精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二下学期4月期中校际联考数学试题

2026届高二下期半期校际联考 数学试卷 一、单选题 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据截距的定义计算可得结果. 【详解】根据题意令，解得； 因此直线在轴上的截距为. 故选：D 2. 若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点求得抛物线的准线方程. 【详解】椭圆的焦点为， 抛物线（）开口向左，焦点为， 所以准线方程为. 故选：D. 3. 已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出圆心到直线的距离，再减去该圆半径即为最小值. 【详解】由可知，该圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 故圆心到直线上的点的长度最短为， 则. 故选：B. 4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ） A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 【答案】D 【解析】 【分析】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为，从而即可求解. 【详解】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”， 因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是和， 所以， 所以飞行目标被雷达发现的概率为. 故选：D 5. 已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 6. 如图所示，在棱长为2的正方体中，则直线到平面的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，分析可得直线到平面的距离即为，进而求解即可. 【详解】连接交于点， 在正方体中，， 因为平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离即为点到平面的距离， 因为平面，平面， 所以，又，且，平面， 所以平面，则点到平面的距离即为， 而，则， 所以. 故选：B. 7. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得，即可根据模长公式求解. 【详解】由于与垂直，故，解得， 故， 故选：C 8. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可. 【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点， 由椭圆的性质，可得. 过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点， . 等于的最小值的3倍， . 椭圆中， ，即， 则. ， ，解得或（舍）. 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则 B. 若，则事件A与事件B相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 若，，且事件A与事件B相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽样方法的相关概念、独立事件的概率公式、事件之间的关系以及概率的乘法运算，逐一检验，可得答案. 【详解】对于A，根据抽样方法的使用规则，可知A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，设事件{两次均为中}={中枪次数为}、事件{至多中一次}={中枪的次数为}， 由，则事件包含事件，故C错误； 对于D，由，则， 因为事件与事件相互独立，所以 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，，且，则 B. 三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C. 已知，，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量平行求参数，可判断A的真假；根据向量共面求参数，可判断B的真假；根据投影向量的概念判断C的真假；根据空间向量基底的概念判断D的真假. 【详解】对A选项：由，所以存在，使得，即， 所以，所以，故A正确； 对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得, 即. 因为，所以，故B正确； 对C选项：在上的投影向量为：，故C正确； 对D选项：因为，所以，，三个向量共面， 所以不是空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点到轴的距离为 B. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条 C. 是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A；对所求的直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断B选项；根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 则抛物线，所以焦点，准线为， 对于A选项，设、，则， 解得， 又为线段的中点，则， 所以点到轴的距离为，故A错误； 对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切， 若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得， 此时，直线与抛物线只有一个交点， 若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为， 考虑直线与抛物线相切，联立，可得， 则，解得， 即直线与抛物线只有一个公共点， 故满足条件的直线共有三条，B错； 对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则， 设准线与轴交于点，则， 因为，所以， 则，则，所以， 即，所以，则，故C正确； 对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为， 由，消去得， 显然，所以，，则， ， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 三、填空题 12. 双曲线：的渐近线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，求得和焦点在x轴上求解. 【详解】因为双曲线：， 所以，焦点在x轴上， 所以其渐近线方程为， 故答案为： 13. 已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式即可得，进而可求解. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 故直线与线段有交点，则,即， 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由椭圆方程求出坐标，结合椭圆定义将转化为，即只需求的最大值，即求的最大值，结合图形求得其最大值，即可求得答案. 【详解】由椭圆可知，， 椭圆在圆内，而圆的圆心为，半径为， 易知，所以椭圆与圆相离， 而，故， 要求的最大值，只需求的最大值， 而Q在圆上， 只需求的最大值，当共线时（如图），最大， 此时，即为的最大值， 则的最大值为， 则的最大值为， 故答案为：12 四、解答题 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【小问1详解】 因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 16. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得； （2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得. 【小问1详解】 由，得，即， 由题意圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意. 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即， 由题意，得，即， 两边分别平方得，得， 故切线方程为，即， 综上过点的圆的切线方程为，. 17. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率的性质即各组频率为相应矩形面积，列式计算，即可求得答案； （2）确定面试成绩的65%分位数的范围，计算各矩形面积和的65%处对应的数值即为所求； （3）确定两组各抽取的人数，采用列举法列出选出2人的所有可能情况，再列出这2人来自同一组的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以； 【小问2详解】 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间， 即为； 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 【小问3详解】 由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19. 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：直线的斜率之积为定值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 设点，由题可知， 则， 所以， 由点在双曲线上，可知，即有， 所以，故； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可； （2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解； （3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 由题意知，且，所以， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，且， 所以可设直线的方程为， 则直线的方程为， 把直线的方程代入椭圆方程， 整理得， 设，则有， 因此 ， 把直线的方程代入椭圆方程， 整理得， 设，，则有，， 因此 ， 所以又， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，， （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二下期半期校际联考 数学试卷 一、单选题 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ） A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 5. 已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在棱长为2的正方体中，则直线到平面的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则 B. 若，则事件A与事件B相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 若，，且事件A与事件B相互独立，则 10. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，，且，则 B. 三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C. 已知，，则在上的投影向量坐标为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点到轴的距离为 B. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条 C. 是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则 D. 三、填空题 12. 双曲线：的渐近线方程为_______. 13. 已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为______． 四、解答题 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 17. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19. 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：直线的斜率之积为定值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $