4.3【专题】全等三角形中的探究型问题 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 【专题】全等三角形中的探究型问题 本专题用于总结与训练《第四章 三角形（北师大2024新版）》中全等三角形的探究型问题。4.3的3份课时同步作业中已出现反映本专题模型的题目，可以在学习中对照使用。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 本专题所涵盖这类问题往往难度较大，分布在各类试卷的压轴题部分。同时，这类题型也往往与已学知识进行相互勾连，形成完整的考查链路。这类题型往往是中等成绩向高分、满分成绩冲刺的拦路虎，但一旦突破，就能够极大培养学生的数学素养，形成完备的数学思维能力，为高中阶段的数学学习打下坚实基础。 本专题包含四类问题：运动型问题（动点、动线、动角等）、开放型问题、存在型问题和猜想型问题。每种题型附有一道经典例题，以及三道难度梯次上升的变式题。 【答题注意事项】由于这类问题所涉及的条件众多，因此在答题时应当在图中标注已知条件，如相等边、角等，避免遗漏隐含条件（如对顶角、公共边），然后再根据问题类型选择合适发添加辅助线方法（如作垂线、平行线、倍长中线、截长补短等）。 【题型1】运动型问题 运动型问题的主要题型包括： （1）动态几何中三角形全等的判定（如平移、旋转、翻折后全等）； （2）动点问题中线段或角度关系的证明（如点运动过程中保持全等条件）。 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）分类讨论：根据动点位置分情况讨论（如在线段上、延长线上）。 （2）对应关系：分析运动前后对应边、角的变化，利用全等性质（如SSS、SAS）建立等量关系。 （3）通过时间t列方程：用时间表示线段长度，列方程求解（如通过速度计算运动时间） 【典例】如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点返回点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)试说明：； (2)写出线段的长（用含的式子表示）； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长为或 (3)当线段经过点时，的值为1或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定及一元一次方程的应用等知识，证明三角形全等是正确解题的关键． （1）由证明，得，根据平行线的判定定理即可得出结论； （2）由得到，分两种情况列代数式即可得答案； （3）先证明，得，分两种情况列方程并解方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ， 所以． （2）解：分两种情况：①当时，； ②当时，， ． 综上所述，线段的长为或． （3）解： ，，， ， ． 分两种情况：①当时，，解得； ②当时，，解得． 综上所述，当线段经过点时，的值为1或2． 【变式1】如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 【答案】2或3 【难度】0.65 【分析】本题考查全等三角形性质，代数式表示．根据题意利用与全等分两种情况讨论，①当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可；②当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵与全等， ①当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：； ②当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵，， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∴，解得：， 综上所述：的值是2或3， 故答案为：2或3． 【变式2】如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 s时，． 【答案】3或7 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，注意分类讨论．分两种情况：当点F在射线上时，当点F在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点F在射线上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F运动时间为． 当点F在射线上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F运动时间为． 综上分析可知：点运动或时，． 故答案为：3或7． 【变式3】如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 【答案】或或或 【难度】0.4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想是解题的关键． 分四种情况讨论：①当在线段上，时；②当在上，时；③当在线段上，时；④当在上，时；分别画出图形解答即可． 【详解】解：分四种情况讨论： ①当在线段上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ②当在上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ③当在线段上，时， 则， 这时在点未动，因此运动时间为秒； ④当在上，时， 则， ， ∴点的运动时间为（秒； 综上，当点运动或或或秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等， 故答案为：或或或． 【题型2】开放型问题 开放型问题的主要题型包括： （1）条件开放，即给出部分条件，补充其他条件使三角形全等（如补充一个条件）； （2）结论开放，即给定全等条件，探索可能的结论（如证明线段相等或角相等）。 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）灵活选择判定定理：根据已知条件选择SSS、SAS等（如利用公共边或角）； （2）逆向思维：从结论反推所需条件（如要证边相等，先找包含边的全等三角形）； （3）多解验证：注意SSA和AAA不能作为判定依据（需排除不成立的情况）。 【典例】如图，点在上，，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 ． 【答案】（答案不唯一）．． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 已知，，可以从添加角或者边的条件，得到全等三角形． 【详解】解：添加，理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③，其中能判定的条件个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则有，即，所以根据“”判定； 当添加时，则不能判定； 综上符合条件的有①②，共2个； 故选C． 【变式2】如图为等边三角形，直线，D为直线上任一动点，将一角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． (1)如图1，若D恰好在的中点，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D为直线上任一点，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】（1）根据题意得出，进而可证得，从而可判断出结论． （2）在上取点F，使，连接，从而证得，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵，且为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， 又， ∴是等边三角形； （2）成立，理由如下： 在上取点F，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，注意基本性质的掌握及熟练应用是解答本题的关键． 【变式3】同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90°，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题． （1）发现，如图1，已知等腰直角△ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF＝7，AE＝3，则EF＝　 　； （2）探索：如图2，已知等腰直角△ABC，点E是内部一点，且CE＝4，AE垂直CE，连接BE，求△BCE的面积； （3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC为边在直线BC与点A同侧的位置作等腰直角△BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由． 【答案】（1）4；（2）8；（3）AE=BE，理由见解析 【分析】（1）由“AAS”可证△ACE≌△CBF，可得AE=CF=3，CE=BF=7，即可求解； （2）由“AAS”可证△ACE≌△BCF，可得CE=BF=4，由三角形的面积公式可求解； （3）由“AAS”可证△BDE≌△DCF，可得DF=BE，CF=DE，由等腰直角三角形的性质可得AE=EH，HF=CF=DE，由线段的和差关系可得结论． 【详解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°， ∵AE⊥CE，BF⊥CE， ∴∠E=∠BFC=90°， ∴∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCF， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE=CF=3，CE=BF=7， ∴EF=CE-CF=4， 故答案为：4； （2）如图2，过点B作BF⊥CE，交CE的延长线于点F， ∴∠BFC=∠AEC=∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°=∠ACE+∠CAE， ∴∠CAE=∠BCF， 又∵AC=BC， ∴△ACE≌△BCF（AAS）， ∴CE=BF=4， ∴S△BCE=×CE×BF=8； （3）AE=BE， 理由如下：如图3，延长DE，AC交于点H，过点C作CF⊥DH于点F， ∵CF⊥DH，DE⊥AB， ∴∠CFD=∠DEB=∠CDB=90°， ∴∠CDF+∠BDE=90°=∠DBE+∠BDE， ∴∠CDF=∠DBE， 又∵CD=BD， ∴△BDE≌△DCF（AAS）， ∴DF=BE，CF=DE， ∵∠A=45°，DH⊥AB， ∴∠A=∠H=45°， ∴AE=EH，∠H=∠HCF=45°， ∴HF=CF=DE， ∴AE=EH=EF+CH=EF+CF=EF+DE=DF， ∴AE=BE． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【例3】存在型问题 存在型问题的主要题型包括： （1）探究是否存在点使两个三角形全等。 （2）结合几何图形分析全等的可能性。 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）全等模型：利用平移、对称等基本模型确定对应关系（如分类讨论点的位置）； （2）验证解：检查解的合理性（如是否在图形范围内） 【典例】如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5 （1）PC＝ cm（用含t的代数式表示） （2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=2或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等． 【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可； （2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s， ∴ts后BP=2tcm， ∴PC=BC−BP=(10−2t)cm， 故答案为：(10﹣2t)； （2）由题意得：，∠B=∠C=90°， ∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况， 当△ABP≌△PCQ时， ∴AB=PC，BP=CQ， ∴10−2t=6，2t=vt， 解得，t=2，v=2， 当△ABP≌△QCP时， ∴AB=QC，BP=CP， ∴2t=10-2t， vt=6， 解得，t=2.5，v=2.4， ∴综上所述，当v=2或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 【变式1】如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 【变式2】问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，，则：． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图1，连接边上中线，由于，易得结论：为等边三角形；与之间的数量关系为 ． (2)如图2，为中点，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． (3)当点为边延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识； （1）根据中线的性质，以及含度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）结论：．证明即可得出，；进而即可求解； （3）当点为边延长线上任意一点时，，同（2）的方法证明即可求解． 【详解】（1）如图1中， ， ，． 是的中线， ， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图中，是中线，连接． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）当点为边延长线上任意一点时，．理由如下： 连接，如图③，是中线，连接． ，都是等边三角形， ，，， ，即， 则， ， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为，与相交于点，连结．设运动时间为．解答下列问题： (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)设四边形的而积为，求与之间的关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t=1.5 (3) (4) 【分析】（1）先根据题意证明四边形为矩形，然后根据矩形性质得出； （2）先证明，根据，求出AH，即可求出BE，得出答案即可； （3）根据题意用t表示出，，分两种情况，点F在点H左侧或点F在点H右侧，表示出S与t关系式即可； （4）分四边形BEFH为平行四边形或四边形BEHF为平行四边形两种情况分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， 即DH的长度为． （2）∵， ∴CE=AH， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， 四边形为矩形， ∴， ， 当点F在点H左侧时，如图所示： ， ； 当点F在点H右侧时，如图所示： ， ； 综上分析可知，． （4）∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 当四边形BEFH为平行四边形时，根据解析（3）可知，此时BE=2t，， ∴，解得：； 当四边形BEHF为平行四边形时，根据解析（3）可知，此时BE=2t，， ∴，解得：， ∵， ∴舍去； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，平行四边形的性质，解题的关键是注意进行分类讨论． 【例4】猜想型问题 猜想型问题的主要题型包括： （1）观察图形或条件，猜想全等关系并证明（如通过旋转猜想全等）； （2）半角模型或倍长中线等特殊构造的猜想； 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）归纳共性：从特殊到一般，总结图形中的不变关系（如旋转后对应边相等）； （2）构造辅助线：通过截长补短、倍长中线等方法构造全等三角形（如延长线段）； （3）逻辑证明：严格依据全等判定定理验证猜想 【典例】综合与实践 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）EF＝AE+BF；（2）EF＝AE﹣BF，证明见解析；（3）EF＝BF﹣AE 【分析】（1）通过“”证明，即可求解； （2）通过“”证明，得到、，即可求解； （3）通过“”证明，得到、，即可求解 【详解】解：（1）EF＝AE+BF； 证明如下：∵ ∴ 由题意得：， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴、 又∵ ∴ （2）EF＝AE﹣BF ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥m，BF⊥m， ∴∠AEC＝90°，∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠FCB， 又∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF； （3）EF＝BF﹣AE ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥m，BF⊥m， ∴∠AEC＝90°，∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠FCB， 又∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 【变式1】如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过“”证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）分两种情况：当点D是的延长线上的一点时，或当点D是线段上的一点时，由，则，由线段的和差即可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：或，理由如下： 当点D是的延长线上的一点时， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点D是线段上的一点时， 如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1) (2)猜想，证明见解析 (3)，，证明见解析 (4) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系； （1）延长到M，使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中根据全等三角形的性质可得，，则； （3）延长到M，使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明得到，，再根据线段的和差关系和角之间的关系即可得到结论； （4）过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到；同理可证明，得到，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即 ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，证明如下： 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：， ，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴（周角的定义）， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ， ∴； 同理可证明， ∴， ∴． 【变式3】如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论； （2）利用证明即可证明结论； （3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴平分，平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，   ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 【专题】全等三角形中的探究型问题 本专题用于总结与训练《第四章 三角形（北师大2024新版）》中全等三角形的探究型问题。4.3的3份课时同步作业中已出现反映本专题模型的题目，可以在学习中对照使用。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 本专题所涵盖这类问题往往难度较大，分布在各类试卷的压轴题部分。同时，这类题型也往往与已学知识进行相互勾连，形成完整的考查链路。这类题型往往是中等成绩向高分、满分成绩冲刺的拦路虎，但一旦突破，就能够极大培养学生的数学素养，形成完备的数学思维能力，为高中阶段的数学学习打下坚实基础。 本专题包含四类问题：运动型问题（动点、动线、动角等）、开放型问题、存在型问题和猜想型问题。每种题型附有一道经典例题，以及三道难度梯次上升的变式题。 【★数学技巧】由于这类问题所涉及的条件众多，因此在答题时应当在图中标注已知条件，如相等边、角等，避免遗漏隐含条件（如对顶角、公共边），然后再根据问题类型选择合适发添加辅助线方法（如作垂线、平行线、倍长中线、截长补短等）。 【题型1】运动型问题 运动型问题的主要题型包括： （1）动态几何中三角形全等的判定（如平移、旋转、翻折后全等）； （2）动点问题中线段或角度关系的证明（如点运动过程中保持全等条件）。 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）分类讨论：根据动点位置分情况讨论（如在线段上、延长线上）。 （2）对应关系：分析运动前后对应边、角的变化，利用全等性质（如SSS、SAS）建立等量关系。 （3）通过时间t列方程：用时间表示线段长度，列方程求解（如通过速度计算运动时间） 【典例】如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点返回点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)试说明：； (2)写出线段的长（用含的式子表示）； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【变式1】如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 【变式2】如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 s时，． 【变式3】如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 【题型2】开放型问题 开放型问题的主要题型包括： （1）条件开放，即给出部分条件，补充其他条件使三角形全等（如补充一个条件）； （2）结论开放，即给定全等条件，探索可能的结论（如证明线段相等或角相等）。 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）灵活选择判定定理：根据已知条件选择SSS、SAS等（如利用公共边或角）； （2）逆向思维：从结论反推所需条件（如要证边相等，先找包含边的全等三角形）； （3）多解验证：注意SSA和AAA不能作为判定依据（需排除不成立的情况）。 【典例】如图，点在上，，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 ． 【变式1】如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③，其中能判定的条件个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】如图为等边三角形，直线，D为直线上任一动点，将一角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． (1)如图1，若D恰好在的中点，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D为直线上任一点，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【变式3】同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90°，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题． （1）发现，如图1，已知等腰直角△ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF＝7，AE＝3，则EF＝　 　； （2）探索：如图2，已知等腰直角△ABC，点E是内部一点，且CE＝4，AE垂直CE，连接BE，求△BCE的面积； （3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC为边在直线BC与点A同侧的位置作等腰直角△BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由． 【例3】存在型问题 存在型问题的主要题型包括： （1）探究是否存在点使两个三角形全等。 （2）结合几何图形分析全等的可能性。 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）全等模型：利用平移、对称等基本模型确定对应关系（如分类讨论点的位置）； （2）验证解：检查解的合理性（如是否在图形范围内） 【典例】如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5 （1）PC＝ cm（用含t的代数式表示） （2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式2】问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，，则：． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图1，连接边上中线，由于，易得结论：为等边三角形；与之间的数量关系为 ． (2)如图2，为中点，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． (3)当点为边延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为，与相交于点，连结．设运动时间为．解答下列问题： (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)设四边形的而积为，求与之间的关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【例4】猜想型问题 猜想型问题的主要题型包括： （1）观察图形或条件，猜想全等关系并证明（如通过旋转猜想全等）； （2）半角模型或倍长中线等特殊构造的猜想； 这类问题主要有以下几种答题思路： （1）归纳共性：从特殊到一般，总结图形中的不变关系（如旋转后对应边相等）； （2）构造辅助线：通过截长补短、倍长中线等方法构造全等三角形（如延长线段）； （3）逻辑证明：严格依据全等判定定理验证猜想 【典例】综合与实践 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【变式1】如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【变式2】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【变式3】如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$