精品解析：浙江省R6联盟2024-2025学年高三下学期4月阶段性联考数学试题

绝密★考试结束前 2024 学年第二学期浙江省 R6 联盟阶段性联考 高三年级数学学科 试题 考生须知： 1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 第Ⅰ 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】z＝， 故复数z在复平面内对应的点位于第一象限． 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算以及复数的几何意义，需掌握复数的四则运算，属于基础题. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式求集合A，再由集合的交运算求. 【详解】由题设，，而， 所以. 故选：D 3. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示解方程即可. 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以，，解得． 故选：B． 4. 某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出该圆锥底面圆的半径为r，再利用勾股定理求出母线长，代入表面积公式求解即可. 【详解】由圆锥高为，母线与底面所成的角为，得圆锥底面圆半径， 母线，所以圆锥的表面积. 故选：A 5. 我们知道时，恒成立；时，，时，，某数学研究小组欲研究时，与的大小关系，小组成员经过分析得出结论，存在，当时，，当时，，为更准确地估计，该小组查到如下相关数据：，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，；时， B. 时，；时， C. 时，；时， D. 时， 【答案】B 【解析】 【分析】利用商比较法确定正确答案. 【详解】当时，，， . 在上递增；在上递减. 根据复合函数单调性同增异减可知在上递减. ， ， 所以时，；时，， B选项正确. 故选：B 6. 对于函数和实数m、n．下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，再逐项判断即可. 【详解】解：函数， 所以 故函数为偶函数 又因为为增函数，且时， 当，为增函数，且 所以在上为增函数 又偶函数，故在上为减函数 若，则 对A，由分析知，，则，所以，故A正确； 对B，若，则，当，时，，故B错误； 对C，若，令，，则由分析知，，故C错误； 对D，若，则，所以，故D错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛：当函数是偶函数，且在单调递增时，若，则；当函数是偶函数，且在单调递减时，若，则. 7. 已知函数，且有，，则在区间内至少有（ ）个零点． A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出函数的对称轴和对称中心，根据对称轴和对称中心求出的值，然后判断出的值最小时，周期最大，函数在区间内的零点最少，从而即可求出答案. 【详解】因为，即，所以函数关于点对称， 所以，——① 因为，所以为函数的一条对称轴， 所以，——② 由①②，得，即， 要使在区间内的零点最少，则周期最大，所以的值最小， 又因为，所以， 把代入①，得，即， 又因为，所以或. 当时，，此时在内零点个数为12； 当时，，此时在内零点个数为12. 故选：D. 8. 已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在区间是单调递增函数 【答案】C 【解析】 【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D. 【详解】令，则， 所以，因为当时，， 所以， 令，所以， 即，解得：，故A错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，即 令代换，则，即， 所以，令代换，所以，故B错误； 由将代入， 可得，化简可得， 所以为奇函数，故C正确； 令，则，解得：，，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令，得到，令代换，得到，两式化简即可得出答案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C. 已知经验回归方程为，且，，则 D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的性质可判断A，根据均值与方差的性质可判断B，根据线性回归直线过样本中心可判断C，根据相关指数的含义可判断D. 【详解】对于A，因为随机变量，， 所以，故A正确； 对于B，将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值发生变化而方差不变，故B错误； 对于C，因为经验回归方程为，且，，则，即，故C正确； 对于D，在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在处的切线方程是 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有唯一的零点 D. 函数的最大值为3 【答案】BC 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得切线方程判断A；利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断B、D；C中函数零点问题可以转化为函数的零点问题，利用导数研究其单调性并结合零点存在定理可得出其只有一个零点，进而得出C正确. 【详解】，则， 所以函数在处的切线方程是，即，故A错误； 令，，当时，； 当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增， ，故B正确，D错误； ，等价于 ，令，， 即函数在上单调递增，且， 即函数在上存在唯一零点，即函数有唯一的零点，故C正确； 故选：BC 11. 加斯帕尔蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆的左、右焦点分别为，点均在的蒙日圆上，分别与相切于，则下列说法正确的是（ ） A. 蒙日圆方程是 B. 设，则的取值范围为 C. 长方形的四条边均与椭圆相切，长方形的面积的最大值为14 D. 若直线过原点，且与的一个交点为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，可得A错误；对于B，利用椭圆的定义求出的取值范围可得B正确；对于C，结合长方形的对角线长和基本不等式可得C正确；对于D，根据椭圆的定义以及平面向量数量积的运算律可求出，可得D正确. 【详解】对于A，分别过椭圆的顶点，作椭圆的切线，则两切线的交点在椭圆的蒙日圆上， 故该蒙日圆的半径，即椭圆的蒙日圆的方程为，故A错误；    对于B，由椭圆的定义得， 当且仅当点在的延长线上时取等号， ， 当且仅当点在的延长线上时取等号，所以的取值范围为，故B正确；      对于C，设长方形的长为，宽为，则，所以长方体的面积等于，当且仅当时等号成立，故C正确；  对于D，，则，所以， 由得①， 由得②， 则①②得，解得， 所以，故D正确.      故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，利用平面向量数量积求解向量的长度是解题关键. 第 Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，若和有且仅有一条公切线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】假设切点坐标，利用导数的几何意义可利用，分别表示出的方程，由为公切线可确定方程组，化为一元二次方程后，利用可求得. 【详解】由得：； 由得：； 设与相切于点，与相切于点， 所以的方程为或， 即的方程为或， 所以，则， 所以，解得：， 故答案为： 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线l与y轴交于点M.若，则双曲线C的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出相应图形，利用勾股定理与余弦定理，结合双曲线的定义求得关于的表达式，进而求得双曲线的离心率，从而得解. 【详解】因为，所以在的延长线上，如图， 不妨设，则，，， 由双曲线的对称性可得， 因为，则， 则，解得， 又在中，， 则在中，， 即，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故答案为：. 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，利用，可求得. 【详解】由题知， ， ， ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当，的面积取最小值 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； 【小问2详解】 ①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 16. 如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再运用线面平行的判定定理即可； （2）建立空间直角坐标系，运用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点Q，连接，， 则，且， 又，且 ，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）由四边形为等腰梯形，且，， 可得，，所以，所以. 因为四边形为矩形，所以，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 即，所以. 因为，所以，所以. 则可建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以， 设为平面的法向量， 则，即， 取，则为平面的一个法向量， 又为平面的一个法向量， 所以 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： （1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算； （2）设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 17. 如图，双曲线：虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求取值范围； （ii）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由虚轴及离心率可得，即可得双曲线方程； （2）令，设直线为：，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，.（i）代入，可得，，结合，可得，最后由可得答案；（ii）由，结合，，，可得关于的表达式，然后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题知，解得，双曲线E的标准方程为； 【小问2详解】 令，设直线为：，与联立得，当时， 设，则由韦达定理，及题意可得： 则，，. （i）当时，，， 由，得， 又因为，即， 所以； （ii）由题知，. 因为， 所以，又，， 则， ， 又， 则， 则， 当取得，此时满足题意. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点睛：对于双曲线中所涉及的范围问题，常利用双曲线上点的横坐标范围，判别式，点与双曲线位置关系求解；对于最值问题，常先找到所求量关于某变量的表达式，再利用函数知识或基本不等式求解. 18 设函数，． （1）当时，比较和的大小关系； （2）证明：的图象与的图象关于直线对称； （3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作差法比较大小，设函数，结合导数判断函数单调性，从而比较大小． （2）在函数取点，结合关于直线对称找到对称点，代入函数成立，则得证对称． （3）根据题意设，，其中，通过对称得到对称点，，且在圆上，根据在圆中角的关系推得． 【小问1详解】 设函数，则， ，的符号为符号， ，， 故在上单调递增，， 故，在上单调递增，时，， 故时． 【小问2详解】 证明：设的图象上一点， 则其关于对称的点坐标为， 而，故在的图象上， 故与的图象关于直线对称． 【小问3详解】 证明：不妨设，，其中， 作A关于x轴的对称点，再作关于的对称点， 由对称性，A，，都在圆M上． 设与圆M的交点为P，设x轴与圆M在M右侧的交点为Q，， 则，则，， 由对称，，且， 又，故， 又在图象上，B在图象上，故B在上方，因此． 19. 对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. （1）数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. （2）若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. （3）对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 【答案】（1）5 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用给定定义证明并求值即可. （2）利用给定定义对参数范围进行讨论，求解公比即可. （3）利用给定定义分类讨论求解解析式即可. 【小问1详解】 依题意设数列的通项为， 则，，， ，， 由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数， 故数列为一个1到5连续可表数列， 对于数列，设其通项为，直接计算可知， 该数列的，，，，， 而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到. 【小问2详解】 当准等比数列公比为，，，时， 可以对应构造数列，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，， 其中由（1）可知，，为1到5连续可表数列， 对于最后一个数列，有，， ，，， 而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列， 现在，假设，满足， 数列，，，为一个公比为的1到5连续可表准等比数列， 则可以设， 其中，，为，，的一个排列， 则该数列的连续表出具有的形式， 其绝对值不小于，由于1可以被表出，有，故或， 如果不参与表出1到5，则不包含， 故可提出，即， 由于，必是非零整数， 而， 无法表示这个数字，故的表出有的参与， 如果参与表出1和2，有两种可能， 一是当独立表出，二是与其他若干项一起表出， 若当和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而为1或， 所以与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由独立表出， 所以，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和， 故不大于，不小于4，矛盾.所以不可能成立， 综上的可能取值为 【小问3详解】 我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列， 如果满足，，，的形式， 则其中一项必定为1或，且， 从而当时，任一个进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列. 故，，当时，残片的各项可能取值为， 即，，，，，.由于残片各项一定非负， 则1，2，3，4，5的表出一定没有，，等值参与， 注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值， 而0对这5个数字的表出没有贡献， 故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1，2，4三项 即所挑选的数字应当满足， 故，，从而， 其中表示不超过的最大整数， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题考查求数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得到所要求的解析式即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024 学年第二学期浙江省 R6 联盟阶段性联考 高三年级数学学科 试题 考生须知： 1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 第Ⅰ 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 4. 某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 我们知道时，恒成立；时，，时，，某数学研究小组欲研究时，与的大小关系，小组成员经过分析得出结论，存在，当时，，当时，，为更准确地估计，该小组查到如下相关数据：，，，，，则下列说法正确的是（ ） A 时，；时， B. 时，；时， C. 时，；时， D. 时， 6. 对于函数和实数m、n．下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 7. 已知函数，且有，，则在区间内至少有（ ）个零点． A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在区间是单调递增函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C. 已知经验回归方程为，且，，则 D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在处的切线方程是 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有唯一的零点 D. 函数的最大值为3 11. 加斯帕尔蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆的左、右焦点分别为，点均在的蒙日圆上，分别与相切于，则下列说法正确的是（ ） A. 的蒙日圆方程是 B. 设，则的取值范围为 C. 长方形的四条边均与椭圆相切，长方形的面积的最大值为14 D. 若直线过原点，且与的一个交点为，则 第 Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数和，如果直线l同时是和切线，称l是和的公切线，若和有且仅有一条公切线，则______． 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线l与y轴交于点M.若，则双曲线C的离心率为_______. 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 16. 如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上存在关于直线对称不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 18. 设函数，． （1）当时，比较和的大小关系； （2）证明：的图象与的图象关于直线对称； （3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：． 19. 对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为1到连续可表数列.即1到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示.例如数列2，1，3则，，，，而，，，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列. （1）数列，，，，是否为1到5连续可表数列？若数列，，是一个1到连续可表数列，求的值. （2）若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列，，，为1到5连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值. （3）对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片.记事件“随机挑选区间内的整数（为大于等于2的正整数），该数的进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为，求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$