精品解析：　天津市第四十三中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 4. 矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，、是上两点， ，连接、 、 、，添加一个条件，使四边形 是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 6. 下列图象不能反映是的函数的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. （）ncm2 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作 交AD于E，若 ，则AE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 12. 如图，在四边形中，，， ，，且，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 对于任意两个正数 、 ，定义运算为： 计算的结果为______． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升 到D，则橡皮筋被拉长了______． 15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是______． 16. 如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为，若，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是____． 17. 如图，在中，， ， ，为边上一动点， 于， 于，为中点，则的最小值为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形 为等边三角形，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为_______． （2）若线段、上分别存在点D、E，且 ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段 且使 ，连接； （2）线段的长为 ； （3）的形状为 ； （4）中边的高为 ． 22. 如图所示，在 中， ， ，垂足分别为，，求证： ． 23. 如图，四边形是菱形，过点A作 、 ，垂足分别为点E、F， 分别交于点G、H． （1）求证： ； （2）延长 相交于点P，当 时，求证： ． 24. 如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点 ，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，． （1）求点D的坐标； （2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质，加法法则，除法法则，逐一进行判断即可．熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴判断a、b、 与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、化简绝对值、数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 4. 矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， ， ∴． 故选： ． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5. 如图，在平行四边形中，、是上两点， ，连接、 、 、 ，添加一个条件，使四边形 是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知： ，，再证明 即可证明四边形 是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ∵对角线上的两点、满足 ， ∴，即 ， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形 是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6. 下列图象不能反映是的函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，理解函数定义，结合图象是解题关键．根据函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”即可得． 【详解】解：观察四个图象，B选项中对于的每一个确定的值，y的值都不唯一，这不符合y是x的函数的定义； A、C、D三个选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，符合y是x的函数的定义． 故选：B． 7. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长． 【详解】解：如图：连接OB 点B的坐标为， ， 又四边形OABC是矩形， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 9. 如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使 ，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作，得到，证明四边形为菱形，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：作， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ， ∴四边形为菱形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选D． 10. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. （）ncm2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和． 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2． 故选：B． 【点睛】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作 交AD于E，若 ，则AE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接EC， ∵ 矩形ABCD， ， ， ∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC， ∵ ，∴∠AOE=∠COE=90°， ∵OE=OE， ∴△AOE≌△COE，AE=CE， 设AE=x，则EC=x，DE=8-x， 在Rt△DEC中，， ∴， ∴x=5， ∴AE=5， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键． 12. 如图，在四边形中，，， ，，且，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定△ACD也为直角三角形，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD． 【详解】解：如图，连接AC． 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2， ∵AC2+CD2=AD2， ∴△CDA也为直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=． 故四边形ABCD的面积是．故选B. 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出AC的长． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 对于任意两个正数 、 ，定义运算为： 计算的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用新定义得到 ，再把二次根式化为最简二次根式，去括号合并即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，读懂题目中的运算法则列出式子进行运算是解题的关键． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升 到D，则橡皮筋被拉长了______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是______． 【答案】AB=CD 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形，然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是：AB=CD， 理由：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EF∥AB，HG∥AB， ∴EF∥HG； 同理，HE∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AB=CD， ∴GH=GF， 所以平行四边形EFGH是菱形． 