精品解析：湖南省湘一名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

高一数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 3 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量满足，与的夹角为，则（ ） A B. C. 与共线 D. 10. 在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定等边三角形 11. 如图，在直三棱柱中，，，，且，P为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为4 B. 三棱锥的体积为 C. 四棱锥的体积为8 D. 三棱锥的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象所过定点的坐标为__________. 13. 已知向量满足，则__________. 14. 在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且与的面积之比为，若点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1. （1）求的值及的最小正周期； （2）求使成立的的取值集合. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若，且，求三棱锥的高. 17. 如图，中，点C，D分别在线段OA和AB上，. （1）若，求的坐标和模； （2）若AE与OD的交点为，设，求实数的值. 18. 已知复数. （1）若为纯虚数，求. （2）若关于方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 19. 在中，内角的对边分别是，已知，且. （1）求； （2）若为内一点且，求长度的最大值； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 已知圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据侧面积求出圆柱的高，利用体积公式可得答案. 【详解】设高为，因为圆柱的底面半径为1，侧面积为，所以，即. 圆柱的体积为. 故选：C 3. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合，然后根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：. 4. 如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量三角形法则,用向量分别表示，然后即可得解. 【详解】因为所以易知,， 又为的中点，所以， 所以, ， 因此 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据齐次式可得，进而根据正切差角公式求解. 【详解】由得，故， 因此， 故选：D 6. 如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：B. 8. 定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的表达式，根据表达式求出最大值可得答案. 【详解】由题意，， ，； ， ， 令，则， 令，， 由于，且，当且仅当时取到最小值. 因为的峰值为，即的最大值为， 所以，解得或（舍）. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量满足，与的夹角为，则（ ） A. B. C. 与共线 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得和，根据向量模的坐标运算即可判断；根据向量数量积的坐标运算即可判断；由向量共线定理可判断；由向量夹角的坐标运算即可判断. 【详解】因为，所以，， 所以，故正确； 因为，所以与不垂直，故不正确； 因为，所以，所以与共线，故正确； 因为，因，故，故正确. 故选：. 10. 在中，内角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定等边三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用举反例式即可判断A；利用余弦函数的单调性即可判断B；利用正弦定理化边为角结合两角和 的正弦公式及三角形内角和定理即可判断C;利用正弦定理化边为角即可判断D； 【详解】对于A：当时，满足，而此时，故A错误； 对于B：因函数在区间上单调递减，故时，有， 又因为大边对大角，小边对小角即可得到，故B正确； 对于C：因为，所以,即，故， 又因为,故或(舍去)，所以一定是等腰三角形，故选项C正确； 对于D：因为，所以，即， 故，所以,则一定是等边三角形,故选项D正确； 故选：BCD 11. 如图，在直三棱柱中，，，，且，P为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为4 B. 三棱锥的体积为 C. 四棱锥的体积为8 D. 三棱锥的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助几何体的表面积和体积公式逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，而三棱锥与三棱锥有共同的高， ∵P为的中点，∴，∴，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由题可知，，，，∴， ∴是直角三角形，， ∴三棱锥的表面积为： ，故D正确． 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象所过定点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的性质可得答案. 【详解】当时，，即时，，所以函数图象所过定点的坐标为. 故答案为： 13. 已知向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律与求解. 【详解】由， 则，即， 则，即， 故，即. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且与的面积之比为，若点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据两三角形面积之比求出，因为两两垂直，故三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体外接球，从而得到外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】三角形是等腰直角三角形，，故⊥， 由勾股定理得， 取的中点，则， 因为，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 设，则，， 故⊥，， 与的面积之比为，故，解得， 故， 点都在球的球面上，因为两两垂直， 故三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体外接球， 故外接球半径为， 球的表面积为 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1. （1）求的值及的最小正周期； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1），最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数利用最值求，利用周期公式求周期； （2）根据三角函数的性质求解不等式即可. 小问1详解】 ， 因为最大值为1，所以；周期. 【小问2详解】 由可得， 所以，解得， 故使成立的的取值集合为. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若，且，求三棱锥的高. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出线线平行，再结合线面平行的判定证明即可； （2）利用等体积法可求答案. 【小问1详解】 取的中点，连接, 因为分别为中点，所以且， 因为，所以， 因为为中点，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，且，所以，; 所以面积为， 设三棱锥的高为，则, ，解得，即三棱锥的高为. 17. 如图，在中，点C，D分别在线段OA和AB上，. （1）若，求的坐标和模； （2）若AE与OD的交点为，设，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意首先得分别是的中点，进一步结合即可求得坐标，由模的坐标公式即可求得的模； （2）由三点共线，由三点共线且可知是边中点，可建立一个分解后的向量恒等式，从而建立关于的二元一次方程组，由此即可求解. 【小问1详解】 因为，从而结合图形可知， 这表明是的中位线，即分别是的中点， 又， 所以， . 【小问2详解】 由三点共线可知， 存在使得，， 同理由三点共线可知，且由（1）可知是边中点，， 而，所以， 而显然不共线， 所以只能，解得. 18. 已知复数. （1）若为纯虚数，求. （2）若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数定义即可求解； （2）（i）由已知虚部为0，得到的值，利用韦达定理即可求解；（ii）由已知两根为共轭复数，设出两根列方程组求出两根，利用韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以，所以； 【小问2详解】 （i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或， 当时，，当时，， 所以方程的两个根为和， 所以，； （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为， ，且， 所以，解得或， 所以，或，， 所以，. 19. 在中，内角的对边分别是，已知，且. （1）求； （2）若为内一点且，求长度的最大值； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角转化为边可得，再根据余弦定理即可求解； （2）取的中点，连接，由向量的加法可得为的中点，利用向量的中线公式及余弦定理结合不等式可得，即可求解； （3）根据正弦定理可得，，利用三角形内角和定理和三角恒等变换可得，根据正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 整理可得，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 取的中点，连接，所以， 因为，所以，所以为的中点， 因为， 所以 ， 由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以，所以长度的最大值为； 【小问3详解】 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$