精品解析：2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题

初三年级学业水平调研测试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故选B． 【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键． 2. 在悠久的数学发展历程中，诞生了许多杰出的数学成果．下列与数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当用电器可变电阻为时，其电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再将代入反比例函数关系为，即可求解． 【详解】解：设电流I与电阻R的反比例函数关系为，将点代入，得 ，解得， ∴反比例函数关系为， 当时，（A）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键． 4. 小明同学在学习过程中善于动手实践，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的相关内容后，他又开始了新的探索：将直角三角板按图示方式放置在直尺上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 过点M作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，则，结合，即可解答． 【详解】解：过点M作， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，无理数的估算等知识，先根据二次根式的除法运算得出，再估算出，进而可得出，即可解题． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形，…，按此规律，第10个图中小正六边形的个数是（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索；根据题意找出规律列出第n个图形中有个小正六边形，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中有个小正六边形， 第2个图形中有个小正六边形， 第3个图形中有个小正六边形， ⋯ 第n个图形中有个小正六边形， ∴第10个图形中小正六边形的个数是， 故选：B． 7. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，若像的长为，则蜡烛的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴ ∴ 即()． 故选B 8. 如图，，，分别与相切于，，三点，若，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握切线长定理，解直角三角形的方法和步骤，以及扇形面积公式． 连接，易得，，进而得出，则，最后根据阴影部分的面积即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选A． 9. 如图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线，分别交正方形的四边于点，，，，直线，交于点，记的面积为，四边形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，如图，过点D作交的延长线于点R．过点O作于点T，于点V．证明，推出四边形的面积=正方形的面积正方形的面积，证明，设，分别求出，即可． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点R．过点O作于点T，于点V． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵O是正方形的中点，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积正方形的面积， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 10. 无论为何值，都有恒成立，下列说法： ①； ②若，则； ③若，则． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，分式的运算，因式分解，代数式求值，熟练掌握这些运算法则并掌握题意是解题的关键．将化为，利用待定系数法即可求解和，则可计算①；②中，由题意得，则通过降幂的思想进行化简即可求解；③中，由 ，可得当时，，则即可计算． 【详解】解：∵无论为何值，恒成立， ∴无论为何值，恒成立， ∴， 解得：， ①中，， 故①错误； ②中，∵，即， ∴， ∴ ， 故②错误； ③中，∵， ∴当时，， ∴ ， 故③错误； 综上，正确的个数是， 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方和绝对值，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图在正六边形，连接，，则________． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查了正多边形，等腰三角形的性质，首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正六边形中，， ∴，， ∴， 故答案为：30． 13. 某班准备毕业晚会节目，在两名男生和两名女生中随机抽取两名同学组成小合唱，则抽取两名女生组成小合唱的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；根据题意画出树状图，再利用“概率所求情况数与总情况数之比”求解，即可解题． 【详解】解：根据画树状图如下： ∵所有等可能的情况有12种，其中两名女生有2种， ∴恰好抽中两名女生组成小合唱的概率为：， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】解：由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴是2的倍数，即a是偶数．， 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 15. 如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则________，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．先利用，，得出，再由，，得出；连接，过点作于点，先利用，，得出，得出，则，求出，由，得出，则，设，则，，得，再证明，得出，利用，求出，即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，连接，过点作于点， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 16. 一个四位正整数，如果百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字之和的两倍，则称为“倍数”，并规定，．若四位正整数是“倍数”，且的各数位上的数字之和为，则________；一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“倍数”，且是的倍数，则满足条件的的值的和是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，不等式的性质，二元一次方程的解，熟练根据题意正确列式或等式是解题的关键．设，利用定义得出，利用的各数位上的数字之和为，得，利用整体法求出，求出，即可求解；由（，，，且为整数）是一个“倍数”，得， ，可得，，再求出，由是的倍数，得是的倍数，再由，得出或或或，分别讨论求解即可． 【详解】解：设， 由“倍数”定义，得， ∵的各数位上的数字之和为， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∵（，，，且为整数）是一个“倍数”， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的倍数， ∴是的倍数， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴或或或， ∴或或或， ①当时，， 得：或， 当时，，； 当时，，不合题意，舍； ②当时，，不是整数，舍； ③当时，，不是整数，舍； ②当时，， 得：， 则，； 综上，符合题意的为，， 和为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和去括号法则将括号展开，再合并同类项即可； （2）先将括号内通分，各个分子分母能因式分解的先因式分解，再将除法改写为乘法，最后进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了纪念“遵义会议”90周年，某校开展了“红色长征”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其分别分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，92，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 99 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有650名学生、八年级有700名学生参加了此次“红色长征”知识竞赛，请估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ 【答案】（1）40；93；98 （2）八年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数，众数大于七年级，所以八年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好； （3）815人 【解析】 【分析】题考查了中位数，众数，样本估计总体等知识． （1）先求出八年级C组的人数所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，求出a的值，再根据中位数，众数定义可得b，c的值； （2）根据扇形统计图，中位数，众数的定义可得答案； （3）用样本估计该校七、八年级学生的情况，即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级C组所占的百分比是：， ，即； ∵共有10个数，中位数是成绩从小到大排列第5、第6个数的平均数， ∴八年级中位数； ∵七年级10名学生的竞赛成绩98出现了2次，出现的次数最多， ∴众数， 故答案为：40；93；98； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得：（人）， 答：估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是815人． 19. 在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）． 证明：四边形是平行四边形， ①________， ， 平分， ， ②________， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ③________， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________． 【答案】解：如图所示，即为所求： 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，以及平行四边形对边互相平行，四边相等的四边形是菱形． 根据尺规作图—作垂线的方法和步骤，即可作出图形；根据平行四边形的性质得出 ，结合角平分线的性质得出，则，通过证明，得出，已知垂直平分，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】略 20. 某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． （1）第一周，该食品加工厂花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ （2）第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】（1）食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 （2）食品加工厂第二周采购A种食材40件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据题意列出方程组求解即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据“每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件， ， 解得：， 答∶食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． 【小问2详解】 解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：食品加工厂第二周采购A种食材40件． 21. 如图，在中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）画出函数，的图象如图， 由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出，根据三角形面积公式求出；求出，再与的面积作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知与相交于点， ∴当时，的图象在的图象下方， ∴时x的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识．根据三角形面积公式正确求出，分别关于x的函数表达式是解题的关键． 22. 如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点． （1）求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号） （2）若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，， 【答案】（1） （2）甲渔船先到达捕鱼点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的与的和进行计算，即可解答； （2）由（1）可求出的长，从而可得；过点C作于点F， 中，利用锐角三角函数的定义求出、的长及，通过，的度数，则可得，利用锐角三角函数的定义求出、的长，即可求出，最后进行计算比较即可解答． 【小问1详解】 解：过点B作，垂足为E，则： ，，千米， ∴千米， ∴千米， ∴千米． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ∴ 由题意可知，，千米， ∴千米，， 在中，千米， 千米， ∴千米， ∵， ∴， ∴， 在中，千米， ∴千米，千米， ∴千米， ∵ ∴， 由甲、乙两艘渔船的速度相同，可得甲渔船先到达捕鱼点． 23. 如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最小值为 （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 做点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（舍去）， 综上：存在，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似． 24. 在中，，，点为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接． （1）如图1，若点为线段上一点，且，求点到的距离． （2）如图2，若点为线段上一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，求证：． （3）如图3，点为上一点，连接，，把沿翻折，得到，连接，点为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）作于，作交的延长线于点，证明，得，根据三角函数求得，进而可得，即可求解； （2）连接，由，得，证明，证明，得，进而证明，得，由，得，两边乘即可得； （3）延长至，使，连接，，得，当三点共线时，，此时最小，设，可得，，，根据勾股定理可求，作于，作于，根据面积关系可得 ，，求得，即可求得． 【小问1详解】 解：作于，作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至，使，连接，， 将沿直线翻折， ，， ， 当三点共线时，， 此时最小， 是中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小，如图所示： 作于， 由（1）知：， ， 设， ，， ， ， ，， ， 作于，作于， 平分， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级学业水平调研测试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在悠久的数学发展历程中，诞生了许多杰出的数学成果．下列与数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当用电器可变电阻为时，其电流为（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学在学习过程中善于动手实践，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的相关内容后，他又开始了新的探索：将直角三角板按图示方式放置在直尺上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 如图，蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形，…，按此规律，第10个图中小正六边形的个数是（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 40 7. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，若像的长为，则蜡烛的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，分别与相切于，，三点，若，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线，分别交正方形的四边于点，，，，直线，交于点，记的面积为，四边形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（ ） A. B. C. D. 10. 无论为何值，都有恒成立，下列说法： ①； ②若，则； ③若，则． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 如图在正六边形，连接，，则________． 13. 某班准备毕业晚会节目，在两名男生和两名女生中随机抽取两名同学组成小合唱，则抽取两名女生组成小合唱的概率为________． 14. 若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为________． 15. 如图，是的内接三角形，是直径，点在圆上，，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，，则________，则的长为________． 16. 一个四位正整数，如果百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字之和的两倍，则称为“倍数”，并规定，．若四位正整数是“倍数”，且的各数位上的数字之和为，则________；一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“倍数”，且是的倍数，则满足条件的的值的和是________． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2）． 18. 为了纪念“遵义会议”90周年，某校开展了“红色长征”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其分别分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，92，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 99 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的“红色长征”知识竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有650名学生、八年级有700名学生参加了此次“红色长征”知识竞赛，请估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ 19. 在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）． 证明：四边形是平行四边形， ①________， ， 平分， ， ②________， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ③________， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________． 20. 某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． （1）第一周，该食品加工厂花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ （2）第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 21. 如图，在中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22. 如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点． （1）求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号） （2）若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，， 23. 如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在中，，，点为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接． （1）如图1，若点为线段上一点，且，求点到的距离． （2）如图2，若点为线段上一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，求证：． （3）如图3，点为上一点，连接，，把沿翻折，得到，连接，点为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $