精品解析：湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高二下学期期中数学试题

武汉市常青联合体2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：江夏实验高中 命题教师：邱宗锐 审题教师：周学箐 考试时间：2025年4月22日 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以，故B正确. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法计算. 【详解】令，得①， 令，得②， ①+②，得， 所以. 故选：B. 3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 4. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的求导公式及求导法则判断各选项即可. 【详解】因为是常数，所以，故A错误； ，所以B错误； ，所以C错误； ，D正确. 故选：D 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再结合积中的指数情况列式计算得解. 【详解】展开式的通项， 显然，则当，即时，， 所以的展开式中常数项为. 故选：A 6. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，可以分为两步来计算，第一步先把比赛进行分组，第二步将分好组的比赛项目安排到3个不同体育场比赛，根据分步计算原理可得. 【详解】根据题意可知，可以分为两步来计算， 第一步先把比赛进行分组，要求排球、空手道必须安排到同一场馆， 有种分法， 第二步将分好组的比赛项目安排到3个不同体育场比赛，有种分法， 根据分步计算原理知种. 故选：B 7. 在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ） A 4项 B. 5项 C. 6项 D. 3项 【答案】A 【解析】 【分析】分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可求解. 【详解】由可得， 当，,则， 其展开式的通项为， 令,得,解得； 当,则， 其展开式的通项为， 令，得，解得. 综上所述：， 所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项. 故选:A. 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将已知变形为,然后再运用基本不等式得到,利用导数求证再用取得等号时的条件可得，即可求解. 【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即， 设， 则当时，单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以, 故选：C. 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论. 【详解】根据图象可知，当时，且不恒为零， 当时，， 因此可得在上单调递增，在上单调递减； 即在处取得极大值，可知有唯一极值点，即A错误；B错误； 显然仅在处取得极大值，无极小值，C正确； 因为在上单调递增，又，可得在上单调递增，即D错误； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 被7除后的余数为5 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A利用二项式定理展开即可判断，对于B两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法，利用插空法求两位女生不相邻排法有即可求概率，对于C根据排列数和组合数公式即可求解，对于D先求从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件的取法，再求取得2件次品的取法即可求概率. 【详解】对于A：由于，所以， 所以，即被7除后的余数为2，故A错误； 对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法，两位女生不相邻的排法有，则两位女生不相邻的概率为，故B正确； 对于C：由可得，解得，故C正确； 对于D：从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，共有种取法，取得2件次品共有，则取得2件次品的概率为，故D错误. 故选：BC. 11. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（ ） A. 三次股子后所走的单位数可以是12 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C. 三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点处的所有不同走法共有24种 【答案】BC 【解析】 【分析】利用列举法可得点数和为8和16的所有情况，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，故A错误，B正确： 在点数中三个数字能够使得和为8，16的有125，134，116，224，233，466，556， 在组合125，134，每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 在116，224，233，466，556各有3种结果，共有种结果， 其中点数之和超过10的走法为466，556，共有种，故C正确； 根据分类计数原理知共有种结果，故D错误； 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中第4项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项中令可得. 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中第4项系数是. 故答案为：. 13. 将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______． 【答案】37 【解析】 【分析】利用对立事件法求解，先计算总数，在计算甲部门没有人的种数。 【详解】先不考虑甲部门是否有人，总数为种； 甲部门没有人的种数为种； 所以甲部门有人的安排方法种数为种； 故答案为：37 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 四、解答题：本小题共5题，共77分，解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． （1）求正整数的值； （2）若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； （3）求系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式通项找到项的系数，因为第三项的系数是第二项的系数的倍列出等式，计算解出的值； （2）利用赋值法计算各项系数之和，计算二项式系数之和，再得出的值； （3）根据二项式展开式通项找到项的系数，利用不等式关系计算出系数最大的项； 【小问1详解】 由题意得，二项式的展开式的通项为 ，， 第三项的系数是 第二项的系数是 又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有 解得； 【小问2详解】 对于二项式，令，即得展开式中各项系数之和为，可得， 展开式的二项式系数之和为，可得， 可得； 【小问3详解】 展开式的通项为，， 则 整理得，即 而，∴，所以系数最大的项为． 16. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值； （2）若的图像与直线相切，求实数的值. 【答案】（1），最小值1 （2）1 【解析】 【分析】（1）通过函数奇偶性，构造方程组即可解析式，再通过基本不等式即可求最小值； （2）设切点坐标，由导数的几何意义得到求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为. 由及为偶函数，为奇函数， 得， 两式相加，解得： 因为函数的定义域为， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故当时，函数的最小值为1. 【小问2详解】 由条件得，设两图像切点为， 则，即， 所以 令，则， 当时，，递减， 当时，，递增， 当时，， 又，所以， 所以. 17. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； （2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【小问1详解】 由题意可得共种不同的站法． 【小问2详解】 先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． 【小问3详解】 先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调减区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导函数，再解，即可得解； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的， 当；当， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、. 【小问3详解】 ， 因为函数有两个零点，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求值； （3）求证：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 在处取得极小值0，无极大值. 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以. 记， 当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以. 又，所以，所以. 【小问3详解】 先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即. 所以，再证. 由（2）可知，当时等号成立， 令，则， 即， 所以， 累加可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市常青联合体2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：江夏实验高中 命题教师：邱宗锐 审题教师：周学箐 考试时间：2025年4月22日 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. 5 D. 10 6. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ） A 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 7. 在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ） A. 4项 B. 5项 C. 6项 D. 3项 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 10. 下列说法正确的是（ ） A. 被7除后的余数为5 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 11. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点处，则（ ） A. 三次股子后所走的单位数可以是12 B. 三次骰子点数之和只可能有两种结果 C. 三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点处的所有不同走法共有24种 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中第4项的系数是__________. 13. 将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______． 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本小题共5题，共77分，解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． （1）求正整数的值； （2）若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； （3）求系数最大项． 16. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值； （2）若的图像与直线相切，求实数的值. 17. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； （2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）名老师之间必要有男女学生各人． 18. 已知函数. （1）当时，求单调减区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：. 19. 已知函数. （1）当时，求单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$