导数中的切线方程问题拓展讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

切线方程拓展 题型一：已知切线方程斜率求参 1 知识点梳理： 1 题型演练： 1 题型一：切线的条数问题 4 知识点梳理： 4 题型演练： 4 题型二：公切线问题 8 知识点梳理： 8 题型演练： 8 题型三：切线方程最值问题 13 知识点梳理： 13 题型演练： 14 切线方程拓展 题型一：已知切线方程斜率求参 知识点梳理： 已知切线斜率求参数 解题方法已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 题型演练： 例题1：已知，其中，且，则 ． 【答案】2 【分析】利用可得答案. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：2． 例题2：已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 例题3：直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 练习1：若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】由题可得曲线在处的切线，然后设切线与曲线相切的切点为，利用两条切线相同可得答案. 【详解】设，则，， 所以曲线在点处的切线方程为, 化为． 设，则， 又设切线与曲线相切的切点为， 由题，得，解得，则切点为． 因为切点在切线上，则． 故答案为： 练习2：设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 练习3：已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线 ，则，直线 斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为 为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则 取最小值为9. 故答案为：9. 变式1：若直线是指数函数（且）图象的一条切线，则底数 . 【答案】或 【分析】设切点坐标为，根据题意只需满足，，然后求解方程组得出的值. 【详解】设切点坐标为，函数，求导， 切线方程化成斜截式为 由题设知，显然，即 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或 即或，解得或 故答案为：或 题型一：切线的条数问题 知识点梳理： 切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 题型演练： 例题1：经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 例题2：若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先设切点为，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解. 【详解】设切点坐标为：，， 所以切线斜率为， 即切线方程为， 又切线过坐标原点，所以， 整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解， 所以，解得 故答案为： 练习1：已知函数，过点有两条直线与曲线 相切，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】由，得， 设切点为，则 切线方程为：． 因为过点有两条直线与曲线 相切， 所以有两根，即有两根． 令，则， 令即解得； 令即解得； 在递减，在递增． 当时，取得极小值也为的最小值， 所以， 故实数m的取值范围是． 故答案为：. 练习2：若曲线有两条过的切线，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案． 【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为 因为，所以切线方程为：． 又切线过，则，即 则由题可知函数图象与直线有两个交点， 由得，由得 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，又，，，． 据此可得大致图象如下．    则由图可得，当时，曲线有两条过的切线． 故答案为：. 练习3：已知直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【分析】令，切点为，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意即可得出答案. 【详解】由题意知，令，则， 设切点为，则， 故切线方程可表示为：， 即， 则，解得：， 所以. 故答案为：. 题型二：公切线问题 知识点梳理： 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下 3 类题型 （1）求 2 个函数的公切线 解题方法：设 2 个切点坐标，利用切线斜率相同得到 3 个相等的式子，联立求解 （2）2 个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设 2 个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 （3）已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设 2 个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 题型演练： 例题1：若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】设切点分别为，，分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，且，即得解. 【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：，即； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，且， 消去得，故或， 所以直线l的方程为：或． 故答案为：或. 例题2：若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【分析】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点． 对于函数，则， 解得或（舍去）． 所以，即． 对于函数， 则， 整理得，所以，故． 故选：C.: 例题3：若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 练习1：若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】设切点分别为，，分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，且，即得解. 【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：，即； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，且， 消去得，故或， 所以直线l的方程为：或． 故答案为：或. 练习2：若直线是曲线与的公切线，则（    ） A． B．1 C． D．2022 【答案】A 【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，联立切线方程可得答案.. 【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，， 由点在切线上，得切线方程为； 由点在切线上，得切线方程为， 故，解得， 故. 故选：A. 练习3：若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 练习4：若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，上的切点分别为，， 由，，可得， 故在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 由已知, 所以， 故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为. 故答案为：. 练习5：设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求. 【详解】由已知得，解得， 又， 所以得， 所以， 所以. 