精品解析：河南省九师联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册、必修第二册第一章～第四章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ） A. 8 B. 64 C. D. 33 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，且，则______． 13. 已知是相互独立事件，且，，则______． 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为第二象限角，且． （1）求和的值； （2）求的值． 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）若向量，满足，，求证：； （3）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册、必修第二册第一章～第四章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意知． 故选：A． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及集合的交集求解. 【详解】由题意知，， 所以． 故选：B． 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以. 故选：D. 4. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，所以，即，判断的形状． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 5. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6. 已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（ ） A. 8 B. 64 C. D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意，样本数据的方差为16， 则样本，，，…，的方差为， 所以样本，，，…，的标准差为． 故选：A 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估计，从而利用指数函数单调性，可比较各数. 【详解】因为，所以， 由指数函数是单调递减，所以， 又，所以， 又，所以，所以． 故选：B． 8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可的，再利用正弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基底的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，，A不可以； 对于B，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，B可以； 对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以； 对于D，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，D可以. 故选：BCD 10. 在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】通过余弦定理解的个数来判断三角形解的个数，也可以通过正弦定理大边对大角来判断解的个数. 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以，即，方程无解，故A错误； 因为，，，由余弦定理得， 所以，即， 所以，且有两个正根，所以有两个解，故B正确； 因为，，所以，又， 所以有两个解，故C正确； 因为，，， 由余弦定理得， 所以，所以有1个解，故D错误． 故选：BC． 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，且，则______． 【答案】-24 【解析】 【分析】根据三角函数定义和正切值得到方程，求出答案. 【详解】因为，且角的终边经过点，所以，解得． 故答案为：-24 13. 已知是相互独立事件，且，，则______． 【答案】0.426 【解析】 【分析】根据事件独立求出，再利用求出答案. 【详解】因为是相互独立事件，所以， 所以． 故答案为：0.426 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及余弦定理，得 ，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为第二象限角，且． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合同角三角关系分析求解即可； （2）利用诱导公式化简整理即可. 【小问1详解】 因为，即， 则， 解得或 因为为第二象限角，则，所以，． 【小问2详解】 由题意可得：. 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出； （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值； （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 由，则， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由题可得，设与垂直的向量， 则，取，得，则， 所以，与向量共线的单位向量为， 因此，与垂直的单位向量的坐标或. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，定点即可求的解析式，进而求出单调递减区间； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的最值求解即可； 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 令， 解得， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 当时，， 所以． 若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以解得， 所以的取值范围是． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解. （2）由已知求出，再在中由余弦定理列式求出. （3）由已知结合正切函数的性质求出的范围，再用正弦定理求出的范围，进而用含的表达式表示并求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由点D是边BC上的一点，且，得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 在中，点E为AB的中点，， 由余弦定理得， 所以CE的取值范围是. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）若向量，满足，，求证：； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）3； （2）由，得， 则， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出夹角余弦，再利用新定义求解. （2）利用向量的夹角公式及新定义推理得证. （3）利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，，，得， 解得，，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，而，， 于是，， ，当且仅当，即时取等号； 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $