4.3【专题】辅助线构建全等三角形的常用方法（1） 课时训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 【专题】辅助线构建全等三角形的常用方法（1） 本专题用于总结与训练《第四章 三角形（北师大2024新版）》中全等三角形判定中添加辅助线的常用方法。4.3的3份课时同步作业中已出现反映本专题模型的题目，可以在学习中对照使用。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 本专题所涵盖的常用辅助线添加方法包括：倍长中线法、截长补短法（截长法、补短法）。每种方法及其子方法均附有基本模型的证明过程、一道经典例题，以及三道难度梯次上升的变式题。在《第五章 图形的轴对称》学习完毕后，我们会继续探讨与总结其他几种判定三角形全等的常用辅助线添加方法。 【题型1】倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在中，，求中线的取值范围。 延长至，使得，连接 ∵为中线 ∴ 在和中 ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 即 故中线的取值范围为 【典例】在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】（3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，即可求解； （3）延长到使，连接，又，即可判定，得到，，而，得到，由，得到，由三角形那么久公式求出的面积，又的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是的中线， ， 又， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 又， ， ． （3）延长到K使，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 【例2】截长补短法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线段。 【基本模型】如图，在中，平分。求证：. 在线段上截取，连接. ∵平分 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（等腰三角形的性质：等角对等腰） ∴ ∵ ∴ 【典例】如图，分别平分过点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形，熟练掌握平行线性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，余角、补角性质，是解题的关键． 在上截取，连结，利用角平分线的性质和平行线性质证明，，得，即得． 【详解】证明：在上截取，连结， ∵分别是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式2】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【难度】0.65 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 【变式3】在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，试猜想线段，和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）通过证明，即可解得； （2）在上截取，先证明，得出，进而推出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：线段，和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形中，，求证：. 反向延长线段，在其延长线上截取，连接。 ∵四边形为正方形 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴（等量代换） ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴. 【典例】四边形中，平分，，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，在线段取一点，使得，然后证明，进而得出答案． 【详解】解：如图，在线段取一点，使得， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点位于时， ∵， ∴， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出相应的图形以及运用截长补短的方法构造全等三角形是解本题的关键． 【变式1】如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE． 【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得，，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG，进而证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，再结合等腰三角形的性质可证明，最后根据全等三角形的性质解题即可； （2）在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明得到，据此方法再证明，最后根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】（1）和是等腰三角形， 延长AB至G，使得BG=CF，连接DG 在和中， BG=CF， ， 在和中， DE=DE， ， （2）在CA上截取CG=BE,连接DG 是等腰三角形， 在和中， CG=BE， 在和中， FD=FD， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质， （1）根据可得答案； （2）延长至点G，使，连接，再证明，可得，进而证明，根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）将旋转至，可知，可证明，接下来可证，即可得出答案. 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）解：结论：.理由如下： 延长至点G，使，连接， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （3）解：将旋转至， 可知， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【变式3】（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见详解（3）210海里 【难度】0.4 【分析】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． （1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 【详解】解：（1） 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵ （2）仍然成立 理由：如图，延长至点，使，连接 ， ， ， 即 ， （3）如图，连接，延长、相交与点， 在四边形中， ， ，符合（2）中的条件． 结论成立 即（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 【专题】辅助线构建全等三角形的常用方法（1） 本专题用于总结与训练《第四章 三角形（北师大2024新版）》中全等三角形判定中添加辅助线的常用方法。4.3的3份课时同步作业中已出现反映本专题模型的题目，可以在学习中对照使用。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 本专题所涵盖的常用辅助线添加方法包括：倍长中线法、截长补短法（截长法、补短法）。每种方法及其子方法均附有基本模型的证明过程、一道经典例题，以及三道难度梯次上升的变式题。在《第五章 图形的轴对称》学习完毕后，我们会继续探讨与总结其他几种判定三角形全等的常用辅助线添加方法。 【题型1】倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在中，，求中线的取值范围。 延长至，使得，连接 ∵为中线 ∴ 在和中 ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 即 故中线的取值范围为 【典例】在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【变式2】【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【变式3】【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】（3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【例2】截长补短法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线段。 【基本模型】如图，在中，平分。求证：. 在线段上截取，连接. ∵平分 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（等腰三角形的性质：等角对等腰） ∴ ∵ ∴ 【典例】如图，分别平分过点E．求证：． 【变式1】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【变式2】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【变式3】在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，试猜想线段，和之间存在的数量关系，并说明理由． 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形中，，求证：. 反向延长线段，在其延长线上截取，连接。 ∵四边形为正方形 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴（等量代换） ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴. 【典例】四边形中，平分，，，则的度数是 ． 【变式1】如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【变式2】阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【变式3】（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$