2025年安徽中考数学二轮复习专项练习二十二投球问题 与二次函数

2025年安徽中考数学二轮复习专项练习二十二 投球问题与二次函数（解析版） 1．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】(1) (2) (3)这棵树的高为2 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 3．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小明的说法不正确，理由见解析 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【详解】（1）解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：小明的说法不正确．     理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法不正确． 4．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】(1)①3，6；②； (2)①8，② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 5．根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图，    设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 6．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；    (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】(1)见解析 (2)①；；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、已知抛物线上对称的两点求对称轴、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 7．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】(1)，， (2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【详解】（1）解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； （2）∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 8．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)的最高点坐标为，，； (2)符合条件的n的整数值为4和5． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 9．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 11．甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： (1)求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； (2)若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； (3)在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【答案】(1) (2) (3)乙距离甲0.4米时可以拦截成功 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设抛物线顶点式为，将顶点坐标和点代入即可求解； （2）由题意可知新顶点坐标，设新抛物线顶点式为，将点代入即可求解； （3）由（2）求得的函数解析式，当时，求得的值求解． 【详解】（1）设抛物线顶点式为， ∵将顶点坐标和点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵新顶点坐标， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）由（2）求得的函数解析式，当时， 解得，（犯规，应舍去）， ∴乙距离甲米时可以拦截成功． 12．根据以下素材，探索完成任务： 如何调整篮球的投球高度 素材1 如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2 如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．         问题解决 任务1 篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？ 任务2 小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？ 【答案】任务1：，不能；任务2：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，合理分析题意结合二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法列式运算即可； （2）运算出抛物线的解析式后把代入运算求解即可． 【详解】解：任务1．由题意得：抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为， 当时，， ∵， ∴此球不能投至篮圈中心； 任务2．当时，篮球才能投至篮圈中心， 设抛物线解析式为：， ∵过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴， 答：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心． 13．根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处90m的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为50m时，石块离地面的高度最高，最高高度为27m．已知． 【解决问题】 (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式． (2)进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出顶点坐标进行计算即可； （2）由题意知，，求出函数值进行判断解答即可． 【详解】（1）解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得，，即 解得， 抛物线的解析式； （2）解：能，理由如下： 由题意知， 令，则， 进攻方的石块能飞进防守方城墙， ， 城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙． 14．在某场篮球比赛中，李飞在距篮圈中心正下方处跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线．当球运行到距离李飞的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈到地面的距离为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)李飞身高，再这次跳投中，球在他头顶上方处出手，问：球出手时，李飞跳离地面的高度是多少？ (3)此时，若对方队员小刚在李飞前面跳起最大高度为时，盖帽拦截获得成功，那么小刚是在李飞前面多远距离跳起盖帽拦截的？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了求抛物线的解析式，根据点的横坐标求函数值，根据函数值求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质． （1）利用顶点坐标和，利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入即可得出答案； （3）将代入即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意知，该抛物线的顶点为，因此设所求抛物线的解析式为， 将代入得   解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入得，， ∴ 答：球出手时，李飞跳离地面的高度是； （3）解：将代入得，， 解得，（舍去） 答：小刚是在李飞前面处跳起盖帽拦截的． 15．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)保护网（线段）的长度至少为9米； (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解； （2）由平行于x轴，点N的坐标为，得出点M纵坐标为，代入解析即可得解； （3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过，然后分再经过，两种情况，讨论即可得解； 【详解】（1）解：过点F作轴于，过点E作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点F的坐标为， ∵，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线y轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将点和点代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为， ∴点M纵坐标为， 当时，代入抛物线解析式得， 解得：（舍去），， ∴，即保护网（线段）的长度至少为9米； （3）解：由（1）知：，，， ∵发射点F不变， ∴抛物线一定经过， ∴当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， 当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， ∵抛物线必经过平台， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，理解题意是关键． 16．如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． (1)求抛物线L的解析式； (2)如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，则点D的横坐标为 ，挡板端点E的横坐标为 ． 【答案】(1) (2)①8；②反弹后的小球不经过点，理由见解析 (3)7，10 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可； （2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标；②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断； （3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线L的解析式为． （2）解：①令，由解得：，， ∴点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点，理由如下： ∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同，且最大高度是， ∴反弹后的抛物线的解析式为， 由①得，代入解析式中，得，解得或5（舍去）， ∴设反弹后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点． （3）解：联立方程组，解得 （舍去），， ∴点D坐标为，即点D的横坐标为7； 由题意，设反弹后的抛物线解析式为， 将代入，得，解得：，（不合题意，舍去）， ∴反弹后的抛物线解析式为， 联立方程组，解得（舍去），， ∴挡板端点E的横坐标为10． 故答案为：7，10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽中考数学二轮复习专项练习二十二 投球问题与二次函数（原卷版） 1．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 3．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 4．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 5．根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 6．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；    (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 7．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 8．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 9．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 10．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 11．甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： (1)求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； (2)若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； (3)在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 12．根据以下素材，探索完成任务： 如何调整篮球的投球高度 素材1 如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2 如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．         问题解决 任务1 篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？ 任务2 小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？ 13．根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处90m的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为50m时，石块离地面的高度最高，最高高度为27m．已知． 【解决问题】 (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式． (2)进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． 14．在某场篮球比赛中，李飞在距篮圈中心正下方处跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线．当球运行到距离李飞的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈到地面的距离为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)李飞身高，再这次跳投中，球在他头顶上方处出手，问：球出手时，李飞跳离地面的高度是多少？ (3)此时，若对方队员小刚在李飞前面跳起最大高度为时，盖帽拦截获得成功，那么小刚是在李飞前面多远距离跳起盖帽拦截的？ 15．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 16．如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． (1)求抛物线L的解析式； (2)如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，则点D的横坐标为 ，挡板端点E的横坐标为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$