精品解析：湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 3 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 5. 若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ） A B. C. D. 6. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥 C. 存在每个面都是直角三角形的四面体 D. 半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ） A. B. 当时， C. 面积最大值为 D. 游览路线最长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 13. 用斜二测画法作一个水平放置平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. （1）用向量表示向量； （2）求的值. 18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19. 如图所示，设是平面内相交成角两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以 故选：D. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 5. 若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体外接球的直径为对角线，可得半径，从而求球的体积. 【详解】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 6. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知平方得，再根据投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以向量在向量上投影向量为. 故选：C. 7. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的体积公式、圆台的体积公式列式求出圆台两底半径，进而求出圆台的母线即可求出表面积. 【详解】依题意，圆台体积， 如图所示，设圆台较大的底面半径为，则较小的底面半径为， 于是，解得， 过点B作，垂足为，由圆台的结构特征得底面， 母线， 圆台表面积. 故选：B 8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 【答案】B 【解析】 【分析】把条件转化为，再根据向量的运算法则逐步计算即可求解. 【详解】由条件得，则， 所以， 所以， 则，即， 所以，则， 所以向量与的夹角为． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥 C. 存在每个面都是直角三角形的四面体 D. 半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球 【答案】CD 【解析】 【分析】根据几何体的特征，对各选项逐一判断即可求解. 【详解】解：对A：圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线， 因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，故A选项错误； 对B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故B选项错误； 对C：如图，四面体ABCD的每个面都是直角三角形，故C选项正确； 对D：半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体是一个球体，故D选项正确； 故选：CD. 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ） A. B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 游览路线最长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用正余弦定理解三角形即可判断A B，在用余弦定理解三角形的同时结合基本不等式即可判断C D. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以正确； 在中，由正弦定理， 得错误； 在中，由余弦定理， ， 当且仅当时等号成立，所以， 则的面积为，C正确； 由上可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数. 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 13. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以， 所以， 又，，，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案； （2）由可得答案. 【小问1详解】 将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥， 所以所得几何体的体积； 【小问2详解】 易知圆锥的母线为，所以， ， 所得几何体的表面积. 17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. （1）用向量表示向量； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【小问1详解】 如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. 小问2详解】 由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【小问1详解】 若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； 【小问3详解】 由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数； （2）在仿射坐标系中，若，． ①当时，求； ②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解； （2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式，即可求解； ②由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 小问1详解】 因为，， 所以， 又因为，存在实数使得，即， 所以，可得，解得． 【小问2详解】 ①当时，，，， 所以， ， ， 所以． ②因为， ， ， 由，得， 所以对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意． 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$