精品解析：福建省福州外国语学校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

福州外国语学校2024—2025学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷 命题人：陈沂、陈锦煌 审题人：高二数学集备组 （全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟） 班级_______座号_______姓名_______ 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名． 考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答， 请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一质点在单位圆上做匀速圆周运动，其位移满足的方程为，其中h表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s），则质点在时的瞬时速度为（ ） A. sin2 m/s B. cos2 m/s C. 2sin2 m/s D. 2cos2 m/s 2. 已知随机变量的分布如下表所示，则等于 A. 0 B. －0.2 C. －1 D. －0.3 3. 已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的最大值为 C. 的一个极大值点为 D. 的一个减区间为 4. 国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ） A. 240种 B. 188种 C. 144种 D. 120种 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. 21 C. 15 D. 9 7. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则( ) A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知，则（ ） A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项 C. 此二项展开式的二项式系数和为64 D. 10. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 11. 如图数表的构造思路源于杨辉三角，该表由若干行数字组成，每一行最左与最右的数字均为2，其余的数字都等于其“肩上”的数字之积．记第i行从左往右第j个数字为a，，则（ ） A. B. C. 该数表中第9行的奇数项之积等于偶数项之积 D. 存在j，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 已知函数的图象在点处的切线方程为______. 14. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为.若从个取法和个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数. （1）当时，求函数在的最小值和最大值； （2）讨论函数的单调性. 16. 某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算与的相关系数； （3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若任意且，都有成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州外国语学校2024—2025学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷 命题人：陈沂、陈锦煌 审题人：高二数学集备组 （全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟） 班级_______座号_______姓名_______ 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名． 考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答， 请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一质点在单位圆上做匀速圆周运动，其位移满足的方程为，其中h表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s），则质点在时的瞬时速度为（ ） A. sin2 m/s B. cos2 m/s C. 2sin2 m/s D. 2cos2 m/s 【答案】D 【解析】 【分析】求出可求质点在时的瞬时速度，从而可得正确的选项. 【详解】因为，所以， 所以质点在时的瞬时速度为2cos2 m/s． 故选：D. 2. 已知随机变量的分布如下表所示，则等于 A. 0 B. －0.2 C. －1 D. －0.3 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题目条件求出值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案． 【详解】由题可得得， 则由离散型随机变量的期望公式得 故选B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望公式，属于一般题． 3. 已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的最大值为 C. 的一个极大值点为 D. 的一个减区间为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由于只有的部分图象，在更远处并不知道的正负，故A错误；对于B，由极大值和最大值的关系可判断； 对于C，由极值点的定义可判断；对于D，由导函数正负与原函数单调性的关系可判断. 【详解】对于A，由于只有的部分图象，不能保证时，恒成立，故A错误； 对于B，由图象知是的一个极大值，但不一定是的最大值，故B错误； 对于C，在的左右两侧，由负变正，由极小值点的定义可知，是的极小值点，故C错误； 对于D，当时，，故的一个减区间为，故D正确. 故选：D. 4. 国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 5. 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ） A. 240种 B. 188种 C. 144种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. 21 C. 15 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求解对应项系数即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 当时，含有的系数为，当时，含有的系数为， 综上，原式展开式中的系数为，故D正确. 故选：D 7. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知则在区间上恒成立，分离变量得， 则，利用辅助角公式或者导数都可求出在区间上的最大值，由此可得答案. 【详解】由题干可得，若函数在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，因为，所以只需， 即只需恒成立，令， 由辅助角公式可知，由，得， 因为余弦函数在上单调递减，在单调递增， 且时，，时，， 故在上的最大值为，故. 故选：B. 8. 已知，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于a和c，可构造函数，利用导数判断其单调性即可判断a、c大小；，可构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小． 【详解】①令， 令， ， 当时，单调递增， 又，∴，又， ∴在成立，∴，即； ②令，则， 在时，，则为减函数， ∴，即； ③令，则， 故在为减函数， ∴，即； ∴， 令，则， 即，∴，∴． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项 C. 此二项展开式二项式系数和为64 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】写出展开式的通项可判断A；分别求出即可判断B；由二项式系数和为可判断C；当，时代入可判断D. 【详解】展开式的通项为，. 对于A，当时，，故A错误； 对于B，若二项展开式系数最大，则为偶数， ，， 故此二项展开式系数最大的项为第5项，故B错误； 对于C，此二项式展开式的二项式系数和为，故C正确； D：令，， 令，，所以，故D正确； 故选:CD. 10. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的含义判断A；根据条件概率公式求出的值，判断B；根据对立事件的概率计算，判断C；根据并事件的概率计算，判断D. 【详解】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，A错误； 对于B，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个， 故，, 则，，即，B正确， 对于C，，C正确； 对于D，，D错误， 故选：BC 11. 如图数表的构造思路源于杨辉三角，该表由若干行数字组成，每一行最左与最右的数字均为2，其余的数字都等于其“肩上”的数字之积．记第i行从左往右第j个数字为a，，则（ ） A. B. C. 该数表中第9行的奇数项之积等于偶数项之积 D. 存在j，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所给数据改写成幂的形式，可知幂指数构成杨辉三角，利用其性质，结合组合数的运算逐项分析求解即可. 【详解】将表中的数字写成幂的形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”． 选项A：该数表中第8行第2个数的指数为，故第8行第2个数为，A正确； 选项B：根据数表，B错误； 选项C：该数表中第9行的奇数项的指数之和为；偶数项的指数之和为，故第9行的奇数项之积等于偶数项之积，C正确； 选项D：假设存在，由得，，即且，化简得且，得，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 已知函数的图象在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再根据导数几何意义即可求出. 【详解】由， 则，则， 且， 所以函数在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 14. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为.若从个取法和个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用按2个奇数和1个偶数或3个偶数分类选取来满足选取的三个数和为偶数，同理按1个奇数和1个偶数分类选取来满足选取的两个数和为奇数，在分析两次选取不能有重复数字时，则可进行分类分步研究即可求解. 【详解】从中任取3个不同的数，要满足三个数之和为偶数， 第一类：取两个奇数和一个偶数，共有； 第二类：取三个偶数，共有； 所以满足三个数之和为偶数的取法种数有种，即； 从中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数， 则取一个奇数和一个偶数，即种，所以； 若从中任取一个奇数和0时，则从中任取3个数之和为偶数，且与前面取的数不重复，则共有； 若从中任取一个奇数和非0偶数时，则从中任取3个数之和为偶数，且与前面取的数不重复，则共有； 所以这两种取法数字完全不同的概率为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求函数在的最小值和最大值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）的最小值为，最大值2 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后找到函数的极值，再与端点值比大小，即可得到最值； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，， 则， 令得，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 又因为，， 所以的最大值为2， 综上所述，函数在的最小值为，最大值2； 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，在上恒成立，故此时在上为增函数； 当时，令，得， 当时，；当时，， 故此时在上为增函数；在上为减函数， 综上所述，当时，在上为增函数； 当时，在上为增函数；在上为减函数. 16. 某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算与的相关系数； （3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】（1）13；11 （2） （3）可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解； （3）根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【小问1详解】 由题可知，； 【小问2详解】 计算得， 故； 【小问3详解】 由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析； （2）分布列见解析； （3）甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【小问1详解】 甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . 【小问2详解】 乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . 【小问3详解】 因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记事件第天去餐厅，则，，，利用概率的乘法公式可得出的值； （2）利用对立事件的概率公式可得出的值，再利用全概率公式可求得的值； （3）利用全概率公式可得出，再利用构造法可求得的通项公式. 小问1详解】 记事件该同学第天去餐厅，则，，， 由概率乘法公式可得. 【小问2详解】 由对立事件的概率公式可得， 由全概率公式可得. 【小问3详解】 记事件该同学第天去餐厅，则， 由题意可知，，， 由全概率公式可得， 即，则， 所以，数列是以为首项，公比为等比数列， 所以，，故. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解：当时，，． 则，令，解得或， 又因为，所以． 列表如下： x 2 单调递减 极小值 单调递增 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值． 【小问2详解】 解：因，， 所以，， 若对任意且恒成立 不妨令，则 ， 令，只需证明在单调递增， 因为，则， 所以在时恒成立，即，， 令，，则， 因为，所以令，解得，令，解得， 从而在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是． 【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$