故答案为：2 题型三：切线方程最值问题 知识点梳理： （1） 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 解题方法：把直线平移与曲线相切，求出切线方程，切线方程与直线方程间的距离即为最小值 （2） 直线方程与曲线方程横坐标相同，找纵坐标差值最小值 解题方法：把直线平移与曲线相切，求出切线方程，切线方程与直线方程的垂直距离即为最小值 （3）直线方程与曲线方程纵坐标一致，找横坐标差值最小值 解题方法：把直线平移与曲线相切，求出切线方程，切线方程与直线方程的水平距离即为最小值 题型演练： 例题1：已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出曲线（）和直线的图象，将所求距离问题转化为两平行线距离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标. 【详解】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示    若使得取最小值， 则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得， 又，解得． 故选：C 例题2：对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】通过构造函数，利用导数分别求和的最小值即可. 【详解】设函数，定义域为R，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 最小值为， 所以当时，有最小值1； 设函数，定义域为，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 最小值为， 所以当时，有最小值1， 不等式恒成立，则有， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例题3：设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得． 【详解】由题可设，，则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线导数，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解. 练习1：曲线上的点到直线的距离的最小值为 【答案】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】的定义域为， 求导得，令，解得，则，故切点坐标为， 故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为. 故答案为： 练习2：已知函数，若且，则最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，求导得到与相切并且与平行的直线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】   由得，令得，得切点坐标， 则可得切线方程为，即， 再令，得，于是符合题意的，因此：． 故答案为：.: 练习3：设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，进而，表示到的距离平方，结合导数的几何意义求出即可. 【详解】由题意知，设， 由，得， 得，即， 所以， 即， 表示点到点的距离平方， 其中在曲线上，在直线上， 的最小值为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离. 设切点，则， 解得，即切点为，所以， 则，得， 即点M到原点O的距离最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将问题转化为点到点的距离平方的最小值，利用导数的几何意义求解即可. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 切线方程拓展 题型一：已知切线方程斜率求参 1 知识点梳理： 1 题型演练： 1 题型一：切线的条数问题 2 知识点梳理： 2 题型演练： 2 题型二：公切线问题 4 知识点梳理： 4 题型演练： 4 题型三：切线方程最值问题 7 知识点梳理： 7 题型演练： 7 切线方程拓展 题型一：已知切线方程斜率求参 知识点梳理： 已知切线斜率求参数 解题方法已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 题型演练： 例题1：已知，其中，且，则 ． 例题2：已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 例题3：直线与曲线相切，则 ． 练习1：若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 练习2：设，函数在处的切线方程为，则 . 练习3：已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 变式1：若直线是指数函数（且）图象的一条切线，则底数 . 题型一：切线的条数问题 知识点梳理： 切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 题型演练： 例题1：经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 例题2：若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为 . 练习1：已知函数，过点有两条直线与曲线 相切，则实数的取值范围是 ． 练习2：若曲线有两条过的切线，则的范围是 ． 练习3：已知直线与曲线相切，则实数 ． 题型二：公切线问题 知识点梳理： 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下 3 类题型 （1）求 2 个函数的公切线 解题方法：设 2 个切点坐标，利用切线斜率相同得到 3 个相等的式子，联立求解 （2）2 个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设 2 个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 （3）已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设 2 个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 题型演练： 例题1：若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 例题2：若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 例题3：若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 练习1：若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 练习2：若直线是曲线与的公切线，则（    ） A． B．1 C． D．2022 练习3：若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 练习4：若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 . 练习5：设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 题型三：切线方程最值问题 知识点梳理： （1） 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 解题方法：把直线平移与曲线相切，求出切线方程，切线方程与直线方程间的距离即为最小值 （2） 直线方程与曲线方程横坐标相同，找纵坐标差值最小值 解题方法：把直线平移与曲线相切，求出切线方程，切线方程与直线方程的垂直距离即为最小值 （3）直线方程与曲线方程纵坐标一致，找横坐标差值最小值 解题方法：把直线平移与曲线相切，求出切线方程，切线方程与直线方程的水平距离即为最小值 题型演练： 例题1：已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 例题2：对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 例题3：设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 . 练习1：曲线上的点到直线的距离的最小值为 练习2：已知函数，若且，则最小值是 ． 练习3：设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$