故答案为AB=CD． 【点睛】考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键. 16. 如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为，若，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形和完全平方公式的变形应用，设较长的直角边为b，较短的直角边为a，得到小正方行的边长，根据小正方的面积建立等式，再根据完全平方公式进行变形即可求出直角三角形斜边得长度，从而得到答案． 【详解】解：设直角边较长的为b，较短的为a， 小正方形的边长为： ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形的边长等于直角三角形的斜边，即， 故答案为：． 17. 如图，在中，， ， ，为边上一动点， 于， 于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得 ，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形 斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，， ， ， ∴，即， 又∵ 于点， 于点， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵是的中点， ∴， 当 时，的最小值即为直角三角形 斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形 为等边三角形，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为_______． （2）若线段、上分别存在点D、E，且 ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识． （1）利用勾股定理计算即可； （2）作射线 ，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q． 【详解】解：（1）由勾股定理得，； 故答案为：； （2）如图， 与过点B的格线的交点记作G，的中点记作F， ①作射线 ，交过点A的格线交于H，作射线， ②连接，，交于点O，作射线，交于W， ③作射线，交射线于点Q， 则点Q就是求作的点， 故答案为：作射线 ，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式乘法，再计算加减法即可得到答案； （2）先利用完全平方公式去第一个括号，再利用积的乘方和同底数幂乘法的逆运算法则去第二个括号，再计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 【答案】（1）12 （2）4 【解析】 【分析】（1）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案； （2）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案 . 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解： . 【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段 且使 ，连接； （2）线段的长为 ； （3）的形状为 ； （4）中边的高为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）直角三角形 （4）2 【解析】 【分析】本题考查了网格问题、勾股定理、三角形的面积、直角三角形的判定： （1）根据点之间的关系可得到结果； （2）根据勾股定理可计算出结果； （3）先算出三边长，根据勾股定理的逆定理可得出结果； （4）根据三角形的面积可得到结果； 掌握并灵活运用该知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解： ∵点C在点B的右边4个格，下面3个格， 则点D在点A的右边4个格，下面3个格， 如图所示： ； 【小问2详解】 解：由图可得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据图形可得：， ， 由（2）可得， ∵， ∴的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形； 【小问4详解】 解：过点A作 于点E, ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 22. 如图所示，在 中， ， ，垂足分别为，，求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义，全等三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，得到，继而证明，利用 ，易证得，然后由全等三角形的性质，证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ． 23. 如图，四边形是菱形，过点A作 、 ，垂足分别为点E、F， 分别交于点G、H． （1）求证： ； （2）延长 相交于点P，当 时，求证： ． 【答案】（1） 证明： 四边形 是菱形， ， ， ， ； （2） 证明： ， 是直角三角形 斜边 的中点， 由(1)知： ， 是等边三角形， 如图，连接 ， ∵四边形是菱形， 是等边三角形， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． (1)根据菱形的性质即可解决问题； (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 是等边三角形， 是等边三角形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点 ，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，． （1）求点D的坐标； （2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）点D坐标；（2）存在，△EMN的周长最小值为8；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和得到AO=4，∠CAB＝60°，再由折叠的性质AD=4，∠DAO＝30°，过点D作DF⊥AO于F，可求得DF、AF，进而可求得点D坐标； （2）如图，利用“将军饮马”模型，分别作E关于y轴、AC的对称点Q、H，连接QH，则QH就是周长的最小值，进一步求出点E、点Q、点H坐标，即可解得QH的长，即周长的最小值； （3）要使得△CPQ为等腰三角形，需分三种情况讨论求解：①若CP=CQ；②若PQ=CQ;③若CP=PQ，进一步推导求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴OC＝AB＝4， ∵∠OAC＝30° ∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°， ∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处， ∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°， ∴∠DAO＝30°， 如图1，过点D作DF⊥AO于F， ∵DF⊥AO，∠DAO＝30°， ∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2， ∴OF＝AO﹣AF＝2， ∴点D坐标（2，﹣2）； （2）如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH， ∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90° ∴AE＝， ∴OE＝， ∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称， ∴点G（﹣，0），点H（，4） ∴GH＝， ∴△EMN的周长最小值为8； （3）存在点P使得△CPQ为等腰三角形， ∵∠ACB＝∠ACD＝30°， ∴∠OCE＝30°， ①若CP＝CQ，如图3， ∵CP＝CQ，∠OCE＝30°， ∴∠CPQ＝75°， ∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°， ②若PQ＝CQ时，如图4， ∵CQ＝PQ， ∴∠QPC＝∠PCQ＝30°， ∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°； ③若CP＝PQ，如图5， ∴∠PCQ＝∠PQC＝30°， ∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°， ∴不存在这样的点P， 综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、折叠性质、矩形的性质、含30º直角三角形性质、对称性求最值、等腰三角形的性质、勾股定理、两点坐标距离公式等知识，属于综合题型，有一定难度，解答的关键是认真分析图形，寻找相关联的信息，借助添加辅助线或数学模型确定解题思路，进而推导、计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $