACB,∠CAG=∠B=36°, ∴△CAG∽△CBA, ∴ CG:CA = CA:CB, ∴ CA2 = CG ⋅CB, ∵∠BAG=∠AGB=72°,∴AB=GB, 而 AB=AC,∴AC=GB, ∴ BG2 = CG ⋅CB. 19.解 :由题意得 ,DF=CE=12.5 米 ,AG=EF=CD=1.5 米,∠BDG=37°,∠BFG=45°. 在 Rt△BDG 中 , tan∠BDG = tan37∘ = BG DG ≈0.75,∴ GD = BG 0.75 . 在 Rt△BFG 中 ,∵∠BFG=45°,∴FG=BG,∵DF =12. 5 米 , ∴ DG - FG = BG 0.75 - BG =12.5,解得 BG=37.5, ∴AB=37.5+1.5=39(米 ), 答：塔 AB的高度为 39米. 20.(1)证明:如图,连接 OD,AD, ∵AC为⊙O的直径,∴ ∠ADC=90°, ∴AD⊥BC. ∵AB=AC,∴点 D为 BC的中点. ∵点 O为 AC的中点， ∴OD为△ABC的中位线, ∴OD∥AB, ∵DE⊥AB, ∴DE⊥OD,即 DF⊥OD, ∵OD为⊙O的半径,D为 OD的外端点, ∴DF为⊙O的切线; (2)解:∵DE⊥AB,AE=1,AF=3, ∴由勾股定理，得. EF = 2 2. 由(1)知 AE∥OD,∴△ODF∽△AEF, ∴ OF AF = OD AE = DF EF . ∵AE=1,AF=3,OC=OD,∴³+0A=OD₁ = 2 2+DE 2 2 ,解得 OA = 3 2 ,DE = 2, ∴AC=3. 在 Rt△ADE中, AD = 3, ∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴sinB= sin C= 3 21.解：(1)设 B型号手办的单价为 m元，则 A型 号手办的单价为(m+100)元， 根据题意，得 6000 m+100 = 4000 m ,解得 m=20 0,经检验 m=200 是原方程的根且符合题 意，∴m+100=300, 答：A 型号手办的单价为 300 元，B 型号手 办的单价为 200元； (2)设总费用为 w元，计划购买 A型号手办 t 件,则 B型号手办(400-t)件, 根据题意,得 w=300t+200(400-t) =100t+800 00, ∴w与 t的函数关系式为 w=100t+80 000. ∵A型号手办的数量不少于 B型号手办数量的 2倍， ∴t≥2(400-t),解得 t ≥ 2662 3 , ∵t为整数,∴t最小值取 267. 在 w=100t+8000中,w随 t的增大而增大, ∴当 t=267时,w取最小值,最小值为 100×267+8 0 000 =106 700(元), ∵106 700<110000,符合题意, 此时 400-t=400-267=133, ∴购买 A 型号手办 267 件，B 型号手办 133 件，才能使总费用最少，最少费用为 106 700 元. 22.解:(1)根据题意,抛物线顶点为(5,2),过点 A(0,1), 设抛物线的函数解析式为 y = a(x-5)2 + 2,把 A (0,1)代入得 1=25a+2,解得 a = - 1 25 ,∴抛物线的 函数解析式为 y = - 1 25 (x-5)2+ 2 = - 1 25 x2 + 2 5 x +1; (2)在 y = - 1 25 (x-5)2 + 2 中， y=1.75,得 1.75 = - 1 25 (x-5)2 + 2, 解得 x=7.5或 x=2.5, ∵(7.5-2.5)÷0.5=10, ∴在绳下可以站 10+1=11(人), ∴九(3)班这样的设计能够达到比赛的要求. 23.解:(1)四边形 ABCD为菱形.理由如下: ∵四边形 AECF是矩形, ∴AE=CF,∠AEB =∠CFD,AF=EC ∴△ABE≌△CDF,∴AB=CD,BE=DF, ∴BC=AD, 又∵AB=AD,∴AB=CD=BC=AD,即四边 形 ABCD为菱形. (2)①CH=MD.理由如下:∵AB =AD,∠B =∠D,△AB E旋转得到△AHG, ∴AB=AH,∠B=∠H.∴AH=AD,∠H=∠D. ∵∠HAM=∠DAC,∴△HAM≌△DAC, ∴AM=AC, ∴AH-AC=AD-AM,∴CH=MD. ②情况一：如图，当点 G旋转至 BA的延长线 上时,GH⊥CD,此时 S 四边形AMNQ = 9 4 . ∵AB=5,BE=4,∴由勾股定理可得 AE=3. ∵△ABE旋转到△AHG, ∴AG=AE=3,GH=BE=4,∠H=∠B, ∵GN⊥CD,∴GN=AE=3,∴NH=1, ∵AD∥BC,∴∠GAM=∠B, ∴ tan∠GAM =tanB,即 GM AG = AE BE , 解得 GM = 9 4 ,则MH = 7 4 , ∵tanH=tanB, .在 Rt△QNH中, QN = 3 4 , ∴ S 四边形AMNQ = S△AMH−S△QNH = 1 2 MH·AG− 1 2 NH⋅QN = 9 4 . 情况二:如图,当点 G旋转至 BA上时,GH⊥CD,此 时 S 四边形AMNQ = 63 4 . 同第一种情况的计算思路可得：NH=7,QN= 21 4 ,A G = 3,MH = 7 4 , ∴ S 四边形AMNQ = S△QNH−S△AMH = 1 2 NH·QN− 1 2 MH⋅A G = 63 4 . 综上，四边形 AMNQ的面积为 63 4 或 9 4