精品解析：吉林省松原市长岭县2024-2025学年下学期期中测试卷 九年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期综合练习九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，其6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 秦始皇是中国历史上著名的政治家，战略家、改革家，首位完成华夏大一统的铁腕政治人物，也是古今中外第一个称皇帝的君主：秦始皇出生于公元前259年；我们记作，则唐太宗李世民出生于公元599年，可记作（ ） A. B. 599 C. D. 259 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． 【详解】解：∵秦始皇出生于公元前259年；我们记作，且公元与公元前是一对具有相反意义的量， ∴唐太宗李世民出生于公元599年，可记作年， 故选：B． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 3. 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得左边一列有2个正方形，中间与右边一列各有一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 如图，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． 【详解】解： 点在上，， 故选： 【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故选：D． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金两和两，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据“头牛，只羊，值金两；头牛，只羊，值金两”列出方程组即可得答案． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. “染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有223000000个碱基对．223000000用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为_____m（结果保留小数点后两位） 【答案】1.24 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 故答案为： 9. 如图，已知，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，灵活运用定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再结合已知条件即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 10. 如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 ______． 【答案】π+1##1+π 【解析】 【分析】根据弧长的计算公式求得和半圆的周长即可得到结论． 【详解】解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1， ∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1， 故答案为：π+1． 【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 11. 第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数2025换算成十进制数是_______（注：）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握题意找到进制转化的方法是关键． 根据示例，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，再把所得的结果相加即可． 详解】解：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 小明欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和．求动力与动力臂之间的函数解析式．（注：动力动力臂阻力阻力臂） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数；根据“动力动力臂=阻力阻力臂”，得到，整理即可求出． 【详解】解：∵动力动力臂=阻力阻力臂，阻力和阻力臂分别为和， ∴ ∴ 动力关于动力臂的函数解析式为． 13. 如图，是的外角，．求证：． 证明：， （___________） （___________） ， ． （___________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等角对等边 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定，先证明，，结合，可得，可得，再逐步填写推理依据即可. 【详解】证明：， （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） ， ． （等角对等边）． 14. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式=…… 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，加减法，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，故或.将原式化简得，再代入求值即可． 【详解】解：依题意得， ∴或 原式 ． 当时， 原式． 15. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min） 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间（单位：min） 等级 C B 人数 3 4 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 得出结论： （1）表格中的数据：______，______，______． （2）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______． （3）如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人． （4）假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书． 【答案】（1）5，8，80.5 （2） （3）240 （4）每人每年平均阅读13本课外书 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，求中位数，数据的统计和分析的知识，准确把握平均数、中位数和理解样本和总体的关系是解题的关键． （1）根据给出的数据直接得出a和b的值，再根据中位数的定义即可求出结果； （2）根据表格找到人数最多的对应的等级即可； （3）用总人数乘以等级为“B”的学生所占的百分比即可； （4）用总周数乘以所占的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知数据知； ∵第10、11个数据分别为80、81， ∴中位数 (min)， 故答案为∶5，8，80.5； 【小问2详解】 解：∵用样本中的统计量看该校学生每周用于课外阅读时间最多的人数在B等级中， ∴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B． 故答案为：B． 【小问3详解】 解：估计等级为“B”的学生有： (人)， 故答案为：240； 【小问4详解】 解：估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为： (本)； 答：该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为13本． 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺；分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，找一个格点，使得点为的外心． （2）图②中，找一个格点，使得． （3）在图③中，找一个格点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格在图①中，利用网格作， ，任意两边的垂直平分线交于外心点； （2）根据网格在图②中，由，，可得：，找到格点，连结、，根据网格特点构造等角即可； （3）根据网格在图③中，利用网格过点作出垂线，得到的余角，根据相似三角形的构图即可． 【小问1详解】 解：如图①，点即为所求； 【小问2详解】 如图，点即为所求； 【小问3详解】 如图③，点即为所求； 【点睛】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用全等三角形或相似三角形构造相等的角． 17. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． 【小问1详解】 若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 18. 新能源纯电动汽车在行驶过程中可以做到零排放和无污染．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（单位：）关于已行驶路程（单位：）的函数图象． （1）当蓄电池剩余电量为时，汽车已行驶路程为___________． （2）当时，求的电量能使汽车行驶的路程． （3）当时，求关于的函数解析式． 【答案】（1）150 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式． （1）根据函数图象中的数据，可以直接写出蓄电池剩余电量为时，汽车已经行驶的路程； （2）根据图象中的数据，即可计算出消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程即可； （3）设所求的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，蓄电池剩余电量为时，汽车已经行驶路程为， 故答案：150； 【小问2详解】 解：， 答：的电量能使汽车行驶； 【小问3详解】 解：当时，设所求的函数解析式为， 把点、代入， 得， 解得， 关于的函数解析式为． 19. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽臂，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题． （1）根据，得出的长度； （2）延长交于点，得出四边形是矩形，通过计算得出的长度，从而得出的长度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∵，即， ， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 答：求线段的长度约为． 20. 解答下列问题： （1）如图①，在正方形中，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．求证：． 【思路分析】如图①，四边形是正方形， ． 把绕点逆时针旋转，得到， 则点在同一条直线上，___________． 根据定理，可证：，从而得出． （2）如图②，在正方形中，当点在线段的延长线上，的两边分别与射线，相交于点，且，连接．判断之间的数量关系，并写出证明过程． （3）如图③，在中，，点，在上，．当时，直接写出由线段围成的三角形的面积． 【答案】（1）90° （2），见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，角度的和差关系即可求解； （2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，可得，，，可证，由此即可求解； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，可证，可得，再根据即可求解. 【小问1详解】 解：正方形中，，， 把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，而是公共边， ∴， ∴，且， ∴， 【小问2详解】 解：，理由如下， ∵正方形， ∴，， 如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，则在上， ， ，，， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：∵在中，，点，在上， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 、、围成的三角形面积为、、围成的三角形面积， ∴， 线段、、围成的三角形的面积为3． 【点睛】本题主考查正方形的性质，图形旋转构成三角形全等，全等三角形的判定与性质．解决本题需正确利用旋转对图形进行变换，找出线段之间的关系． 21. 如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右侧作等边．设点的运动时间为（单位：）与重叠部分图形的面积为（单位：）． （1）当点在边上时，等边的边长为_______．（用含的代数式表示） （2）当点落在边上时，的值为________． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （4）若边的中点，恰好在的边（包括端点）上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，根据题意分情况画出图形是解题的关键． （1）由题意可知，根据解直角三角形即可解答； （2）先求出，根据特殊角的三角函数值得出，，再由等边三角形的性质得，再根据求出的值，进而可得的值，继而求得的值； （3）根据点的运动时间，图形的变化情况，画出图形，分三个时间段讨论即可得到答案； （4）分当的中点在上和当点在的中点上，两种情况画出图形分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图， ∵，，， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， 解得， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，当时， 由（1）知等边的边长为， ∴等边的高为， ∴； 如图，当时， ∵，，是等边三角形， ∴，， ∴，， 由题意可知，由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， 以上可知， ∴， ∴； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【小问4详解】 解：如图，当的中点在上时， 由（1）知， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； 如图，当点在的中点上时， 由（2）得， ∴，即， ∴， ∴边的中点，恰好在的边（包括端点）上时，的值为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点在这条抛物线上，且不与点重合，过点作轴的垂线与射线交于点，以为边作，使，点在点的下方，且．设点的横坐标为（且）． （1）求这条抛物线的解析式． （2）若线段的长度为，求与之间的函数解析式． （3）当时，的值为___________． （4）当点落在的边上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线即可． （2）①分两种情形当时，如图1，当时，如图2，分别计算即可． （3）过点作轴，根据，可得四边形是平行四边形，可得，由此列出方程即可求解； （4）当点落在的边上时，由图可知只能在边上，结合点的坐标和列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线 ． 得． 解得． ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：． 即：． 【小问2详解】 当时，． ∴． 设直线的解析式是：． 将B、C代入，得：．解得． ∴直线的函数解析式是：． ①由题意知． ∵轴． ∴． 根据题意知：或． 当时，如图1， ． 当时，如图， ． 【小问3详解】 当时， ②如图3中，过点作轴， 由（2）可知：，． ∵，点在点的下方，且． ∴， ∴解得：，（不合题意舍去，） 故答案为：. 【小问4详解】 ∵点在点的下方，且，， 当时，即：， 解得或 ∴此时的值，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期综合练习九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，其6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 秦始皇是中国历史上著名的政治家，战略家、改革家，首位完成华夏大一统的铁腕政治人物，也是古今中外第一个称皇帝的君主：秦始皇出生于公元前259年；我们记作，则唐太宗李世民出生于公元599年，可记作（ ） A. B. 599 C. D. 259 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点上，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金两和两，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. “染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有223000000个碱基对．223000000用科学记数法可表示为__________． 8. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为_____m（结果保留小数点后两位） 9. 如图，已知，，，则的长为______． 10. 如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 ______． 11. 第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数2025换算成十进制数是_______（注：）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 小明欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和．求动力与动力臂之间的函数解析式．（注：动力动力臂阻力阻力臂） 13. 如图，是的外角，．求证：． 证明：， （___________） （___________） ， ． （___________）． 14. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式=…… 15. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min） 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间（单位：min） 等级 C B 人数 3 4 分析数据：补全下列表格中统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 得出结论： （1）表格中的数据：______，______，______． （2）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______． （3）如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人． （4）假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书． 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺；分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，找一个格点，使得点为的外心． （2）在图②中，找一个格点，使得． （3）在图③中，找一个格点，使得． 17. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 18. 新能源纯电动汽车在行驶过程中可以做到零排放和无污染．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（单位：）关于已行驶路程（单位：）的函数图象． （1）当蓄电池剩余电量为时，汽车已行驶的路程为___________． （2）当时，求的电量能使汽车行驶的路程． （3）当时，求关于的函数解析式． 19. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽臂，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 20. 解答下列问题： （1）如图①，在正方形中，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．求证：． 【思路分析】如图①，四边形正方形， ． 把绕点逆时针旋转，得到， 则点同一条直线上，___________． 根据定理，可证：，从而得出． （2）如图②，在正方形中，当点在线段的延长线上，的两边分别与射线，相交于点，且，连接．判断之间的数量关系，并写出证明过程． （3）如图③，在中，，点，在上，．当时，直接写出由线段围成的三角形的面积． 21. 如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右侧作等边．设点的运动时间为（单位：）与重叠部分图形的面积为（单位：）． （1）当点在边上时，等边的边长为_______．（用含的代数式表示） （2）当点落在边上时，的值为________． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （4）若边的中点，恰好在的边（包括端点）上时，直接写出的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点在这条抛物线上，且不与点重合，过点作轴的垂线与射线交于点，以为边作，使，点在点的下方，且．设点的横坐标为（且）． （1）求这条抛物线的解析式． （2）若线段长度为，求与之间的函数解析式． （3）当时，的值为___________． （4）当点落在的边上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$