精品解析：福建省三明市大田县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

大田县2024-2025学年第二学期期中质量检测 七年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列各图中，能直接利用“内错角相等，两直线平行”判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行．先判断出与是内错角，然后根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】解：A、与是内错角，∵，∴，故该选项符合题意； B、与是同位角，故该选项不符合题意； C、与不是内错角、同位角，也不是同旁内角，故该选项不符合题意； D、与是对顶角，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 有一种新型病毒的直径约为0.00012毫米，数据0.00012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了对顶角相等，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由对顶角相等得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：D． 5. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 射击百发百中 B. 地球绕着太阳转 C. 通过路口遇到红灯 D. 太阳从西边升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A．射击百发百中是随机事件，不符合题意； B．地球绕着太阳转是必然事件，符合题意； C．通过路口遇到红灯是随机事件，不符合题意； D． 太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点B作BD//l， ∵直线l//m， ∴BD//l//m． ∵∠1=25°， ∴∠4=∠1=25°． ∵∠ABC=45°， ∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°． ∴∠2=∠3=20°． 故选A． 7. 对于与，下列叙述中正确的是（ ） A. 底数相同，运算结果相同 B. 底数相同，运算结果不同 C. 底数不同，运算结果相同 D. 底数不同，运算结果不同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 8. 在《频率的稳定性》这节课中，小东同学通过任意掷一枚质地均匀的骰子，统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则这一结果的是（ ） A. 朝上的点数为1 B. 朝上的点数为偶数 C. 朝上的点数为3的倍数 D. 朝上的点数小于5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率，计算出各个选项中事件的频率即可作出判断． 【详解】A、朝上的点数是5的频率为，不符合试验的结果； B、朝上的点数是偶数的频率为，不符合试验的结果； C、朝上的点数是3的倍数的频率为，基本符合试验的结果． D、朝上的点数小于5的频率为，不符合试验的结果； 故选：C． 9. 若，是正整数，且满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，由，知，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：D． 10. 在同一平面内，以下结论正确的是（ ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确； 故选：A． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，直接运用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若∠A＝50°，则∠A的补角为_______． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【详解】∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°. 【点睛】本题考查补角的定义，掌握定义是解题的关键. 13. 袋子中装有除颜色外完全相同的n个黑球和5个白球，从中随机抽取1个，若选中白球的概率是，则n的值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据概率公式列出方程，再计算即可求出n的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：10． 14. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，其中，分别在边，上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质．根据两直线平行，内错角相等求得，再根据翻折的性质求得，再两直线平行，同旁内角互补即可求出． 【详解】解：长方形对边， ∴， 由翻折的性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，，点是上一个动点，当取最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可． 详解】如图所示， ∵点上一个动点 ∴当时，取最小值 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 16. 已知，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式因式分解和平方差公式分解因式，根据式子特点灵活选用恰当的方法是解题的关键； 首先得到，，然后得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：1． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘除运算，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据同底数幂的乘除运算法则求解即可； （2）首先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式，完全平方公式去括号，合并同类项，得到最简结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式 19. 如图，，的平分线与的平分线交于点，填空： ∵， ① ． 平分， ② ． 平分， ③ ． ④ ． ⑤ ． ⑥ ． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ ． 【答案】； ； ； ； ； ；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的性质，角平分线的定义．根据平行线的性质可得．再结合角平分线的定义可得，即可求证． 【详解】解：∵， ． 平分， ． 平分， ． ． ． ∴． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 故答案为：； ； ； ； ； ；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 20. 利用整式乘法公式计算： （1） （2） 【答案】（1）9600 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，解题的关键是对所求的算式合理的进行变形，再利用乘法公式简便计算． （1）运用平方差公式即可简便计算； （2）将变形为，根据平方差公式即可简便计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满一定金额，就能获得一次摸球的机会．游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个，从该盒子中摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖． （1）求顾客在一次游戏中获得一等奖的概率； （2）商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里添加哪些颜色的球？各颜色的球至少应添加多少个？说明理由． 【答案】（1） （2）最少添加1个黄球，1个白球 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有8种等可能结果，其中摸到红球的结果有1种 ∴（获得一等奖）； 【小问2详解】 解：最少添加1个黄球，1个白球，理由如下： ∵将获得二等奖的概率提高到， ∴至少添加2个球，且其中1个是黄球， ∵同时适当降低获得一等奖的概率， ∴添加的另一个球是白球， ∴最少添加1个黄球，1个白球． 22. 如图，已知，点为上一点，点在上，且． （1）求作点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图和平行线的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据基本作图作出； （2）证明，根据“两直线平移，内错角相等”可得结论． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； 【小问2详解】 解： 理由：如图， 由作图得，， ∴， ∵， ∴ ∴ 23. 学习了多项式除以单项式以后，自然会想到如何进行多项式除以多项式的运算，类比两数相除用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算，其步骤是： ①把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； ②用竖式进行运算； ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，计算：的运算步骤如下： 解： 所以，商式为，余式为． （1）计算：； （2）若的余式为零，求，的值． 【答案】（1）商式为，余式为 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，最后结果余0，即可求得的值． 【小问1详解】 解：， 所以，商式为，余式为； 【小问2详解】 解： ∵余式为零， ∴，， ∴，． 24. 如图，已知，，点在射线上运动（不与点重合），和的角平分线分别与射线交于点，． （1）求度数； （2）判断与间的数量关系，并说明理由； （3）点在射线上，且．点运动时，能否使得？若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由角平分线的定义得； （2）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，从而得，根据三角形外角性质可得结论； （3）可设，，证明出，即，由（1）可知，求出，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵，分别平分， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 解： 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵，分别平分， ∴可设， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 由（1）可知 ∴ ∴． 25. 阅读以下材料，解决问题： 小明向Ai智能对话助手DeepSeek提问“什么是数字黑洞”，得到如下回答：“数字黑洞”是指一类特殊的数学现象，通过特定的运算规则对数字进行反复操作，最终会陷入一个或几个固定的数值或循环中，无法逃脱，类似宇宙中的黑洞． 活动一：卡普雷卡尔常数（6174） 条件：各位数字不全相同的四位数（如2025） 步骤： 1．将四位数的数字重新排列，得到一个最大数和一个最小数（若出现数字0，则0排在第一位，）； 2．用最大数减去最小数，得到新数； 3．对新数重复以上步骤，最终会得到数字6174并循环（，，，，，⋯⋯）． 由上述过程可知，四位数的卡普雷卡尔常数为6174． 小明仿照活动一进行操作：任意写下一个数字（各数位上的数字不全相同），重新排列数字，分别得到一个最大数和一个最小数，用最大数减较小数得到新数，再对新数重复上述步骤． （1）如果小明写下的是一个两位数，请通过整式的运算说明得到的新数是9的倍数； （2）对三位数（各数位上的数字不全相同）按如上步骤进行，请描述每次做差后的新数的特征，并写出三位数的卡普雷卡尔常数； （3）在阅读材料里，四位数2025经过六步操作得到卡普雷卡尔常数（6174），四位数8442也是经过六步操作得到卡普雷卡尔常数．已知任一个四位数（各数位上的数字不全相同）最多经过七步可得到卡普雷卡尔常数，请写出一个需要七步才能得到卡普雷卡尔常数的四位数并验证． 备注：将一个“排序→做差”的过程称为一次“操作”． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）9941，9831，9721，9611，8830，8720，8610，8500等均是经过七次操作得到卡普雷尔常数的四位数，验证过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算． （1）设小明写的两位数十位数字为，个位数字为，且，推出最大数为，最小数为，作差，利用整式的加减运算计算判断； （2）取三位数：352，按照例题操作，即可求解； （3）以9941为例，按照例题操作，即可求解． 【小问1详解】 解：设小明写的两位数十位数字为，个位数字为，且，则这个两位数为． 重新排列后：最大数为，最小数为， 用最大数减最小数可得： 所以小明写下的两位数是9的倍数； 【小问2详解】 解：取三位数：352， 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：． ∴三位数的卡普雷卡尔常数495； 特征：①中间这个是数都是9；②三个数字的和是18； 小问3详解】 解：9941，9831，9721，9611，8830，8720，8610，8500等均是经过七次操作得到卡普雷尔常数的四位数，验证过程如下（以9941为例）： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：； 第六步：； 第七步：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大田县2024-2025学年第二学期期中质量检测 七年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各图中，能直接利用“内错角相等，两直线平行”判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 有一种新型病毒的直径约为0.00012毫米，数据0.00012用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A B. C. D. 5. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 射击百发百中 B. 地球绕着太阳转 C. 通过路口遇到红灯 D. 太阳从西边升起 6. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7. 对于与，下列叙述中正确的是（ ） A. 底数相同，运算结果相同 B. 底数相同，运算结果不同 C. 底数不同，运算结果相同 D. 底数不同，运算结果不同 8. 在《频率的稳定性》这节课中，小东同学通过任意掷一枚质地均匀的骰子，统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则这一结果的是（ ） A. 朝上的点数为1 B. 朝上的点数为偶数 C. 朝上的点数为3的倍数 D. 朝上的点数小于5 9. 若，是正整数，且满足，则正确的是（ ） A B. C. D. 10. 在同一平面内，以下结论正确的是（ ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 若∠A＝50°，则∠A的补角为_______． 13. 袋子中装有除颜色外完全相同的n个黑球和5个白球，从中随机抽取1个，若选中白球的概率是，则n的值是__________． 14. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，其中，分别在边，上，若，则________． 15. 在中，，，点是上一个动点，当取最小值时，________． 16. 已知，，则________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17 计算： （1） （2） 18 化简求值：，其中，． 19. 如图，，的平分线与的平分线交于点，填空： ∵， ① ． 平分， ② ． 平分， ③ ． ④ ． ⑤ ． ⑥ ． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ ． 20. 利用整式乘法公式计算： （1） （2） 21. 某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满一定金额，就能获得一次摸球的机会．游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个，从该盒子中摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖． （1）求顾客在一次游戏中获得一等奖的概率； （2）商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里添加哪些颜色的球？各颜色的球至少应添加多少个？说明理由． 22. 如图，已知，点为上一点，点在上，且． （1）求作点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，判断与的大小关系，并说明理由． 23. 学习了多项式除以单项式以后，自然会想到如何进行多项式除以多项式的运算，类比两数相除用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算，其步骤是： ①把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； ②用竖式进行运算； ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，计算：的运算步骤如下： 解： 所以，商式为，余式为． （1）计算：； （2）若的余式为零，求，的值． 24. 如图，已知，，点在射线上运动（不与点重合），和的角平分线分别与射线交于点，． （1）求的度数； （2）判断与间的数量关系，并说明理由； （3）点在射线上，且．点运动时，能否使得？若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 25. 阅读以下材料，解决问题： 小明向Ai智能对话助手DeepSeek提问“什么是数字黑洞”，得到如下回答：“数字黑洞”是指一类特殊的数学现象，通过特定的运算规则对数字进行反复操作，最终会陷入一个或几个固定的数值或循环中，无法逃脱，类似宇宙中的黑洞． 活动一：卡普雷卡尔常数（6174） 条件：各位数字不全相同的四位数（如2025） 步骤： 1．将四位数数字重新排列，得到一个最大数和一个最小数（若出现数字0，则0排在第一位，）； 2．用最大数减去最小数，得到新数； 3．对新数重复以上步骤，最终会得到数字6174并循环（，，，，，⋯⋯）． 由上述过程可知，四位数的卡普雷卡尔常数为6174． 小明仿照活动一进行操作：任意写下一个数字（各数位上的数字不全相同），重新排列数字，分别得到一个最大数和一个最小数，用最大数减较小数得到新数，再对新数重复上述步骤． （1）如果小明写下的是一个两位数，请通过整式的运算说明得到的新数是9的倍数； （2）对三位数（各数位上的数字不全相同）按如上步骤进行，请描述每次做差后的新数的特征，并写出三位数的卡普雷卡尔常数； （3）在阅读材料里，四位数2025经过六步操作得到卡普雷卡尔常数（6174），四位数8442也是经过六步操作得到卡普雷卡尔常数．已知任一个四位数（各数位上的数字不全相同）最多经过七步可得到卡普雷卡尔常数，请写出一个需要七步才能得到卡普雷卡尔常数的四位数并验证． 备注：将一个“排序→做差”的过程称为一次“操作”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$