精品解析：河北承德市双滦区实验中学2024-2025学年高二下学期高二4月份月考数学试卷

河北承德市双滦区实验中学 2024--2025学年第二学期高二数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递减区间为 C. 的极小值为e D. 方程有2个不同的解 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 13. 已知，则使恒成立的的范围是______ ． 14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，. （1）求的值： （2）求展开式中的系数. 16. 某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元. （1）求，的值； （2）若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？ （参考数据：，） 17. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若已知，且的图象与相切，求b的值； （3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）. 19. 已知函数. （1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市双滦区实验中学 2024--2025学年第二学期高二数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对求导，结合赋值法求得，从而求得，再求结果即可. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 则，所以. 故选：A. 2. 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以， 所以. 故选：C 3. 若函数在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出导函数，使在区间上有解，分离参数可得，设，从而可得，利用导数即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 若在区间上不是单调函数， 则在区间上有解， 即在区间上有解， 即 设，则， ， 所以， 实数的取值范围是， 故选：B. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，分离参数法求参数的取值范围，属于中档题. 4. 若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解. 【详解】在中，，， 所以. 故选：C 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得. 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 6. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题，所以． 令与在上均为增函数， 故为增函数，当时，有最小值，即， 故选：A． 7. 记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据，从而得到，根据为等差数列得到，即可得到，再计算即可. 【详解】，故， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，故， 所以当时，，所以， 故选：D． 8. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：①两人得30分，余下两人得﹣30分，②一人得30分，余下三人得﹣10分，③一人得﹣30分，余下三人得10分，④一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，⑤两人得10分，余下两人得﹣10分，根据分类计数原理得到结果. 【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类： （1）两人得30分，余下两人得﹣30分，有C42=6种情况； （2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4种情况； （3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4种情况； (4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A43=24种情况； (5)两人得10分，余下两人得﹣10分，有C42=6种情况. 根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况. 故选：D. 【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复､遗漏，属于基础题. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法以及二项式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 令，得，所以A选项正确. 令，得，所以， 所以B选项错误. 令，得，所以C选项正确. 由于二项式展开式的通项公式为， 所以为正数，为负数， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD 10. 设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合错位相减法逐一判断即可. 【详解】，，则是公差为1，首项为的等差数列， 所以，则. 对A：，因为不是非零常数， 所以不是等比数列，故A错误； 对B：，因为， 所以是以为首项，以2为公比的等比数列，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：因为， 所以， 两式相减得，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递减区间为 C. 的极小值为e D. 方程有2个不同的解 【答案】ACD 【解析】 【分析】注意定义域，即 且 ， 根据导数的几何意义以及在函数研究中的运用即可求解. 【详解】， ，因为，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 令，即，解得，因为 ， 所以的单调递减区间为，，故B错误； 令，解得，在时单调递增， 时单调递减， 所以在处取得极小值，极小值为，故C正确； 方程，即，即求方程 零点的个数， 令 ， ， 当 时， ，即 为单调递增的， ， ，故在区间有唯一一个零点， 时 ，即为单调递减的，， 即在 区间存在唯一一个零点，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 【答案】90 【解析】 【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案. 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 13. 已知，则使恒成立的的范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最大值作答. 【详解】因，令，，依题意，， 当时，，求导得，当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，当时，， 当时，，求导得，在上单调递减， ，于是得函数在上单调递减，， 因此，则，所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，. （1）求的值： （2）求展开式中的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，，进而即得； （2）由二项式展开式的通项公式求解即得． 【小问1详解】 因为，， 所以，解得； 【小问2详解】 由通项公式， 令，可得， 所以展开式中的系数为. 16. 某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元. （1）求，的值； （2）若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？ （参考数据：，） 【答案】（1）， （2）甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元 【解析】 【分析】（1）根据投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润列出方程，即可求得答案； （2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，由此列出获得利润的表达式，利用导数求得最大值，可得答案. 【小问1详解】 由题意知，， 整理得，解得，； 【小问2详解】 设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且， 则该公司获得的利润，； 则在上单调递减， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴， ∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元. 17. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； 【小问2详解】 因为 ， 所以 ； 【小问3详解】 ∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若已知，且的图象与相切，求b的值； （3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可； （3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 当或时，；当时，， 所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得， 设函数与直线相切的切点是， 因为，所以， 所以有， 可得， 又，相减得， 所以，所以， 解得； 【小问3详解】 时，， 的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根， 设函数，则， 时，或；时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 时取极大值，时取极小值， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 19. 已知函数. （1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，证明. 【答案】（1） （2）证明： 由（1）得，当，时，，即， 要证不等式，只需证明，只需证明， 只需证， 设，则， ∴当时，恒成立，故在上单调递增， 又，∴恒成立．∴原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，令，再利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解； （2）由（1）可知当时，当时，，转化为，进而转化为，构造新函数，利用导数即可求解. 【详解】（1）由条件得，令，则. ①当时，在上，，单调递增 ∴，即， ∴在上为增函数，∴∴时满足条件. ②当时，令 解得，在上，，单调递减， ∴当时，有，即， 在上为减函数，∴，不合题意. 综上实数的取值范围为． （2）略. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $