5.3导数的应用（第3课时）利用导数研究函数的最值和二次函数（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 5.3导数的应用（第3课时）利用导数研究函数的最值和二次函数 1 在许多理论和现实的问题中 ， 常常需要求函数的 最大值 或者最小（ 统称为最值 ）．最值反映了函数在定义域上整体的情况 ，而极值则仅考虑函数在某点附近的局部特征 ． 有时最值和极值是一致的 ， 如函数 y＝ｓｉｎx ； 但有时却不一致 ， 如图 ５-３-２ 所示的函数 ． 当然 ， 一个函数的极值与最值可能都不存在 ， 如函数 ． 但是 ， 如果考虑一个在闭区间上的连续函数 ， 函数的最大值与最小值一定存在 ． 利用导数研究函数的最值 上面所说的一个区间 I上的连续函数 ， 可以直观地理解为在区间 I上图像为一条连绵不断的曲线的函数 ． 更精确及普适的连续函数的定义 ， 要用到严格的极限语言 ， 在高等数学中才能给出 ． 解 　 由本节例 ６ 可知 ， 函数 的驻点为 x ＝３ ，比较 f（ ３ ） ＝８ ， f（ ０ ） ＝－１ ， f（ ７ ） ＝－８ ， 可知该函数在 ［ ０ ， ７ ］ 上的最大值是 ８ ， 最小值是 －８ ， 如图 ５-３-３ 所示 在例 ９ 中 ， 我们对驻点处与区间两端点处的函数值进行比 较 ， 其中最大的就是最大值 ， 最小的就是最小值 ． 在导数存在的前提下 ， 闭区间上的连续函数的最值原则上都可以按照这样的方法求出 ． 利用导数研究二次函数 知道了该函数的单调区间之后 ， 结合函数的零点 ， 就可以解决相应的不等式问题 ． 当 Δ≤０ 时 ， 该不等式的解集为 Ｒ． 这就很方便地得到必修课程 第 ２ 章中的相应结论 ． 课本练习 宋老师数学精品工作室 １． 判断下列说法是否正确 ， 并说明理由 ： （ １ ） 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 ； （ ２ ） 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 ； （ ３ ） 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 ； （ ４ ） 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值 ． 宋老师数学精品工作室 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1、函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上（ ） A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A； 【解析】由f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值； 2、函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1，1]上的最大值为________ 【答案】－6； 【解析】因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0， 所以，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增， 则，当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6； 宋老师数学精品工作室 3、函数y＝f(x)在区间[a，b]严格单调上的最大值是M，最小值是m， 若M＝m，则f′(x)= 【提示】注意：理解求导与最值的关联； 【答案】0； 【解析】由函数y＝f(x)在区间[a，b]严格单调与M＝m； 所以，函数为常值函数，则f′(x)=0； ４、二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C； 【解析】因为y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限； 5、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售， 可卖出(200－x)件，当每件商品的售价为________元时，利润最大 【答案】115； 【解析】利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大； 6、某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是 h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是 m/h 【答案】400 m/h； 【解析】因为，h′＝－200t＋800，所以，当t＝2 h时， h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)； ７、如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像；结合图像，解答： （1）试说明y＝f(x)的极值． （2）你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ （3）根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点