专题02：用导数研究不等式的恒成立与能成立问题（重难点篇）-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题02 利用导数研究不等式恒成立问题 一、恒成立问题的常见处理方法 （1）分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. （2）分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． （3）等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. （4）最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 （5）值域法解决双参等式问题 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 二、常见题型 1、求参数的范围与最值 2、双变量最值问题 2、证明不等式 方法一、分离参数法 【方法点拨】用分离参数法解含参不等式恒成立（能成立）问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 若能成立； 1、全分离 【例1】（2023下·上海·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时，试求函数在上的最值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； 【例2】（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【例3】（24-25金山区高二期中）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【跟踪训练】 1.（2023下·上海·高二上海市延安中学校考期末）已知函数. (1) 求的极值； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2.（2023下·上海浦东新区川沙中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、转化后分离 【例4】（2024·上海普陀·一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练】 1.（2023下·上海·高二上海市大同中学校考期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为(    ) A．2 B． C．3 D． 3、半分离 【例5】（2023上·上海浦东新区·高二校考期中）若关于的不等式恒成立，求的最大值 . 4、讨论分离 【例6】（2024吴淞中学期末）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.（2023下·上海·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数， (1)若，求函数在处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2. (2024·广东广州·一模)已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值. 方法二、分类讨论法 【例7】 (2024·山西吕梁·一模)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合． 【例8】(2024高三·上海徐汇·期中)已知函数，其中是自然对数的底数． (1) 当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求在的最值； (3)若函数在上是严格递增函数，求的取值范围. 【例9】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． ①讨论函数的单调性； ②若在区间上有解，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1.（2023上海高二课时练习）已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. 2.（2023下·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）设，函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设常数.当时，关于的不等式在恒成立，求的取值范围. 3.（2023上海高二课时练习）已知． ①讨论的单调性和极值； ②若时，有解，求的取值范围． 方法三：等价转化法 【方法点拨】当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 【例10】（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 【例11】（2023上海高二课时练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调减区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2023上海高二课时练习）已知函数，．若对一切正实数都成立，求实数的取值范围． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围． 方法四：最值比较法 形如：，不等式或者的模型 （或者） 此类题即求在定义域上的最大值与最小值的差≤A 【例12】（2023上海高二课时练习）已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若对，，恒成立，求实数的取值范围. 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在，存在，使，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例14】（2023上海高二课时练习）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例15】（2022上·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知函数，，. (1)当时，解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围. 【跟踪训练】 1.（2023闵行七宝中学高三三模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2023上海高二课时练习）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 方法五：同构法 【例16】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 【例17】（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【例18】（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 . 【跟踪训练】 1．（2023上海高二课时练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围. 2（2023上海高二课时练习）不等式对都成立，则取值范围是 ． 3.(2024河南郑州一模)，恒成立，则正实数的最大值是 ． 4.（2023上海高二课时练习），当时，恒有，则实数t的取值范围 ． 一、填空题 1. (2024·陕西西安·一模)若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若存在，使得成立，则实数的最小值为 . 3. (2024·陕西西安·一模)若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 4.若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________. 5．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______． 6.（2023·全国·高二专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________. 7. (2023·吉林长春·一模)不等式对都成立，则实数的取值范围是 ． 8.(2024·河南郑州·一模)，不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 二、选择题 9.(2023·四川成都·一模)若恒成立，则实数的最大值为(    ) A． B．2 C．1 D． 10. (2024·广东·模拟)对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 11.已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12.（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 14. (2024·全国·模拟预测)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 15. (2024·全国·模拟预测)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 三、解答题 16.已知函数，其中． ①若函数在处取得极值，求实数a； ②若函数在上恒成立，求实数a的取值范围． 17．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数（为常数） 1）讨论函数的单调性； 2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18.（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知． ①讨论的单调性和极值； ②若时，有解，求的取值范围． 19.（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数． ①求的单调区间； ②若对于任意的恒成立，求实数的最小值． 20.（2021·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）已知函数. ①当时，求的单调区间与极值； ②若在上有解，求实数a的取值范围. 21.已知函数. ①当时，求的最小值； ②若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 22.（2023·全国·高三专题练习）已知函数. ①当时，讨论的单调性； ②设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 23.(2024·全国·模拟预测)已知函数． (1) 若的零点也是其极值点，求； (2)若对所有成立，求的取值范围． 24.（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为. ①若，求a，b； ②若在上恒成立，求的取值范围. 25.（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． ①讨论函数的单调性； ②若在区间上有解，求实数的取值范围． 26.（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为. ①求实数的值； ②若存在，满足，求实数的取值范围. 27.（2023·全国·模拟预测）已知函数． ①若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值； ②若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围． 28．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 29．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围. 30．（2023·高二课时练习）已知函数，. (1)令，求的最小值； (2)若对任意，且，有恒成立，求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题02 利用导数研究不等式恒成立问题 一、恒成立问题的常见处理方法 （1）分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. （2）分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． （3）等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. （4）最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 （5）值域法解决双参等式问题 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 二、常见题型 1、求参数的范围与最值 2、双变量最值问题 2、证明不等式 方法一、分离参数法 【方法点拨】用分离参数法解含参不等式恒成立（能成立）问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 若能成立； 1、全分离 【例1】（2023下·上海·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时，试求函数在上的最值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得最小值， 易知，则最大值． （2）若对任意，不等式恒成立，即：恒成立 当时，恒成立． 令，则． 当，，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以时，取最小值，所以． 当时，若时，恒成立； 若，取，则显然不满足，所以 综上， 【例2】（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，， 则，令， 则， 当时，， ， 所以， 当时，，所以， 当时，，令， 则，所以， 又， 所以，综上对恒成立， 所以在上严格增，又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，所以，即. 故答案为： 【例3】（24-25金山区高二期中）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 【跟踪训练】 1.（2023下·上海·高二上海市延安中学校考期末）已知函数. (1) 求的极值； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【分析】(1)求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； (2)根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【解】(1)解：由函数，可得， 令，即，解得；令，即，解得， 所以函数在区间单调递减，单调递增， 当时，取得极小值，极小值为，无极大值. (2)由不等式恒成立，即恒成立， 即对于任意，不等式恒成立，设，可得， 令，即，解得；令，即，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，， 所以，即，所以实数的取值范围为. 2.（2023下·上海浦东新区川沙中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若存在，使，即， 所以，令，， ，令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以所以.故选：C. 2、转化后分离 【例4】（2024·上海普陀·一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据导数的几何意义转化为对任意恒成立，再代入，利用分离参数法即可得到答案. 【详解】，即， 即，即对任意恒成立， ，即对任意恒成立， 对任意恒成立，则， 设，则，令，解得， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则，则， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（2023下·上海·高二上海市大同中学校考期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】B【分析】不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解. 【解】由题意得，，即， 令，因为，，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，则；令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则的最大值为；故选：B 3、半分离 【例5】（2023上·上海浦东新区·高二校考期中）若关于的不等式恒成立，求的最大值 . 【答案】 【详解】由，原不等式可化为：， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，在处取得极大值，且为最大值，则； 当时，，    结合图象可知，要使的图象恒在图象的上方，显然不符题意， 当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距， 再令，可得，所以的最大值为. 此时，直线与在点处相切，的最大值为. 故答案为： 4、讨论分离 【例6】（2024吴淞中学期末）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，当时，， 求导得，由，得，由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）函数，，， 设，，求导得，函数在上单调递减， 则，即，因此， 令，，求导得， 令，，求导得，当时，， 当时，，即在上单调递减，在上单调递增， 则，即，因此函数在上是增函数，， 所以，即实数的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（2023下·上海·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数， (1)若，求函数在处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【分析】(1)求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程；(2)按照、和讨论，分离参数，构造函数，借助导数，得到在的最值，得到答案. 【解】(1)当时，，，，所以， 所以在处的切线方程，即 (2)时，恒成立，即恒成立 ①时，，恒成立 ②时，恒成立，即；令 令时，，即恒成立， 则在单调递增，，所以时， 时，，所以恒成立，即在单调递减， ，所以，所以； ③时，恒成立，即， 由②可得在上单调递减，在上单调递增，所以；综上，. 2. (2024·广东广州·一模)已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值. 【分析】(1)求出函数的导数，根据题意可知在有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案；(2)参变分离，变为在恒成立，构造函数，即可求得答案； 【解】(1)； 因为在不是单调函数，所以在上有变号零点； 因为恒成立，令，则在上有变号零点； 因为，所以在单调递增， 因为，当的值趋近正无限大时，趋近于正无限大，a为待定的参数， 故趋近于正无限大，故只需，即，所以实数的取值范围是. (2)令，因为在恒成立， 所以在单调递减，所以， 所以在恒成立，即为在恒成立，令， 则， 令，则在恒成立，所以在上单调递减； 因为；所以有唯一零点，且 当时，，即，所以在单调递增； 当时，，即，所以在单调递减； 所以；所以实数的最小整数值为. 方法二、分类讨论法 【例7】 (2024·山西吕梁·一模)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合． 【答案】(1)，(2) 【分析】(1) 由题意先求出，从而可求解. (2)由对任意恒成立，构建，利用导数求出的单调性，从而可求解. 【详解】(1)由题意得， 所以， 又因为 ，则切线方程为， 即. (2)由题意得对任意，恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，且，， 所以存在使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不合题意； 当时，，单调递增，且， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，符合题意； 当时，得在上单调递增， 又， 所以，在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 当时，，单调递增，，不符合题意， 综上，正实数的取值集合为. 【例8】(2024高三·上海徐汇·期中)已知函数，其中是自然对数的底数． (1) 当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求在的最值； (3)若函数在上是严格递增函数，求的取值范围. 【分析】(1)求出函数的导函数，计算，又，由导数的几何意义求解； (2)利用导数判断函数的单调性，求出端点值和极值即可求解； (3)依题意，转化为在区间上恒成立，即可求解. 【解】(1)(1)当时，，所以，故，又， 由导数的几何意义知,曲线在点处的切线方程为，即. (2)当时，，所以， 因为，由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则，， ，，故. (3)因为，所以， 因为函数在上是严格递增函数,所以在区间上恒成立， 又因为恒成立，即在区间上恒成立， 令， (i)当时，，显然在上恒成立； (ii)当时，则的对称轴， 当，即时，在区间上单调递增， 所以的最小值为，故满足题意； (iii)当，即时，在区间上恒成立， 则,即，解得，又，所以， 综上所述：的取值范围为. 【例9】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． ①讨论函数的单调性； ②若在区间上有解，求实数的取值范围． 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 【跟踪训练】 1.（2023上海高二课时练习）已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. 【解】(1)f′(x)＝ex－1－a＋，∴f′(1)＝2－a＝3，∴a＝－1，经检验a＝－1满足题意，∴a＝－1， (2)f(x)≥ln x－a＋1可化为ex－1－ax＋a－1≥0，令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1，则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0， ∵φ′(x)＝ex－1－a， ①当a≤0时，φ′(x)＞0，∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立，∴a≤0符合题意. ②当a＞0时，令φ′(x)＝0，得x＝ln a＋1. 当x∈(－∞，ln a＋1)时，φ′(x)＜0，当x∈(ln a＋1，＋∞)时，φ′(x)＞0， ∴φ(x)在(－∞，ln a＋1)上单调递减，在(ln a＋1，＋∞)上单调递增. 当ln a＋1≤1，即0＜a≤1时，φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，φ(x)min＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴0＜a≤1符合题意. 当ln a＋1＞1，即a＞1时，φ(x)在[1，ln a＋1)上单调递减，在(ln a＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(ln a＋1)＜φ(1)＝0与φ(x)≥0矛盾；故a＞1不符合题意. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}. 2.（2023下·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）设，函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设常数.当时，关于的不等式在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为 (2) 【详解】（1），， 令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. （2），，设，， 令得. 当.时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，在上的最小值， 由，解得，故. 当时，在上的最小值， 由，有，解得，故. 综上所述：的取值范围为. 3.（2023上海高二课时练习）已知． ①讨论的单调性和极值； ②若时，有解，求的取值范围． 【详解】（1）， 当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值； 当时，令 ，得， ，得，函数在区间上单调递减， ，得，函数在区间上单调递增， 当，函数取得极小值， 综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值； 时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值. （2）由题意可知，，时有解， 则，在时有解，即， 设，，， 令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即，所以实数的取值范围是. 方法三：等价转化法 【方法点拨】当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 【例10】（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 【例11】（2023上海高二课时练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调减区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)当时， 令，得; 故函数的单调减区间为 (2)令; 令，由于 ①当时，对恒成立，故对恒成立 故在单调递减，成立； ②当时，在恒成立， 故在单调递减，成立； ③当时，对称轴为，为开口向下的二次函数， 故在单调递增，， 故在存在唯一的零点， 在，故在单调递减；在，故在单调递增 故当不成立.综上： 【跟踪训练】 1．（2023上海高二课时练习）已知函数，．若对一切正实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】由f(x)≤g(x)，得ax＋lnx≤a2x2，即a2x2－ax－lnx≥0. 设h(x)＝a2x2－ax－lnx，则只需h(x)min≥0. h′(x)＝2a2x－a－＝，且a＞0, x＞0.令h′(x)＝0，得x＝. 易知在区间上，h′(x)＜0, h(x)单调递减； 在区间上，h′(x)＞0, h(x)单调递增． 所以h(x)min＝h＝a2×2－a×－ln≥0，得a≥1，即实数a的取值范围是[1, ＋∞)． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值 (2) 【详解】(1)解：由函数，得的定义域为， 当时，，， 令，解得；令，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值，即． (2)解：令， 因为对于任意都有，只须在上恒成立， 又由， 因为， 所以，，即 所以在上单调递增， 所以，解得， 所以当时，对任意都有成立． 方法四：最值比较法 形如：，不等式或者的模型 （或者） 此类题即求在定义域上的最大值与最小值的差≤A 【例12】（2023上海高二课时练习）已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若对，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）. 【分析】(1)求出，令，解出不等式，即可得到函数的单调区间. （2）依题意有, 利用导数分别求出函数的单调区间，得出对应的最值，从而得出答案. 【详解】（1） 令，解得或，，解得 增 极大值 减 极小值 增 由上表知的递增区间为，，递减区间为. （2）依题意有， 由（1）知当时 而，在上为减函数， 所以当时 故的取值范围为. 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在，存在，使，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对于存在，存在，使， 所以，，， 又，， 显然在上单调递减，则， 当时，，即在上单调递增， 则，由解得：， 所以实数的取值范围为.故选：A. 【例14】（2023上海高二课时练习）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【详解】(1) 令，解得或，且 当时，，当时，， 当时， 即的单调增区间为，单调减区间为 (2)由（1）知，当时，恒成立 所以在上为增函数， 即. 的最大值为 恒成立, 即， 又 .故的取值范围 【例15】（2022上·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知函数，，. (1)当时，解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 由，即 当时，不符合题意 当时，则 当时，则 综上所述： （2）由题可知：， 所以在恒成立， 则且在恒成立， 由 ，所以 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递减 所以当时，；当时， 所以的最小值为 又，所以， 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递减 所以当时，；当时， 所以函数在的最大值为3 所以且，即 【跟踪训练】 1.（2023闵行七宝中学高三三模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意，，都有不等式成立， ，，，则在区间上单调递增， ∴， ，，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减， ，，故， 综上，.故选：C 2.（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，使得成立，等价为使得成立， 由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故 在成立， 当时，， 设，，则， 由，得， 所以在递减，所以， 则在递减，所以， 则，所以．故选：A 3.（2023上海高二课时练习）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的导函数为， 由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增， 故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=， 所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴， 所以当时，，当时，， 则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，， 可得，解得． 方法五：同构法 【例16】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求得，再利用导数判断的单调性和极值； （2）由题意分析可得在为增函数，进而可得在恒成立，构建，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知的定义域为，且， 可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行， 可得，即， 所以，， 由，可得，由，可得， 则在单调递增，在单调递减， 可得在处取得极大值为，无极小值. （2）不妨设，则， 若，， 可得，即有， 设在为增函数， 即有对恒成立， 可得在恒成立， 令，则的定义域为，且， 由，可得，由，可得， 可得在递减，在递增， 则在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 【例17】（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据的单调性得到在上恒成立，列不等式求解即可. （2）根据（1）的结论将转化为，构造函数，根据的单调性得到在上恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为为上的严格增函数， 故在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以等号不同时取到，解得， 故实数的取值范围是； （2）不妨设，由（1）可知函数在上严格递增，故， 此时，不等式等价于， 令，， 所以函数在上是严格增函数， 故在上恒成立，只需， 求导可得 因为，， 所以， 解得，当且仅当，即时等号成立， 所以实数的取值范围为. 【例18】（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【详解】不等式恒成立等价于即，即， 由于为增函数，所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 易得， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2023上海高二课时练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等式组，即可解得函数的解析式； （2）不妨设，可得出，则函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由条件，可知函数的定义域为， 所以，， 可得，解得. （2）解：对、，，都有， 不妨设，由， 则，可得， 也即可得函数在区间上递增； 对任意的恒成立，即， 当时，，故，解得. 因此，实数的取值范围是. 2（2023上海高二课时练习）不等式对都成立，则取值范围是 ． 【答案】【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值. 【解】由可得，令，则， 故在上单调递增，因为，，则，则，可得， 即对恒成立， 令，则，由可得， 故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增, 所以，得；故答案为：. 3.(2024河南郑州一模)，恒成立，则正实数的最大值是 ． 【答案】【分析】变形可得在上恒成立，构造 利用导数可得在上单调递增，即等价于，因此可得对恒成立，构造函数并求得其最小值即可得，可得结果. 【解】将变形得；即， 构造函数，可得；令， 则；所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增，所以，即， 所以函数在上单调递增，利用单调性并根据可得， 即可得，即对恒成立，因此即可； 令，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是；故答案为： 4.（2023上海高二课时练习），当时，恒有，则实数t的取值范围 ． 【答案】【分析】将等价转化，利用同构法构造函数，结合多次求导来求实数t的取值范围. 【解】由题意的，即恒成立；设， 则，且，令，则， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增；所以， 所以在恒成立，故在单调递增， 所以恒成立，即，所以恒成立，令，则，， 所以当时，，在递增；当时，，在递减； 所以；所以；故答案为：. 一、填空题 1. (2024·陕西西安·一模)若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可. 【详解】不等式移项可得， 设， 则， 设，则恒成立， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以，使得，① 所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ，代入①可得， 所以，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若存在，使得成立，则实数的最小值为 . 【答案】4 【解析】由在上有解，得在上有解． 设，则， 由得；由得， 故在上为减函数，在为增函数， 所以，故，所以的最小值为4． 3. (2024·陕西西安·一模)若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可. 【解】不等式移项可得，设， 则，设， 则恒成立，所以函数在上单调递减， 因为，所以，使得，① 所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ，代入①可得， 所以，所以实数的取值范围为，故答案为：. 4.（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【详解】，，，， 令，则若关于的不等式有解， 则，， ，则当时，，当时，， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 则，则， 故实数的取值范围是，故答案为：. 5．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】可转化为在上，，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得解 【详解】，，使得成立等价于在上， ． 易得，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为， ∴，即实数的取值范围是． 故答案为： 6.（2023·全国·高二专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意得 ，时，故在上单调递增， ，时，时 故在上单调递增，在上单调递减， ，解得故答案为： 7. (2023·吉林长春·一模)不等式对都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值. 【详解】由可得， 令，则， 故在上单调递增， 因为，，则， 则，可得， 即对恒成立， 令，则， 由可得，故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增, 所以，得. 故答案为：. 8.(2024·河南郑州·一模)，不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】对不等式变形可得在上恒成立，构造函数并利用导数判断可得在上单调递增，即等价于，因此可得对恒成立，构造函数并求得其最小值即可得，可得结果. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得； 令，则； 所以当时，，即在上单调递减； 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得， 即可得，即对恒成立，因此即可； 令，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即， 因此正实数的最大值是. 故答案为： 二、选择题 9.(2023·四川成都·一模)若恒成立，则实数的最大值为(    ) A． B．2 C．1 D． 【答案】D【分析】先确定时的情况；再当时，参变分离构造函数得，求出的最小值即可. 【解】当时，，不等式成立； 当时，恒成立，令，则； 因为:，因为时，(后证) 所以当时，，单调递减，当时，，单调递减， 故，所以，即实数的最大值为. (下面证明)当时，，令，，则， 则在上单调递增，所以，即；故选：D. 10. (2024·广东·模拟)对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，， 则，通过导数研究单调性求出最大值即可. 【解】由不等式恒成立，且，分离参数得， 所以，即，设，得，， 设，，则，由得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以；所以. 11.已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】 ，即.由于对任意恒成立， 所以，即.令，，. 令，， 所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增. 所以. 又，所以. 故选：B. 12.（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解. 【详解】，则， 令，解得或；令， 解得， ， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， 且，故， 任意的，都有成立，则， 因为，则， 当时，在单调递增， 所以， 故，即(舍去)； 当时，令，解得；令， 解得， 故在上单调递减， 在上单调递增， 所以，所以，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围为.故选：A 13.（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，当时，， 函数单调递减，函数的值域是， ，，当时，， 函数单调递增，函数的值域是， 因为，，使得， 所以，解得：， 所以实数a的取值范围是.故选：D 14. (2024·全国·模拟预测)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，构造函数，证明函数的单调性，比较与的大小，从而结合函数值的大小可求出的范围. 【详解】当时，可化为， 令，则，所以在上单调递减． 令，则，所以在上单调递增， 所以，因此当时，． 所以，即．则不等式可化为， 所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为． 故选：A． 【点睛】方法点睛：用导数解决复杂的问题时，常常通过函数的特点选用同构法，判断函数的单调性以及同构中的两个变量的大小，从而解决问题. 15. (2024·全国·模拟预测)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式转化成，根据结构相同设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导确定最值即可得实数的取值范围. 【详解】依题意得，，故， 令，则，令可得， 所以时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增； 且当时，，当时，； 则由，得，则 令，则， 故当时，，单调递减，当时，单调递增， 故，则，则实数的取值范围为. 故选：D． 三、解答题 16.已知函数，其中． ①若函数在处取得极值，求实数a； ②若函数在上恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为函数，定义域为， 且，由函数在处取得极值， 可得，所以，当时，， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以当时，取得极小值，综上所述，. 17．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数（为常数） 1）讨论函数的单调性； 2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）. 【详解】（1）函数定义域是，， 时，恒成立，在上是增函数； 时，时，，递减，时，，递增． （2）即在上恒成立，则， 设，则， 时，，递增， 时，，递减，，所以． 18.（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知． ①讨论的单调性和极值； ②若时，有解，求的取值范围． 【详解】（1）， 当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值； 当时，令 ，得， ，得，函数在区间上单调递减， ，得，函数在区间上单调递增， 当，函数取得极小值， 综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值； 时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值. （2）由题意可知，，时有解， 则，在时有解，即， 设，，， 令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即，所以实数的取值范围是. 19.（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数． ①求的单调区间； ②若对于任意的恒成立，求实数的最小值． 【解析】（1）由定义域为 又 令，显然在单调递减，且； ∴当时，；当时，． 则在单调递增，在单调递减 （2）法一：∵任意的，恒成立， ∴恒成立，即恒成立 令，则． 令，则在上单调递增， ∵，．∴存在，使得 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 由，可得， ∴，又∴，故的最小值是1． 法二： ∴恒成立，即恒成立 令 不妨令，显然在单调递增． ∴在恒成立．令 ∴当时，；当时，即在单调递增 在单调递减∴∴，故的最小值是1． 20.（2021·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）已知函数. ①当时，求的单调区间与极值； ②若在上有解，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值. （2）因为在上有解，所以在上有解， 当时，不等式成立，此时， 当时在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 21.已知函数. ①当时，求的最小值； ②若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，则 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． （2）由题意可得． 当时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 因为不等式恒成立，所以，解得． 当时，，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 22.（2023·全国·高三专题练习）已知函数. ①当时，讨论的单调性； ②设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【详解】(1)由题意知，， 令，当时，恒成立， ∴当时，，即；当时，，即； ∴函数在上单调递增，在上单调递减.   (2)因为 ， 由题意知，存在，使得成立. 即存在，使得成立； 令， ， ①当时，对任意，都有， ∴函数在上单调递减， 成立，解得，； ②当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，解得无解； ③当时，对任意的，都有， ∴函数在上单调递增， ，不符合题意，舍去； 综上所述，的取值范围为. 23.(2024·全国·模拟预测)已知函数． (1) 若的零点也是其极值点，求； (2)若对所有成立，求的取值范围． 【分析】(1)求导，分类讨论判断函数单调性求得极值点即可求解； (2)注意到，讨论，及三种情况，说明函数值与0的大小关系即可求解. 【解】(1)，， 若，则，在单调递减，无极值点，不合题意； 若，，则 故在上单调递减，在上单调递增，故 因为的零点也是其极值点，则，设，， 则故在上单调递增，在上单调递减， 且易知，故有唯一解；此时的零点和极值点均为0，符合题意；故. (2)首先注意到，，， ①若，则在时恒成立，故单调递减， 则对所有，，不满足题意，故舍去； ②若，则时,；当时, ； 故在上递减，在上递增，则，不满足题意，故舍去； ③若，则在时恒成立 所以在上单调递增，则对所有，，符合题意，该情况成立． 综上所述，的取值范围是． 24.（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为. ①若，求a，b； ②若在上恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）∵，∴，∴，即， ∵点在切线上，∴切点坐标为，即， ∴，∴， ∵，∴，. （2）由（1）可知，，∴. 设，则在上恒成立，∴， ，，， 当时，在上恒成立，∴在上单调递减，∴，不合题意； 当时，， 若，则在上恒成立，∴在上单调递减，∴，不合题意； 若，则，在上恒成立，∴在上单调递增，∴，符合题意； 若，则，当时，，在上单调递减，此时，不合题意. 综上，的取值范围是. 25.（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． ①讨论函数的单调性； ②若在区间上有解，求实数的取值范围． 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 26.（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为. ①求实数的值； ②若存在，满足，求实数的取值范围. 详解：（1）函数的定义域为， ∵，∴.∴，又, ∴所求切线方程为，即. 又函数在点处的切线方程为，∴. 所以实数的值为. （2）由题意得，所以问题转化为在上有解. 令，，则 . 令，则当时，有. 所以函数在区间上单调递减，所以. 所以，所以在区间上单调递减. 所以.所以实数的取值范围为. 27.（2023·全国·模拟预测）已知函数． ①若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值； ②若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由曲线在处的切线方程为，得，解得，， 所以，. （2）当时，函数，求导得， 当时，，即函数在上单调递减， 不妨设，则，， 不等式恒成立，即恒成立， 则恒成立，设， 于是，恒成立 则在上单调递增，于是在上恒成立， 即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此， 所以m的取值范围为． 28．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可； （2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得 【详解】（1）由题意知 则曲线在处的切线方程为 （2）不妨设，则 则设，可知在上严格递增 则恒成立 则 设 则当时，单调递增，当时，单调 递减，则 则实数的取值范围为. 29．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解； （2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 【详解】解：（1）当时，由已知得， 所以，令得， 即时，；时，； 故单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由得，所以在单调递减， 设从而对任意， 恒有， 即， 令，则等价于在单调递减， 即恒成立，从而恒成立， 故设， 则 ， 当时，为减函数， 时，，为增函数. ∴, ∴a的取值范围为. 【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证． 30．（2023·高二课时练习）已知函数，. (1)令，求的最小值； (2)若对任意，且，有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出，进而得到的单调性，即可求解的最小值； （2）由条件可得在为单调递增函数，即，分离参数得到恒成立，即可求解实数的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴， ∵，∴， ∴由得，由得， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴. （2）因为对任意，且，有恒成立， 所以令，则在上为增函数， ∴， ∵， ∴，即， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$