精品解析：湖南省百校联考(湘潭市第二中学等)2024-2025学年高一下学期期中数学试题

机密★启封前 2024－2025学年（下）高一百校期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 【详解】， 故选：C. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥，棱台，棱锥的定义及结构特征，逐一分析判断各个选项得解. 【详解】对于A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故A错误； 对于B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故B错误； 对于C，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故C错误； 对于D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥， 由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故D正确. 故选：D. 3. 已知在边长为的正方形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算与数量积的定义直接求解即可. 【详解】 . 故选：B. 4. 函数，的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图象及性质求得已知函数的单调递增区间，即可求得. 【详解】， 令， 函数的单调递减区间为. 由， 得， 而，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和. 故选：C. 5. 用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，求得，进而得到的长，得到答案. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到直观图画出原图， 因为，可得，所以，即， 则，所以. 故选：C. 6. 如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件确定该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体，据此计算即可求解. 【详解】该平面图形分别绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体， 因为，所以圆柱的高为，圆柱底面半径为， 圆锥的底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为. 故选：D. 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数的解析式，再根据函数图象变换求函数的解析式，根据条件及三角函数性质列方程求，再确定其最小值即可. 【详解】可化为， 所以， 由条件可得， 因为函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 所以，， 所以，，又， 所以的最小值为， 故选：A. 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正余弦函数的最值结合可得，从而可求出，进而可得出答案. 【详解】由三角函数的值域可知，，所以，所以， 当且仅当时取等号，此时, 所以，， 所以． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数均不0，则（ ） A B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的乘法和除法运算可得答案. 【详解】对于A，，，显然，A不正确； 对于B，设，，则，， ，所以，B正确； 对于C，设，， ，， ， 所以，C正确； 对于D， ， ，D正确； 故选：BCD 10. 信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最小正周期是 B. 该函数的解析式是， C. 该函数图象的对称中心是 D. 该函数图象的对称轴是直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断B选项的正误；再求函数图象的对称中心判断C，求函数图象的对称轴判断D. 【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，由图象可得，解得， ， 图象经过点， ， . ，，则，， 所以，函数解析式为，，B选项正确； 对于C选项，令，，可得，， 所以函数图象的对称中心为，C选项错误； 对于D选项，令，，可得，， 所以函数图象的对称轴是直线，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 在中，，，，则（ ） A B. C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设三角形的重心为，根据三角形重心公式可判断A选项；由，，可判断B选项；设的中点为，根据是三角形的重心，结合A选项可判断C选项；设的中点为，利用三角形的中点向量可判断D选项. 【详解】设三角形的重心为，由，，根据三角形重心公式，可得，， 又，即，可得，则，故A正确； 因为，，故B错误； 设的中点为，因为是三角形的重心，故，，故C正确； 设的中点为，有，而，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，平方化简得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由，可得，即， 整理得，即，即， 联立方程组，可得，所以. 故答案为：. 13. 若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件求的范围，再求，的范围，根据正弦函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，可得， 又是三角形的一个内角，所以， 故，， 因为函数在区间上单调递增， ，解得，又， 所以的取值范围为， 故答案为：. 14. 已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】依据正弦定理，由，得， 两边同乘，得，解得， 又因为，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，的最大值为4；时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，则，从而可求出x的值； （2）根据题意可得，然后利用正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 因为，，， 所以． 若，则，与矛盾， 故，于是．又， 所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以，从而． 所以， 于是，当，即时，取到最大值； 当，即时，取到最小值． 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，化简已知条件，即可求得； （2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，求得，再利用余弦定理即可求得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 则，即， 又在中，由，故. 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，得. 又由，有，则，可得， 由余弦定理得，则，可得. 17. 在中，，为的中点． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可； （2）在中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由， 所以， 即， 又，故； 【小问2详解】 设，由，可知， 又为的中点，所以， 在中，由余弦定理得，， 故的值为． 18. 如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. （1）当时，求向量和的夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 19. （1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）设某长方体礼盒的长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 【答案】（1）工厂选择正方体礼盒更经济实惠； （2）（ⅰ）48cm；（ⅱ）35cm． 【解析】 【分析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为，结合，得到，即可得到答案； （2）（ⅰ）根据题意，求得彩带的总长度，即可得到答案； （ⅱ）在平面内作，求得，求得需彩带的总长度为，进而得到答案. 【详解】解：（1）设球半径为，正方体礼盒的造价为元， 则圆柱形礼盒的造价为元， 记正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 则，所以工厂选择正方体礼盒更经济实惠． （2）（ⅰ）所需彩带的总长度为． （ⅱ）如图所示，在平面内作，则， 同理可得，则， 所以所需彩带的总长度为， 因为，所以用对角捆扎法所用的彩带短，较短的约为35cm． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启封前 2024－2025学年（下）高一百校期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 3. 已知在边长为的正方形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数，的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 5. 用斜二测画法画水平放置的 ，其直观图如图所示，其中，若原的周长为6，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示为关于对称的两个等腰与，已知，则该平面图形（阴影部分）绕着直线旋转形成的几何体的体积为（ ） A B. C. D. 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C D. 10. 信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最小正周期是 B. 该函数的解析式是， C. 该函数图象的对称中心是 D. 该函数图象的对称轴是直线 11. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则______． 13. 若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 14. 已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 17. 在中，，为的中点． （1）求； （2）若，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. （1）当时，求向量和的夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 19. （1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）设某长方体礼盒长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $