精品解析：　湖南省永州市新田县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

2025年上期期中质量监测试卷九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方计算后判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 湖南鲁丽绿色新材料科技产业园是新田县非常重要的一个招商引资项目，由“中国企业强”鲁丽集团有限公司投资建设．总投资约亿，其中亿用科学技术法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 4. 如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 根据从正面看到的图形是主视图，可得到答案 【详解】解：从正面看，底层是一个长方形，上层是一个“国”字． 故选：B． 5. 如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的概念， 过点P作，首先由角平分线求出，然后求出，然后证明出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故选：C． 6. 一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用红球的个数除以球的总数即可得解． 【详解】解：∵一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 7. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴山水画所在纸面的面积为， 故选：． 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是14， 故选：D． 9. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 10. “强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（ ） A. 强 B. 国 C. 有 D. 我 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“数独”填字游戏，主要使用了：①唯一候选数法；②唯一数法；③排除法；④摒除法等技巧．解题的关键是综合运用这些技巧来填字． 【详解】根据题意处应填的汉字是“国”．如下图． 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 12. 若式子有意义，则实数m的取值范围是______． 【答案】m≥﹣2且m≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件解题即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：． ∴m≥﹣2且m≠1． 故答案是：m≥﹣2且m≠1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，其中涉及不等式的解法，是基础考点难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为： 14. 已知，在轴上，则点坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握特征是解题的关键． 根据在轴上的点坐标纵坐标为，进行求解即可． 【详解】解：∵在轴上， ， 解得：， ， ． 故答案：． 15. 等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于__________. 【答案】15或18 【解析】 【详解】当7为底时，其它两边都为4，7、4、4可以构成三角形，周长为15； 当7为腰时，其它两边为4和7，4、7、7可以构成三角形，周长为18， 故答案是：18或15． 16. 如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数k的几何意义，如果点在反比例函数图象上与坐标轴构成直角三角形或者矩形，一般是利用反比例函数的值与矩形面积相等，或者是三角形面积两倍的关系． 设，则，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵函数图象位于一、三象限， ∴， ∴取． 故答案为：12． 17. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则________．（答案保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 18. 已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有_______（填序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】利用对称轴方程得到，再利用时，得到，则可对①进行判断；利用时，；时，，得到，则可对②进行判断；利用时，，即，可对③进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点在和之间，则可对④进行判断；利用时，y有最大值得到，然后利用可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵时，，即， ∴，即，所以①错误； ∵时，，即；时，，即， ∴， ∴，所以②正确； ∵时，，即， ∴，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴，，所以④错误； ∵时，y有最大值， ∴， 而， ∴，所以⑤错误． 答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式= ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 21. 学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据信息作答： （1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级； （3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数． 【答案】（1）；； （2） 补全条形统计图 如下： （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，数据的分析，结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题的关键． （1）利用等级的人数与其占比即可运算出总人数，即可求出等级的人数，获取的占比，利用等级的占比即可求出圆心角度数； （2）由（1）中所求的等级人数作图即可；根据中位数的特征求出中位数即可； （3）利用总人数分以上的占比即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的， ∴总人数为：（人） ∴的人数为：（人） ∴ ∴所对应的扇形圆心角的大小是： 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（1）可得：等级的人数为人， ∵总人数为人， ∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值， ∴中位数落在等级； 故答案为：B； 【小问3详解】 解：由题意可得：（人）， 答：成绩不低于分的人数为人． 22. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 23. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 24. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 25. 综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； （3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 【答案】（1） （2）需要钢材长度的最大值为米； （3） 符合条件的灯的列数为或，理由如下： 由已知可知，（米），米， ∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布， ∴若顶部C处安装一列灯,则的两旁还可以各安装（列） 此时安装灯的列数为（列）， 若顶部C处不安装灯,则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米， 此时安装灯的列数为（列）， 综上可知， 符合条件的灯的列数为或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可； （3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的最高点为， 设抛物线解析式为, 把代入得到，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， 则由已知及抛物线的对称性可知，，，，,， ∴， 米，米， 设搭建支架需要钢材的长度为米， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值为， 即需要钢材长度的最大值为米； 【小问3详解】 略 26. 如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题： （1）求证：． （2）求的值． （3）如图2，在上取一点F，使． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：连接OA，∵是的切线， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3）①，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据是的切线，得出，进一步推出，得出，由圆周角定理得，即可得到； （2）根据点A是的中点即条件推出，由（1）得，证明出，即可得到； （3）①判断：，根据等角对等边即可证明；②连接OI，OB，先得出点A，I，O三点共线，进一步求出．设，，利用勾股定理，解得，，，，作，由题意得，进一步证明出，得出，作，利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点A是的中点，∵， ∵四边形ABCD内接于， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①略 ②如上图，连接OI，OB． ∵，， ∴I是BD中点， ∴， ∴点A，I，O三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 设，， 则，， ，即， 解得， ∴，，， 作， ∵点F为角平分线交点， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 作，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线，圆周角定理，三角形相似的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关知识点，添加适当的辅助线，利用相似建立等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期期中质量监测试卷九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 湖南鲁丽绿色新材料科技产业园是新田县非常重要的一个招商引资项目，由“中国企业强”鲁丽集团有限公司投资建设．总投资约亿，其中亿用科学技术法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 13 D. 14 9. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. “强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（ ） A. 强 B. 国 C. 有 D. 我 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：______． 12. 若式子有意义，则实数m的取值范围是______． 13. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_____． 14. 已知，在轴上，则点坐标______． 15. 等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于__________. 16. 如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为______． 17. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则________．（答案保留根号） 18. 已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有_______（填序号）． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据信息作答： （1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级； （3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数． 22. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 23. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 24. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 25. 综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； （3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 26. 如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题： （1）求证：． （2）求的值． （3）如图2，在上取一点F，使． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $