精品解析：北京市第二中学集团集团2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

北京二中教育集团2024—2025学年度第二学期 初二数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． A卷面成绩90% （满分90分） B过程性评价 （满分10分） 学业成绩总评 =A+B（满分100分） 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，不是最简二次根式，不符合题意； C. ，是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中不能围成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 3. 下列能表示是的函数的是（ ） A. B. ：一个正数，：这个正数的平方根 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； B．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； C．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故是的函数； D．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如图，故不是的函数； 故选C． 4. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间（分钟）满足一次函数关系，下表记录了实验中温度和时间（分钟）变化的部分数据．则加热分钟时水的温度是（ ） 时间/分钟 … … 时间 … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， ， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：D． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图像所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图像所经过的象限，然后再判断即可． 【详解】解：当，正比例函数图像经过第一、三象限，则一次函数图像经过第一、三、四象限，故A选项错误，选项错误； 当，正比例函数图像经过第二、四象限，则一次函数图像经过第一、二、三象限，选项正确、C选项错误． 6. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，根据直角三角的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 8. 早晨，小刚上学途中发现忘带学具，停下往家里打电话，妈妈接到电话后立刻带上学具从家出发沿着同一路线赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中正确的个数是（ ） ①小刚打电话分钟后与妈妈相遇； ②小刚家与学校的距离是米； ③小刚从家到学校一共用了分钟； ④小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度是米/分． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象的实际意义，结合题意正确理解函数图象，利用基本行程问题解决问题．根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可． 【详解】解：①由图知小刚打电话后，5分钟与妈妈相遇，故原说法正确； ②∵小刚始终以米/分的速度步行， ∴小刚与妈妈相遇时，小刚妈妈所走路程（小刚妈妈离家的距离）为（米）， 根据题意，小刚妈妈回家的速度为：（米/分）， ∴小刚妈妈回到家所用的时间为：（分钟）， ∴分钟时，小刚妈妈回到家， ∴小刚家与学校的距离为（米），故原说法正确； ③小刚从家到学校的时间为：（分钟），故原说法正确； ④由②知妈妈回家的速度是米/分，故原说法正确； ∴正确的有①②③④共4个． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 10. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数增减性与系数的关系是解题关键．根据y随x的增大而减小，得出，即可作答． 【详解】解：在一次函数中，y随x的增大而减小， 则， 即， 则k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 12. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 中，，是边上的中线，且，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据直角三角形三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，结合，得到，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，是边上的中线， 得， 又， 故， 解得， 故答案为：5． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形，得到，，于是，结合，得，于是，结合，计算的大小即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据题意由个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以c为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：根据题意：，， 则， ， ， （负值舍去），即， 故答案为：． 16. 如图，在面积是的菱形中，，，分别为，上的点，，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定与性质，连接，过点A作于点H，延长至点，使得，连接，，易证，推出，可得，当共线时，有最小值，最小值为的长，利用菱形的面积等于，求出的长，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，过点A作于点H，延长至点，使得，连接，， ∵菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由作图知是线段的垂直平分线， ∴ ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵菱形的面积是， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共68分，其中第17，18，21-24题每题5分，第19，20，25，26题每题6分第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，属于重要的计算基础题型．先利用完全平方公式计算，化简绝对值、再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 19. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） （3）当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求． （2） 线段垂直平分线的性质；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）根据正方形的判定方法添加即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（线段垂直平分线的性质） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（填推理依据） 【小问3详解】 满足时，菱形是一个正方形，理由： ∵四边形为菱形，， ∴菱形是一个正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数解析式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键； （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标分别为，， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 21. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】证明：四边形是平行四边形，  ，． ，  ，即 ． 又因为在上、在上，结合，可得 ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质，得到边与的关系：平行且相等，结合已知条件，通过线段的和差关系推导和的数量关系，同时根据与平行的性质得到和的位置关系．依据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，完成证明． 【详解】略 22. 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． （1）直接写出与的函数解析式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 【答案】（1） （2）当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克 【解析】 【分析】（1）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． （2）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． 本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得． 【小问2详解】 解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵， 根据题意，得， 解得， 故， 由， 一次函数随x的增大而减小，且x是整数， 故当时，一年内吸收的二氧化碳总量最多， 最大为（千克）， 答：当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克． 23. 探究的图象及性质： （1）绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整； … … … … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）探究函数性质： 当________时，函数有最大值是________； （3）运用函数图象及性质： 根据函数图象，不等式的解集是________． 【答案】（1） ①补充表格如下： … … … … ②补充描出其他点如图所示： ③函数图象如图所示： （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． （1）①将分别代入求出对应函数值即可；②描出①中所求的点；③用曲线连接格点，即可画出函数图象． （2）根据函数图象即可解答； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ②略 ③略 【小问2详解】 解：由函数图象知：当时，函数有最大值是； 【小问3详解】 解：由函数图象知：不等式的解集是． 24. 如图，在中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵中，对角线，相交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）根据中，对角线，相交于点，得到，结合点是的中点，得到，根据得证四边形是平行四边形，根据，，得到，于是得证四边形是矩形； （2）根据三角形中位线性求得，再根据勾股定理求长，从而求得长，于是四边形的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 25. 阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 26. 已知，在正方形中，点O是对角线的中点，点E是上一动点（不与点B，D，O重合），作交直线于点F． （1）如图，当点E在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； （2）直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）①证明：过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：线段，，的数量关系，理由如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）或． 【解析】 【分析】（1）①过点E作于点M，点E作于点N，先证明四边形是正方形，得到，再证明，从而得出结论； ②连接，证明四边形是正方形，再证明，，可证，根据，即可得证． （2）分点E在线段上，点E在线段上两种情况，分别求解求得线段，，的数量关系． 【小问1详解】 ①略； ②略； 【小问2详解】 解：或．理由如下： 当点E在线段上时，过点E作于点G， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 当点E在线段上（不含O，B）时，过点E作于点J，于点G，的延长线交于点H，连接， ∵E在正方形的对角线上， ∴，，， ∴， ∴， 与（1）同理可证：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在正方形中，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图． （1）已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； （2）已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据“率矩形”定义，把将点坐标代入，即可求出k的值，再利用矩形的性质即可求出点坐标，最后利用勾股定理即可求出的长； （2）设和交点为，①根据矩形为“矩形”，直线平分该矩形的面积，联立两直线解析式可得出矩形的对角线的交点坐标为，根据与轴垂直，可得，即可得答案；②根据矩形为“矩形”可知解析式为，与轴正半轴的夹角为，由轴及点A的坐标，即可得出，过点作于，可用表示出、、的长，进而表示出矩形的面积，矩形的面积大于列不等式即可得答案． 【小问1详解】 解：∵点的坐标是， ∴， ∴； ∵“矩形”，点，在直线上， ∴， ∴， ∴，则，解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 设和交点为， ①∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴直线必经过矩形的对角线的交点， 联立两直线解析式得：， 解得：， ∴， ∵、两点连线与轴平行，即垂直轴， ∴， ∴． ②∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∴与轴正半轴的夹角为， ∵对角线与轴垂直，且， 令，解得：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∵矩形的面积大于， ∴ ∴， 当，即时，则， 解得：， 当，即时，则， 解得：， ∴当或时矩形的面积大于． 【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数与几何综合、求一次函数解析式及解一元一次不等式，正确表示出矩形的面积，解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2024—2025学年度第二学期 初二数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． A卷面成绩90% （满分90分） B过程性评价 （满分10分） 学业成绩总评 =A+B（满分100分） 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中不能围成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列能表示是的函数的是（ ） A. B. ：一个正数，：这个正数的平方根 C. D. 4. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间（分钟）满足一次函数关系，下表记录了实验中温度和时间（分钟）变化的部分数据．则加热分钟时水的温度是（ ） 时间/分钟 … … 时间 … … A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 早晨，小刚上学途中发现忘带学具，停下往家里打电话，妈妈接到电话后立刻带上学具从家出发沿着同一路线赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中正确的个数是（ ） ①小刚打电话分钟后与妈妈相遇； ②小刚家与学校的距离是米； ③小刚从家到学校一共用了分钟； ④小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度是米/分． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 10. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的数即可） 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是________． 12. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是__________． 13. 中，，是边上的中线，且，则的长为________． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是________． 15. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是________． 16. 如图，在面积是的菱形中，，，分别为，上的点，，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（共68分，其中第17，18，21-24题每题5分，第19，20，25，26题每题6分第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） （3）当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数解析式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 21. 如图，已知：在平行四边形中，点、分别在边、上，．求证：四边形是一个平行四边形． 22. 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． （1）直接写出与的函数解析式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 23. 探究的图象及性质： （1）绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整； … … … … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）探究函数性质： 当________时，函数有最大值是________； （3）运用函数图象及性质： 根据函数图象，不等式的解集是________． 24. 如图，在中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 26. 已知，在正方形中，点O是对角线的中点，点E是上一动点（不与点B，D，O重合），作交直线于点F． （1）如图，当点E在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； （2）直接写出线段，，的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图． （1）已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； （2）已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $