微专题04 相似三角形与几何问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 以“模型识别-动态探究-比例变形”为逻辑主线，构建“方法步骤+答题模板”双维度训练体系，强化相似三角形判定与性质的系统性应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复杂图形相似证明与计算|6题|盯目标溯源头→找等角定模型→列比例求线段|以A字型/8字型为基础，通过公共角/对顶角构建相似，实现线段计算| |动点相似存在性问题|6题|定轨迹→抓不变角→分类列方程→检验取舍|结合动点轨迹分类讨论，利用夹公共角两边成比例建立方程| |比例式变形(中点/三等分点)|6题|察结构→添平行线→连环代换|通过中点/三等分点构造相似，实现分散线段比例集中转化|

微专题04 相似三角形与几何问题 题型01 复杂图形中的相似证明与线段计算（叠合型） 考向分析：此类题型通常在由多个三角形穿插组合的复杂图形中，要求证明某两组三角形相似，并求解某条未知线段的长度。核心得分点在于从交错的线条中剥离出基本模型（如A字型、8字型或其叠加），并利用“公共角”、“对顶角”或“外角是内对角”寻找等角。 解题方法： 1. 盯目标，溯源头：从需要证明相似的目标三角形出发，逆向寻找它们共有的条件（通常是公共角或对顶角）。 2. 找等角，定模型：结合平行线的性质或等腰三角形的底角，找出另一对相等的角，锁定“AA”判定法。若是直角三角形，则直接锁定“HL”或“AA”。 3. 顺藤摸瓜求线段：证明相似后，根据“对应边成比例”列出比例式。若涉及3个以上的几何量，通常通过建立一元一次方程（代入已知长度）或比例方程来求解。 答题模板： 1. 审：明确求证目标。 2. 找：找出两组三角形中相等的角。 3. 判：得出相似结论。 4. 算：根据相似比，代入已知数值，求出未知线段长度。 1．（2026九年级上·河南信阳·专题练习）在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学活动，如图1， 已知正方形和正方形，当点在对角线上时，在老师提出：猜想线段与的数量关系时，大家一致认为，并且有两个小组给出如下的证明思路： 奋进组：要想证明，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数，然后通过等量代换，便可证明； 创新组：要想证明，可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰直角三角形的斜边与底角的三角函数．便可证明； (1)请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择（   ） A．“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确 B．“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C．“奋进组”和“创新组”的思路都正确 D．“奋进组”和“创新组”的思路都不正确 (2)将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转；（），当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明； (3)如图3，将正方形绕着点B顺时针旋转（）的过程中，当A，E，G三点共线时，直线BF与射线DC相交于点H，当，线段的长为______． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据两组思路求出结果即可判断； （2）连接，，易证，则，即可得解； （3）过作于点，已知，由正方形性质可求得，再由勾股定理可解得，可证明，求出，进而求出，再证明，即可证明，则可证明，则可证， 分两种情况讨论，当在之间时，当在之间时，利用平行线分线段成比例即可得解． 【详解】（1）解：奋进组思路：如图，延长交于点， 则四边形是矩形， ， ∵在正方形和正方形中， ， 是等腰直角三角形， ∵， ；故奋进组思路正确； 创新组思路：如图， 由题可得， ， ∵在正方形和正方形中， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ，故创新组思路也正确； （2）解：判断：（1）中的结论成立；证明如下： 如图，连接，， 正方形和正方形， ，，， ，都是等腰直角三角形， ， ，即：， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：当点在之间时，如图，过作于点， 在正方形中， ， ∴ ∵， ∴ ， 在中，， 在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴ ， ， ； 当点在之间时，如图， 过作， 同理可得， 在中，， 在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴， ； 综上，的长为或． 2．（24-25九年级上·吉林长春·月考）【问题】如图①，某数学兴趣小组在学习等腰三角形的相关知识时发现在等边中，平分，易得．（不需要证明）． 【探究】如图②，该数学兴趣小组将图①的等边改为任意平分，通过观察、测量，猜想仍然成立．为了证明提出的猜想，通过交流讨论，得到了如下证明方法：过点作交延长线于点，利用与相似证明结论．请你参考上面的方法，帮助该数学兴趣小组完成证明． 【应用】如图③，在中，和是的角平分线，相交于点，则的值为______． 【答案】【探究】见解析；【应用】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形角平分线，构造平行线得到相似三角形是解题的关键． 【探究】过点作交延长线于点，利用与相似即可证明结论． 【应用】应用【探究】中的结论，可求得，再利用即可求解． 【探究】证明：如图，过点作交延长线于点， 则； ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 【应用】解：∵平分， ∴由【探究】中的结论知：， 即， 解得：； ∵平分， ∴， 即， 故答案为． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． (1)试证明． (2)证明，且． (3)证明，且相似比为k． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据两边对应成比例及夹角相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，，即可证明； （3）同（1）证明，，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·江西吉安·模拟预测）课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 定理证明 (1)为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，、、分别为两三角形的高，且． 求证． 定理应用 (2)如图2，在等腰中，，D为延长线上的一点，过点D作于点E，与相交于点F，且，在线段上取点G，使，连接，若． ①求的值； ②若，则的面积为________． 【答案】(1)证明见详解 (2)①2；② 【分析】（1）相似三角形对应高的比等于相似比，进而利用三角形面积公式推出结论并证明出； （2）①连接，，证明四边形是平行四边形，进而证明，从而得出结果； ②设，则，利用平行线对应边成比例结合勾股定理求得的表达式，过点G作于点H，则，证明，利用相似三角形对应边成比例得出相关线段的表达式，结合勾股定理列出方程求解x的值，从而求得的面积，利用（1）和（2）①的结论即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵，、分别为两三角形的高， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 如图，过点G作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·吉林长春·月考）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现、的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形求的值，下面给出了证明过程． 证明：作于点H（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵， ∴， 证明过程缺失 （2）请你补全证明过程      【问题解决】求出的值后，将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，线段的最小值为___________． 【答案】【初步探究】（1）尺规作图见解析；（2），补全证明过程见解析． 【问题解决】 【分析】本题考查了矩形性质、相似三角形判定与性质、平移性质及两点之间线段最短，解题的关键是补全相似证明得，再通过平移转化为两定点距离求最小值． [初步探究]（1）按照要求完成尺规作图即可． （2）利用矩形性质得、，由得；结合证，得，用、求． [问题解决]平移得且，则，故，最小值为，用勾股定理计算． 【详解】解：（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤如下： （2）补全证明过程 证明： ∵四边形是矩形，   ∴，，；   ∵是中点， ∴；   ∵， ∴；   ∵， ∴；   ∵， ∴；   ∴；   ∴， ∵，   ∴． 【问题解决】解：由平移得，， 故四边形是平行四边形，；   ∴， 当点G、F、C位于同一直线上时，存在最小值，且最小值为． 在中，；   ∵，且，   在中，． 故线段的最小值为：． 6．（2025·湖南长沙·一模）【课本再现】 思考： 我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形的对角线互相垂直． 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 通过观察，可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）为了证明该判定定理，小南同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请根据定义完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②． 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，求得，即可证明是菱形； （2）①利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，即可证明是菱形；②利用三角形的外角性质求得，得到，再取的中点，连接，利用三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形平行四边形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）①∵四边形平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型02 动点（或未知点）引发的相似存在性问题（开放探究型） 考向分析：此类题型通常在三角形的边或直线的延长线上给定一个动点（或要求寻找一个未知点），探究当运动到何处时，该点与已知顶点构成的三角形与另一已知三角形相似。核心得分点在于抓住“对应顶点不确定”这一矛盾，进行科学的分类讨论。 解题方法： 1. 定动点的轨迹：明确动点是在线段上、射线上还是直线上运动，这决定了未知量的取值范围。 2. 抓不变量与公共角：找出运动过程中始终保持不变的角（通常为公共角或对顶角），将其作为相似三角形的“桥梁角”。 3. 分类讨论列方程：由于对应顶点不确定，通常分为两种情况。利用“夹桥梁角的两边对应成比例”列出关于动点位置的方程。 4. 求解并取舍：解方程求出动点的位置参数，必须代回原题检验是否满足构成三角形的前提（如边长为正、不在端点处重合等）。 答题模板： 1. 设：设动点坐标或运动时间，用代数式表示出相关线段长。 2. 分：根据题意，分情况讨论。 3. 列：针对每种情况，列出对应成比例的方程。 4. 解：解方程求出未知数的值。 5. 验：检验所求值是否使三角形退化（如共线）或不符合题意，最后综述存在性及个数。 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连接． (1)如图，判断三角形的形状，并说明理由． (2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． (3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2)点运动的时间为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先解方程得出，，再由，即，结合得到，则，然后证明即可判断出的形状； （2）先求出直线的解析式为，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短，然后求出的解析式为，再与直线的解析式联立建立方程组，解方程组即可求出点坐标，再利用勾股定理求得的长，进而得出点运动的时间； （3）由于，分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，；分别求出的长，再分点P在线段上与点P在线段的延长线上两种情况确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ， ， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， ，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短， 与关于对称， 是的中点， ，， ， 设直线的解析式为， ， ∴的解析式为， 由， 解得：， ， ， ； （3）解：存在，点的坐标为或或或，理由如下： 分两种情况： ①当时， ，则， 解得：， ， 如图，当点在线段上时，那么，此时点与点重合，即； 如图，当点在线段的延长线上时，此时点P与点C关于点B对称， ，即：； ②当时， ，则， 解得：， 如图，当点在线段上时，过点作轴，则，可得， ， ， ， ，， ， ， 如图，当点在线段的延长线上时，此时点与点关于点B对称， ，即：； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，用待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P91第13题：如图1，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由． ①小华很快找出，他的思路为：设正方形的边长，则，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于与中的比例线段来证明与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似； 【拓展创新】（2）如图2，在矩形中，E为的中点，交AB于F，连结． ①求证：； ②设，是否存在a值，使得与相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②存在， 【分析】（1）①假定正方形的边长,则,利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明； ②由得到，由，得到又易得，从而得证， （2）①结合题意，利用两个角对应相等的两个三角形相似即可证明； ②由得：，故，根据，分两种情况 和，利用相似三角形的性质分别求解即可得解； 【详解】解：（1）①证明：如图，假定正方形的边长，则， 在正方形中，． ∵．∴． ②证明：∵，∴ 又∵，∴， ∴ ∴ ∴（只需证明一对） （2）①证明：∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴ ∵，∴，即 ∵，∴． ②由题意得：， 由得：，故， 若，则，即，此时a无解： 若，则，即，此时 所以，当时，与相似． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．解决问题的关键是进行分类讨论，利用相似三角形的对应边成比例进行计算求解． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的直线与y轴负半轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)D是直线在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线交y轴于点F． i）当时，若点D将线段分成两部分，求点E的坐标； ii）当时，试探究是否存在这样的点D，使得与相似？若存在，请求出满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或；存在， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将线段分成两部分，则或，证明△，则或，即可求解； 可证明只存在这种情况，则，设出点D的坐标，分别表示出的长，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴ ∵， ∴点是的中点， ∴， 点将线段分成两部分， ∴或， 如图所示，过点作轴于，则轴，即， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或； 存在，理由如下： 设， ，且过点， ∴可设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 当时，，即， 由点、、、的坐标得，， ∵点D在线段上，且不与点E和点F重合， ∴， 又∵， ∴当与相似时，只存在这种情况， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴，, ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点P在边上，且，求与的相似比； （3）如图，当点F与点E重合时，设交于点G，连接，求的长； 【深入拓展】 （4）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）存在，4或10 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质． （1）在和中，易得，，故可得； （2）易得正方形的面积，根据，可得，再求出，，即可求解. （3）证明，则，求出，根据勾股定理即可求出答案； （4）分两种情况讨论：和，根据两种情况列出关系式进而求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴． ∵， ∴ （2）解：∵正方形的边长为8， ∴正方形的面积 ， ∴ ∵，点E 是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 （4）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图2，连接，    若，则， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴，即． 如图3，连接．    若，则，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点 ∴， ∴． ∵，即 ， ∴， ∴，即． 综上所述，满足条件的x的值为4或10． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知直线经过点，交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)F为线段的中点，C是线段上的一点，连接，过点F作的垂线交x轴于点D，探究线段与的数量关系； (3)在（2）的条件下，是y轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得，且与相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）由直线经过点，得到，求得，当时，，当时，，于是得到，； （2）连接，如图1所示：根据等腰直角三角形的性质得到，由为线段的中点，得到，，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （3）由为线段的中点，得到，根据勾股定理得到，设，求得，得到，设直线的解析式为，把代入得，，求得直线的解析式为，设，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）解：证明：连接，如图1所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （3）解：为线段的中点， ， ∵， ， 设， ， ， 或 (不合题意舍去)， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为， 设， ， 与相似， ， ， 或， 或， 解得或， ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； 或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点、在轴上，在轴上，，直线分别与轴、轴、线段、射线交于点、、、． (1)当时，求证： (2)探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)在轴上是否存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值以及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)存在，，或，或， 【分析】由四边形是平行四边形，得，结合，得，，点、的坐标分别为：、，把代入，得，即点，从而即可求解； 先由待定系数法求得直线的表达式为：，联立和求出，当中时，，进而得点，即可求解； 证明，和的相似比为或，则或，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点、的坐标分别为：、， 当时，， ∴， 即点， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 设直线：， ∵点、的坐标分别为：、， ∴， 解， ∴直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 当时，， ∴点， 当中时，， ∴， 点， ∴， 由点的坐标得，； （3）解：在轴上存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点，见图、、， 设点， 由知，点、的坐标分别为：、， 则，，，， ∵轴于点，过点作，， ∴，， ， ， 以点、、为顶点的三角形与相似， 则：或， 故和的相似比为或， 则：：或， 当时，如图，， 当相似比为时，如图， ， 则，， 即且， 解得：，， 即点，； 当相似比为时，如图， ， 则，， 则且， 解得：，， 则点，； 当时，如图， 当相似比为时，如图， ， 则，， 则且， 解得：，， 即点，； 当相似比为时， 经验证，该情况不存在， 综上，在轴上存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似；点，或，或， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． 题型03 相似三角形与比例式的变形（三等分点/中点模型） 考向分析：此类题型通常以证明线段的倍分关系或复杂的比例式为目标。图形中常含有平行线截线段成比例的经典构型。核心得分点在于巧妙添加平行线，构造A字型或8字型相似，将分散的线段集中到同一组相似比中进行推导。 解题方法： 1. 察结构，定方向：观察目标比例式的结构。若出现倒数和形式，通常考虑构造两组相似，利用同一线段作为中间量进行代换。 2. 巧添平行线：遇到中点或三等分点，常过该点作三角形已知边的平行线，创造出“一半”或“三分之一”的相似比。 3. 连环代换：利用第一组装相似三角形的比例式，将一个几何量用另外两个表示，代入第二组相似或目标式中，消去中间项，得出最终结论。 答题模板： 1. 作：根据中点或等分点条件，过该点作已知边的平行线。 2. 推：利用平行线分线段成比例定理，得出各线段间的倍数或比例关系。 3. 转：将目标式中的较长线段转化为较短线段的表达式。 4. 约：代入目标比例式，通过约分、通分等代数变形，证明最终结论。 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）阅读下列材料，完成相应任务： 三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814~1848）运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角，但对于一些特殊角可以采用折纸或尺规作图实现三等分． (1)如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．观察所得的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (2)如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角内部，利用尺规作图，构造等边，得到，实现尺规作图三等分直角，第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出角的三等分尺规作图方法，并设计题目如下：如图3，已知中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于． ①求证：； ②如图4，点，点是线段上的动点，过点作，交于点，交于点．连接，以为旋转中心，将射线顺时针方向旋转，交线段于点，若，求的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质，证明是等边三角形，进而得出，即可得到结论； （2）①根据等边等角的性质和三角形内角和定理，得到，，再根据三角形外角的性质，得出，即可证明结论； ②连接．先证明是等腰三角形，进而证明，得到，．再依次得出、、是等腰三角形，从而证明，得到，设，．根据相似三角形的性质求出值，即可得到答案． 【详解】（1）解：．证明如下： 如图1，连接， ∵由轴对称的性质可知，是的垂直平分线，，， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：①如图3 ∵， ∴是等腰三角形． ∴． ∵， ∴． 同理：． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． ②如图4，连接． ∵， ∴是等腰三角形． ∴，． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴是等腰三角形． ∴． ∵是的外角， ∴． 同理． ∴是等腰三角形． ∴． ∴． ∵， ∴是等腰三角形． ∴， ∵在和中，，， ∴． ∴． 设，． ∴，解得． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据相关知识找出角度之间的数量关系是解题关键． 2．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中，， 在中，． 故答案为：2；． （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． ②如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 3．（2025·江苏镇江·一模）一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)． 那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： 【活动1】 如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分． (1)请说出点将边三等分的理由． 【活动2】 如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段． (2)请说出被、三等分的理由； (3)如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则_． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，得到，求得，易证，再根据相似三角形的性质可推出，即可得到结论； （2）由折叠的性质得到，，，，求得，，利用三角函数可知，于是得到和三等分； （3）由折叠的性质得到，，，，易证，根据全等三角形的性质得到，设，，，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点将边三等分； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ，， ， ， ， ，， ， 和三等分； （3）解：由折叠的性质得，，，，， ， ， ，， ， ，， 设，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用这些性质是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点” (1)理解应用 如图，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，，，则_____，_____． (2)拓展延伸 如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)的长为或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，进而得到，根据相似三角形的性质即可求出，在中，根据勾股定理求出，进而在中求出； （2）分两种情况讨论：若，②若，则由，得到，设的长，则表示出，，再证明，得到，即可求得的长，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ． ， 在中，， 在中，． 故答案为：；． （2）解：分两种情况讨论： 如图，若，则， 四边形是矩形， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ，即， ， 解得或（舍去）， ， 在中，． 如图，若，则， 四边形是矩形， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ，即， ， 解得或（舍去）， ， 在中，． 综上所述，的长为或． 5．（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 【答案】[任务一] 平行线分线段成比例定理；[任务二]见解析；[任务三]见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质等知识点． 任务一：由平行线分线段成比例定理即可判定； 任务二：根据等边三角形导角得到，则，那么，则，即可得到． 任务三：分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则，那么四边形是菱形，则，再在射线上截取，则，那么，所以，那么，由可得，则，因此，故． 【详解】解：任务一： 证明：，． （平行线分线段成比例定理）， 故答案为：平行线分线段成比例定理； 任务二： 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 任务三： 解：如图，点即为所求： 6．（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了．近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图）． 操作：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕； 操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与相交于点．则为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； （2）请在图中证明； 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图， 若，则_； 若，则_（用含的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，② 【分析】（1）由折叠知，，四边形是矩形，则，从而得，则可得，从而得四边形是平行四边形，进而得四边形是菱形； （2）设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明，由相似三角形的性质求得的长，即可求得的长，从而证得； （3）①设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明，由相似三角形的性质求得的长，即可求得结果的值； ②设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明，由相似三角形的性质求得的长，即可求得结果的值． 【详解】（1）证明：由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； （3）①解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； ②解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，其中折叠性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04相似三角形与几何问题 题型01复杂图形中的相似证明与线段计算（姜合型） 相似三角形与几何问题 题型02动点（或未知点）引发的相似存在性问题（开放探究型） 题型03相似三角形与比例式的变形（三等分点/中点模型） 00 德点量戒 题型01复杂图形中的相似证明与线段计算（叠合型） 啸方法 考向分析：此类题型通常在由多个三角形穿插组合的复杂图形中，要求证明某两组三角形相似，并求解 某条未知线段的长度。核心得分点在于从交错的线条中剥离出基本模型（如A字型、8字型或其叠 加)，并利用“公共角”、“对顶角”或“外角是内对角”寻找等角。 解题方法： 盯目标，溯源头：从需要证明相似的目标三角形出发，逆向寻找它们共有的条件（通常是公共角或对顶 角)。 找等角，定模型：结合平行线的性质或等腰三角形的底角，找出另一对相等的角，锁定“AA”判定 法。若是直角三角形，则直接锁定“HL”或“AA”。 顺藤摸瓜求线段：证明相似后，根据“对应边成比例”列出比例式。若涉及3个以上的几何量，通常通 过建立一元一次方程（代入已知长度）或比例方程来求解。 答题模板： 审：明确求证目标。 找：找出两组三角形中相等的角。 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判：得出相似结论。 算：根据相似比，代入己知数值，求出未知线段长度。 1.(2026九年级上河南信阳·专题练习)在综合与实践课上，老师以“正方形的旋转”为主题，开展数学 活动，如图1， 已知正方形ABCD和正方形EBGF,当点F在对角线BD上时，在老师提出：猜想线段DF与AE的数 F=2AE 量关系时，大家一致认为 ,并且有两个小组给出如下的证明思路： DF =2AE 奋进组：要想证明 ，可以构造并证明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与底角 的三角函数，然后通过等量代换，便可证明； DF=2AE 创新组：要想证明 ,可利用平行线分线段成比例定理，对比例式进行变形，然后利用等腰 直角三角形的斜边与底角的三角函数.便可证明： 图1 图2 图3 备用图 (1)请你根据“奋进组”和“创新组”提出的思路对下面问题做出选择() A,“奋进组”的思路正确，“创新组”的思路不正确 B.“创新组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C.“奋进组”和“创新组”的思路都正确 D.“奋进组”和“创新组”的思路都不正确 (2)将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转a;(0<a<360°)，当正方形EBGF旋转到图2的位置时， (1)中的结论是否成立，若成立请加以证明；若不成立，请写出正确的数量关系，并加以证明： (3)如图3，将正方形EBGF绕着点B顺时针旋转a(0<a<360°)的过程中，当A,E,G三点共线时， 直线BF与射线DC相交于点H,当BE=25,BC=2 ,线段DH的长为 2.(24-25九年级上·吉林长春月考)【问题】如图①，某数学兴趣小组在学习等腰三角形的相关知识时 AB BD 发现在等边△ABC中，AD平分∠BAC,易得ACCD·(不需要证明)· 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【探究】如图②，该数学兴趣小组将图①的等边△ABC改为任意△ABC,AD平分∠BAC,通过观察、 AB BD 测量，猜想ACCD仍然成立.为了证明提出的猜想，通过交流讨论，得到了如下证明方法：过点B 作BE∥AC交AD延长线于点E,利用△CAD与△BED相似证明结论.请你参考上面的方法，帮助该数 学兴趣小组完成证明. 【应用】如图③，在△ABC中，AB=6,BC=8,AC=7,AD和BE是△ABC的角平分线，AD、BE相 OA 交于点0，则0D的值为 D D 图① 图② 图③ 3.(24-25九年级上·北京海淀·期中)本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比 如图，△FEG与△BCD位似，点A为它们的位似中心.A,F,B共线，A,E,C共线，A,G,D共线 AF AE=AG=k 且位似比AB AC AD B (I)试证明△AFE∽△ABC EF 2证明EF∥BC,且BC=k, (3)证明△FEG∽△BCD,且相似比为k, 4. (2026江西吉安·模拟预测)课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应 高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定理证明 ()为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. AD 已知：如图1，△ABC∽△48C、AD、AD分别为两三角形的高，且才D=k。 S△M4BC=k2 求证SABC D 图1 定理应用 (2)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,D为CB延长线上的一点，过点D作DE L AC于点E,DE与 GE 2 AB相交于点F,且EF=DF,在线段AF上取点G,使FG=BF,连接GE,若BC=3· G B 图2 AG ①求BG的值： ②老GE4v0 5,则△ABC的面积为 5.(25-26九年级上吉林长春·月考)【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,O是AB 的中点，E、F分别是直线BC、AD上一个动点，连结OE、EF、CF,且EF⊥OC,求线段 OE+CF的最小值. 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF 【初步探究】如图①，小明同学发现EF、OC的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形求OC的值， 下面给出了证明过程. 证明：作FH⊥BC于点H((1)在图①中，用尺规作图完成此步骤) EF⊥OC, ∴.∠OCB+∠FEH=90°， 证明过程缺失 (2)请你补全证明过程 D E E 图① 图② EF 【问题解决】求出OC的值后，将OE沿EF的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G,将两 个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题.如图②，过点O作OG∥EF,且 OG=EF,在【问题呈现】的条件下，线段OE+CF的最小值为 6. (2025·湖南长沙一模)【课本再现】 思考： 我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形的对角线互相垂直· 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 通过观察，可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 【定理证明】 (1)为了证明该判定定理，小南同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请根据 定义完成证明过程， 己知：在ABCD中，对角线BD⊥AC,垂足为O. 5/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证：口ABCD是菱形， 【知识应用】 (2)如图2，在口ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,AD=10,AC=16,BD=12. ①求证：口ABCD是菱形： ②延长C至点瓜，逢楼OE交GD于点R,若2E-4CD,求距的值. OF 2 图1 图2 题型02动点（或未知点)引发的相似存在性问题（开放探究型) 啸方法 考向分析：此类题型通常在三角形的边或直线的延长线上给定一个动点（或要求寻找一个未知点），探 究当运动到何处时，该点与己知顶点构成的三角形与另一己知三角形相似。核心得分点在于抓住“对应 顶点不确定”这一矛盾，进行科学的分类讨论。 解题方法： 定动点的轨迹：明确动点是在线段上、射线上还是直线上运动，这决定了未知量的取值范围。 抓不变量与公共角：找出运动过程中始终保持不变的角（通常为公共角或对顶角），将其作为相似三角 形的“桥梁角”。 分类讨论列方程：由于对应顶点不确定，通常分为两种情况。利用“夹桥梁角的两边对应成比例”列出 关于动点位置的方程。 求解并取舍：解方程求出动点的位置参数，必须代回原题检验是否满足构成三角形的前提（如边长为 正、不在端点处重合等)。 答题模板： 设：设动点坐标或运动时间，用代数式表示出相关线段长。 分：根据题意，分情况讨论。 列：针对每种情况，列出对应成比例的方程。 解：解方程求出未知数的值。 验：检验所求值是否使三角形退化（如共线）或不符合题意，最后综述存在性及个数。 C(-4,0 (24-25九年级上·吉林长春期中)如图，在平面直角坐标系中，点 ,点4，B分别在轴，少 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2-3x+2=0的解，且OB>OA.若点P从C点出发，以 每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP. A 图1 备用图1 备用图 (I)如图1，判断三角形ABC的形状，并说明理由 (2)在点P运动过程中，利用图1及备用图1探究，当△AOP周长最短时，求点P运动的时间. (3)在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与 △AOB相似？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 2.(22-23九年级上江苏盐城期末)【温故知新】(1)九(1)班数学兴趣小组认真探究了课本P第13 题：如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3DF,图中有哪几对相似 三角形？把它们表示出来，并说明理由。 图1 图2 ①小华很快找出△ABE一△DEF,他的思路为：设正方形的边长AB=4a,则AE=DE=2a,DF=a, 利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程： ②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF 与它们都相似.请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似： 【拓展创新】(2)如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F,连结FC (AB>AE) ①求证：△AEF∽△ECF, 7/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②设BC=2,AB=a,是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似.若存在，请求出a的值；若不存在， 请说明理由. 1 3。(25-26九年级上四川成都期中)如图，在平面直角坐标系x0中，直线V=2+2与x轴交于点A, C(0,-3) 与y轴交于点B,过点A的直线与y轴负半轴交于点 B C 备用图 (I)求直线AC的函数表达式： (2)D是直线AB在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线ED交y轴于点F, i)当DB=AB时，若点D将线段EF分成2：3两部分，求点E的坐标： )当EF∥AC时，试探究是否存在这样的点D,使得△ADF与△AEF相似？若存在，请求出满足条 件的D点坐标：若不存在，请说明理由. 4.(25-26九年级上河北廊坊月考)【问题背景】 如图，正方形ABCD的边长为8，E是边BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F, 连接PE. 【初步探究】 (I)求证：△PFA∽△ABE: (2)若点P在边4D上，且° S五边形PDCEF=44 ,求△PFA与△1BE的相似比 (3)如图，当点F与点E重合时，设PF交CD于点G,连接AG,求AG的长： 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF 【深入拓展】 (4)当点P在射线AD上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形与 △4BE相似？若存在，请直接写出x的值：若不存在，请说明理由. D B E 备用图 5.(24-25九年级上四川成都期末)如图，已知直线y=+4经过点(13)，交x轴于点A,交y轴于点 B B 备用图 (1)求点A,B的坐标： (2)F为线段AB的中点，C是线段OB上的一点，连接FC,，过点F作FC的垂线交x轴于点D,探究线 段CF与DF的数量关系： (3)在(2)的条件下，C(0,3)是y轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点P,使得 ∠PCF=90°，且△COD与△PCF相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由. 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25九年级上广东佛山期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的顶点 B、C在x轴上，A在y轴上，OA=0C=20B=4,直线y=x+(-2≤1<4)分别与x轴、y轴、线段 AD、射线AB交于点E、F、P、O. 1v B 备用图1 备用图2 (I)当t=1时，求证：AP=DP. (2)探究线段AP与PQ之间的数量关系，并说明理由. (3)在x轴上是否存在点M,使得∠PMQ=90°，且以点M、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若 存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由. 题型03相似三角形与比例式的变形（三等分点/中点模型) 煤方法 考向分析：此类题型通常以证明线段的倍分关系或复杂的比例式为目标。图形中常含有平行线截线段成 比例的经典构型。核心得分点在于巧妙添加平行线，构造A字型或8字型相似，将分散的线段集中到同 组相似比中进行推导。 解题方法： 察结构，定方向：观察目标比例式的结构。若出现倒数和形式，通常考虑构造两组相似，利用同一线段 作为中间量进行代换。 巧添平行线：遇到中点或三等分点，常过该点作三角形已知边的平行线，创造出“一半”或“三分之 一”的相似比。 连环代换：利用第一组装相似三角形的比例式，将一个几何量用另外两个表示，代入第二组相似或目标 式中，消去中间项，得出最终结论。 答题模板： 作：根据中点或等分点条件，过该点作已知边的平行线。 推：利用平行线分线段成比例定理，得出各线段间的倍数或比例关系。 转：将目标式中的较长线段转化为较短线段的表达式。 约：代入目标比例式，通过约分、通分等代数变形，证明最终结论。 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025·辽宁抚顺模拟预测)阅读下列材料，完成相应任务： 三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺（没有刻度， 只能做直线的尺子)把一个任意角三等分，此问题曾吸引许多人去研究，但无一成功.1837年法国数 学家凡齐尔(1814~1848)运用代数方法证明，仅用尺规不可能三等分任意角，但对于一些特殊角可以 采用折纸或尺规作图实现三等分. M D D B 图1 图2 H G G 图3 图4 (1)如图1，下面介绍一种折纸三等分直角的方法：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕 EF,把纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得 到了线段BN.观察所得的∠ABM,∠MBN和∠NBC,这三个角有什么关系？你能证明吗？ (2)如图2，第一学习小组同学受到启发，在直角∠ABC内部，利用尺规作图，构造等边△ABE,得到 ∠EBC=30°，实现尺规作图三等分直角，第二小组同学不甘示弱，经过讨论，研究出108°角的三等分 尺规作图方法，并设计题目如下：如图3，已知△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,以C为圆心， CA长为半径画弧，交BC于G. ①求证：∠BAG=∠BAC 3 ②如图4，点D,点H是线段AB上的动点，过点D作DE∥BC,交AC于点E,交AG于点F.连接 BH HG,以G为旋转中心，将射线GH顺时针方向旋转1O8°，交线段DE于点I,若GH=G1,求AD的 值 2.(2025河南安阳一模)综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点， 且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三 等分点”· 11/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 图2 图3 (1)理解应用 如图I,在口ABCD中，AE⊥BD于点P,交CD于点E,若E为CD的三等分点，则口ABCD是垂对三 等分平行四边形，P是垂三等分点.若DE=CD,DE=万，BP=6,则DP= -；AD= (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形4BCD中，P是垂三等分点，且满足E=,AB.若C5CB 试猜 想BD与BC的数量关系，并说明理由. (3)拓展延伸 如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P,交CD于点E,AB=6,当四边形 ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度。 3.(2025江苏镇江一模)一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图1）. A M G B 图1 图2 图3 图4 那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： 【活动1】 如图2，先对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,然后再对折，得到折痕GH、 W,展开后折出对角线AC,对角线AC与GH、EF、W分别交于点K、L、M,最后沿BK折叠， 得到折痕BN,则点V将边AD三等分. (I)请说出点N将边AD三等分的理由. 【活动2】 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图3，先对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,然后把纸片展平，再次折叠纸片， 使点A落在EF上的点N处，得到折痕和线段， (2)请说出∠ABC被BM、BN三等分的理由； (③)如图4，在折叠过程中，不小心将点M往右去了一点，点A的对应点N落到了EF下方，延长MN 交CD于点G.若正方形纸片的边长为8cm,此时FG=2cm,则AM=-· 4.(25-26九年级上·广东佛山阶段检测)综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点， 且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三 等分点” 图1 图2 (1)理解应用 如图I,在ABCD中，AE⊥BD于点P,交CD于点E,若E为CD的三等分点，则口ABCD是垂对三 等分平行四边形，p是垂三等分点.若DE=号CD,DE=N万，BP=6,则DP=一AD=一 (2)拓展延伸 如图2，己知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P,交CD于点E,AB=6,当四边形 ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度. 5.(2025山西长治·二模)阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一.19世 纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的.” 小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅 读她的笔记，并完成下列任务 问题：已知：线段B(如图)·求作：在线段B上找一点C,使得8C=写4B.(尺规作图) A B 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法一： 方法二： 作法步骤： 作法步骤： (1)以A为端点作射线AP. (1)以AB为一边作出等边△ABE. (2)在射线AP上依次截取线段 (2)以AB为的一半OB为一边作出等 AD=DE =EF. 边aOBF. (3)连接FB,过点E作FB的平行线交AB (3)连接EF交AB于点C. 于点C .BC=1AB 8C=号48 证明：由作图可知△ABE和aOBF均为 正三角形 证明：EC∥BF, .∠A=∠OBF=60°且AE=2BF 1 ∴.BC= B(依据) 。… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为： 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程。 任务三：请你雨用种不同的方法。布线段上找点，使0C一B。(尺规作图。保留选，不与 作法，不用证明) A- B 6.(25-26九年级上全国·期末)【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四 等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经 找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法.综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折 叠”为主题开展数学活动. 操作过程及内容如下（如图1）· 操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形ABCD展开，得到折 痕EF: 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕 MN,B'E与AB相交于点P.则P为AB的三等分点，即AP:PB=2:I. 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 图1 图2 【解决问题】 (1)在图1中，若EF与MW相交于点O,连接CQ,求证：四边形EQCM是菱形： (2)请在图1中证明AP:PB=2:1: 【发现感悟】若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程， 请你思考并解答如下问题： (3)如图2， AP ①若AD=3AE,则AB-: AP ②若AD=nAE,则AB-(用含n的式子表示) 15/15