精品解析：四川省成都市成都外国语学校2025届高三下学期高考模拟（三）数学试题

成都外国语学校高2022级高考模拟试卷（三） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，，则. 故选：A 2. 若复数为纯虚数（），则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出虚数的表达式，即可得出的值. 【详解】由题意，， 在中， ∵z为纯虚数， ∴，解得：， ∴，， 故选：C． 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 5. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可. 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 6. 第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 【答案】C 【解析】 【分析】将4名志愿者分成3组，再分配到3个场地即可. 【详解】依题意，将4人按分成3组有种分法，再将每种分法所得3组分到3个场地有种方法， 所以不同的执勤方案有（种）. 故选：C 7. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 8. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理将边与角的关系进行转化，再利用向量数量积的运算和已知条件建立方程组，求解出和的值，最后计算. 【详解】∵，根据正弦定理知道. 已知，，，可得 因为点是的外心，所以，. 将分别与、作数量积： 又因为，，所以可得方程组： ,解方程组求出、 . 则. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可判断A；利用基本不等式1的代换可求得的最小值可判断B；利用可求最大值可判断C；根据，结合二次函数可求最小值. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； ，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故B错误； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； ， 当时，取得最小值，故D正确. 故选：ACD. 10. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象变换求得的解析式，再根据三角函数奇偶性、对称性、单调性以及零点个数的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，得到函数的图象. 对A：，函数定义域为，又， 故为奇函数，A正确； 对B：，故关于对称，B正确； 对C：当时，，则在单调递增，C错误； 对D： ，当时，则， 故只需考虑，在上的零点个数， 又，结合正弦函数的图象，可知在上共有个零点，D正确. 故选：ABD. 11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，． A. 有最小值，且最小值为整数 B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C. 恰有两个极值点 D. 恰有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导后将看成一个整体，利用进行放缩即可； 对于B,将“严格上凸”和“严格下凸”转化为导函数的单调性，二次求导后即可判断； 对于C，根据导函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断； 对于D，根据函数的单调性，结合零点零点存在定理，即可判断； 【详解】， ， 设，易得：， 所以， 当时，等号成立，故A对; ，，，若恒有，等价于切线一直在割线下方，即单调递增.即函数在区间上“严格下凸”； ，，，若恒有，等价于切线一直在割线上方，即单调递减.即函数在区间上“严格上凸”. 设， ， 易得在为增函数. ， ， 所以存在常数，，使得在上，，单调递减，即单调递减, 在“严格上凸”； 在上，，单调递增，即单调递增,在“严格下凸”. 故B错误； 由B知，在上单调递减, 在上，单调递增 ，， ， 所以恰有两个极值点，故C正确； 由C知，恰有两个极值点，设为，，且， 所以在和单调递减， 单调递增 ，， ， 所以函数在各有一个零点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件求出正八面体的表面积和体积即可计算作答. 【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2， 则正八面体的表面积， 而正八面体可视为两个共底面的， 侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成， 正四棱锥的高， 则正八面体的体积， 于是得， 所以正八面体的体积与表面积之比为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可求得，进而根据双曲线定义及离心率公式求解. 【详解】因为，所以， 又为等腰三角形，所以， 在中，由余弦定理可得，解得． 因为，即， 所以，双曲线的离心率为． 故答案为：． 14. Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dominique Cassini（1625－1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，，动点满足．且动点的轨迹为曲线，若和是曲线与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定动点的轨迹为一个双纽线，求出其轨迹方程，得到，由对称性，可考虑在第一象限的情况，因为为定值，所以面积最大时，即点的纵坐标最大，化简，换元得到，，求出纵坐标最大值为1，进而得到面积最大值. 【详解】，，，故， 故动点的轨迹为一个双纽线， 设，因为，所以， 即，， 故动点的轨迹方程为 令得，解得或， 令， 由对称性，可考虑在第一象限的情况， 因为为定值，所以面积最大时，即点的纵坐标最大， ，即， 由求根公式得， 其中，故舍去， 所以，令，则， 故， 因为，所以， 当时，取得最大值，最大值为1， 即的最大值为1，面积最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足，. （1）求数列，通项公式 （2）设数列中满足，求和 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式； （2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，解得， ， ，解得， ， 即，； 【小问2详解】 由（1）得， . 16. 设函数． （1）设函数，求的单调区间； （2）求证：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2） 证明：由（1）得，在时，取得最小值，所以恒成立， 所以在为增函数，又因为， 当时，，所以； 当时，，所以， 当时，， 综上， 【解析】 【分析】（1）先求导得出的解析式，再对函数求导，求出导函数的零点，然后列表得出的单调区间； （2）结合（1）可以判断在为增函数，结合，分、、三类讨论，即可得证. 【小问1详解】 因为，的定义域为， ， 令，得，与在区间上的情况如下： x 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 略 17. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，． （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， （2）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 【答案】（1）适合， （2）2.27元 【解析】 【分析】（1）结合散点图即可判断，然后结合表中数据代入计算，即可得到结果； （2）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【小问1详解】 根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 因为，，所以 ， ， （元）. 18. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直， 所以的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，如图， ， 同理，则， 化简得，则， 所以点在定直线上. （ii）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）（i）由题意得到的斜率互为相反数，构造方程即可求解； （ii）写出直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由抛物线的定义得， 又，所以， 因此，即，解得， 从而抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii），则直线， 即， 线段的长度：，点到直线的距离， 可得的面积为， 因为，且，化简得 ， 令，则，即. 解得或， 由知或， 所以或 所求点的坐标为，或者. 19. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，分别交轴于，点为该部分图象与轴的交点，且与轴的交点为．将绘有该图象的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图象上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）； （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为， 又点， 故连线的斜率连线的斜率， 于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2， 因为，故直线一定交的图象于， ②在平面上，过作平行于的交于，连接， 由，且，可得平面平面， 又平面，从而平面， 综上，可确定存在两个点满足条件，即平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意：，，利用绘有图象的纸片折叠前有，以及折叠后存在关系，列方程组求得和，从而求得，再把代入得出，从而求得函数的解析式.（2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，而，，过点作交轴于，则直线斜率为-2， 因为，故直线一定交的图象于，②在平面上，过作平行于的交于，连接，可证面平面，故可确定存在两个点满足条件； （3）以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设二面角，通过空间向量法求得的余弦值，再利用函数单调性分析即可确定范围. 【小问1详解】 由题意，当绘有图象的纸片折叠前有， 于是① 又当二面角的值为时，可得， 于是，②， 联立（1）（2），解得：，所以， 又与轴的交点为，可得，解得（舍）或，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依图，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设二面角， 于是， 所以， 设平面的法向量， 于是，取，则， 设平面的法向量，于是， 取，则， 结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为， 令 即， 令， 于是， 易知，该函数为定区间上的单调递增函数， 所以，，二面角的余弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校高2022级高考模拟试卷（三） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数（），则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 7. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，． A. 有最小值，且最小值为整数 B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C. 恰有两个极值点 D. 恰有三个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为______. 13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为______． 14. Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dominique Cassini（1625－1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，，动点满足．且动点的轨迹为曲线，若和是曲线与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足，. （1）求数列，通项公式 （2）设数列中满足，求和 16. 设函数． （1）设函数，求的单调区间； （2）求证：． 17. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，． （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， （2）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 18. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 19. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，分别交轴于，点为该部分图象与轴的交点，且与轴的交点为．将绘有该图象的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图象上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $