精品解析：北京市第二中学集团集团2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

北京二中教育集团2024—2025学年度第二学期 初二数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． A卷面成绩90% （满分90分） B过程性评价 （满分10分） 学业成绩总评 =A+B（满分100分） 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，不是最简二次根式，不符合题意； C. ，是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中不能围成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 3. 下列能表示是的函数的是（ ） A. B. ：一个正数，：这个正数的平方根 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； B．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； C．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故是的函数； D．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如图，故不是的函数； 故选C． 4. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间（分钟）满足一次函数关系，下表记录了实验中温度和时间（分钟）变化的部分数据．则加热分钟时水的温度是（ ） 时间/分钟 … … 时间 … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， ， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：D． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数与正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数图象经过第一、三象限， 由得：， ∴一次函数的图象不经过原点，故A、D选项错误，不符合题意； 对于B选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相符合，故B选项符合题意； 对于C选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相矛盾，故C选项不符合题意； 故选：B 6. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，根据直角三角的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 8. 早晨，小刚上学途中发现忘带学具，停下往家里打电话，妈妈接到电话后立刻带上学具从家出发沿着同一路线赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中正确的个数是（ ） ①小刚打电话分钟后与妈妈相遇； ②小刚家与学校的距离是米； ③小刚从家到学校一共用了分钟； ④小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度是米/分． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象的实际意义，结合题意正确理解函数图象，利用基本行程问题解决问题．根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可． 【详解】解：①由图知小刚打电话后，5分钟与妈妈相遇，故原说法正确； ②∵小刚始终以米/分的速度步行， ∴小刚与妈妈相遇时，小刚妈妈所走路程（小刚妈妈离家的距离）为（米）， 根据题意，小刚妈妈回家的速度为：（米/分）， ∴小刚妈妈回到家所用的时间为：（分钟）， ∴分钟时，小刚妈妈回到家， ∴小刚家与学校的距离为（米），故原说法正确； ③小刚从家到学校的时间为：（分钟），故原说法正确； ④由②知妈妈回家的速度是米/分，故原说法正确； ∴正确的有①②③④共4个． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 10. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数增减性与系数的关系是解题关键．根据y随x的增大而减小，得出，即可作答． 【详解】解：在一次函数中，y随x的增大而减小， 则， 即， 则k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 12. 如图，在正方形外侧，以为边作等边，连接，相交于点，则度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 根据正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 中，，是边上的中线，且，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据直角三角形三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，结合，得到，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，是边上的中线， 得， 又， 故， 解得， 故答案为：5． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形，得到，，于是，结合，得，于是，结合，计算的大小即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据题意由个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以c为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：根据题意：，， 则， ， ， （负值舍去），即， 故答案为：． 16. 如图，在面积是的菱形中，，，分别为，上的点，，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定与性质，连接，过点A作于点H，延长至点，使得，连接，，易证，推出，可得，当共线时，有最小值，最小值为的长，利用菱形的面积等于，求出的长，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，过点A作于点H，延长至点，使得，连接，， ∵菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由作图知是线段的垂直平分线， ∴ ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵菱形的面积是， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共68分，其中第17，18，21-24题每题5分，第19，20，25，26题每题6分第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，属于重要的计算基础题型．先利用完全平方公式计算，化简绝对值、再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 19. 在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为、、的三角形； （2）在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为，一个角是； （3）在图3中，以格点为顶点画一个面积为的菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中作菱形，平行四边形和三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据，画出三角形三边即可； （2）利用网格的特点先确定一个的角，再取一边长为3，利用平行四边形的性质即可画出图形； （3）根据菱形的面积为4，利用菱形对角线之积为即可画出图形． 【小问1详解】 解：， 如图所示：三角形为所求： 【小问2详解】 解：如图所示：平行四边形为所求： 【小问3详解】 解：如图所示：菱形为所求： 20. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） （3）当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）根据正方形的判定方法添加即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（线段垂直平分线的性质） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（填推理依据） 故答案为：线段垂直平分线的性质；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问3详解】 满足时，菱形是一个正方形，理由： ∵四边形为菱形，， ∴菱形是一个正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数解析式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键； （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标分别为，， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 22. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23. 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． （1）直接写出与的函数解析式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 【答案】（1） （2）当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克 【解析】 【分析】（1）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． （2）根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得，计算即可． 本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵，根据题意，得． 【小问2详解】 解：根据购买冷杉棵，则购买杨树棵， 根据题意，得， 解得， 故， 由， 一次函数随x的增大而减小，且x是整数， 故当时，一年内吸收的二氧化碳总量最多， 最大为（千克）， 答：当购买冷杉时，一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多为13046千克． 24. 探究的图象及性质： （1）绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整； … … … … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）探究函数性质： 当________时，函数有最大值是________； （3）运用函数图象及性质： 根据函数图象，不等式的解集是________． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． （1）①将分别代入求出对应函数值即可；②描出①中所求的点；③用曲线连接格点，即可画出函数图象． （2）根据函数图象即可解答； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 补充表格如下： … … … … ②补充描出其他点如图所示： ③函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由函数图象知：当时，函数有最大值是； 【小问3详解】 解：由函数图象知：不等式的解集是． 25. 如图，在中，对角线，相交于点，，点是的中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）根据中，对角线，相交于点，得到，结合点是的中点，得到，根据得证四边形是平行四边形，根据，，得到，于是得证四边形是矩形； （2）根据三角形中位线性求得，再根据勾股定理求长，从而求得长，于是四边形的面积为． 【小问1详解】 证明：∵中，对角线，相交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 26. 阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 27. 已知，在正方形中，点是对角线的中点，点是上一动点（不与点，，重合），作交直线于点． （1）如图，当点在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； （2）直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②线段，，的数量关系，见解析 （2）或，见解析 【解析】 【分析】（1）①过点E作于点M，点E作于点N，先证明四边形是正方形，得到，再证明，从而得出结论； ②连接，证明四边形是正方形，再证明，，可证，根据，即可得证． （2）分点E在线段上，点E在线段上两种情况，分别求解求得线段，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①过点E作于点M，点E作于点N， 因为正方形， 所以， 所以四边形是矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以四边形正方形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． ②线段，，的数量关系，理由如下： 连接， 因为正方形， 所以， 所以四边形是矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以四边形是正方形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为正方形， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以， 因为， 所以， 所以， 因为四边形是正方形， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：关系如下或．理由如下： 当点E在线段上时，过点E作于点G， 根据前面的证明，得到四边形是矩形， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为 所以， 所以． 当点E在线段上（不含O，B）时，过E作于点J，于点G，的延长线交于点H，连接， 因为E在正方形的对角线上， 所以，，， 所以， 所以， 与（1）同理可证：， 所以， 所以， 在与中， ， 所以， 所以， 因为，， 所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 在正方形中，， 又， 所以四边形是矩形， 所以， ， 所以． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合，等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质与判定求线段长，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图． （1）已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； （2）已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据“率矩形”定义，把将点坐标代入，即可求出k的值，再利用矩形的性质即可求出点坐标，最后利用勾股定理即可求出的长； （2）设和交点为，①根据矩形为“矩形”，直线平分该矩形的面积，联立两直线解析式可得出矩形的对角线的交点坐标为，根据与轴垂直，可得，即可得答案；②根据矩形为“矩形”可知解析式为，与轴正半轴的夹角为，由轴及点A的坐标，即可得出，过点作于，可用表示出、、的长，进而表示出矩形的面积，矩形的面积大于列不等式即可得答案． 【小问1详解】 解：∵点的坐标是， ∴， ∴； ∵“矩形”，点，在直线上， ∴， ∴， ∴，则，解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 设和交点为， ①∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴直线必经过矩形的对角线的交点， 联立两直线解析式得：， 解得：， ∴， ∵、两点连线与轴平行，即垂直轴， ∴， ∴． ②∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∴与轴正半轴的夹角为， ∵对角线与轴垂直，且， 令，解得：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∵矩形面积大于， ∴ ∴， 当，即时，则， 解得：， 当，即时，则， 解得：， ∴当或时矩形的面积大于． 【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数与几何综合、求一次函数解析式及解一元一次不等式，正确表示出矩形的面积，解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2024—2025学年度第二学期 初二数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． A卷面成绩90% （满分90分） B过程性评价 （满分10分） 学业成绩总评 =A+B（满分100分） 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中不能围成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列能表示是的函数的是（ ） A. B. ：一个正数，：这个正数的平方根 C. D. 4. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间（分钟）满足一次函数关系，下表记录了实验中温度和时间（分钟）变化的部分数据．则加热分钟时水的温度是（ ） 时间/分钟 … … 时间 … … A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 早晨，小刚上学途中发现忘带学具，停下往家里打电话，妈妈接到电话后立刻带上学具从家出发沿着同一路线赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中正确的个数是（ ） ①小刚打电话分钟后与妈妈相遇； ②小刚家与学校的距离是米； ③小刚从家到学校一共用了分钟； ④小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度是米/分． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 10. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是________．（任意写出一个符合条件的数即可） 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是________． 12. 如图，在正方形外侧，以为边作等边，连接，相交于点，则的度数是________． 13. 中，，是边上的中线，且，则的长为________． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是________． 15. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是________． 16. 如图，在面积是的菱形中，，，分别为，上的点，，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（共68分，其中第17，18，21-24题每题5分，第19，20，25，26题每题6分第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． （1）在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为、、的三角形； （2）在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为，一个角是； （3）在图3中，以格点为顶点画一个面积为的菱形． 20. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） （3）当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，坐标分别为，． （1）求直线的函数解析式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 22. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 23. 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升，已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，一棵成年的阔叶树种，例如杨树每年大约吸收二氧化碳千克，一棵成年的针叶树种，例如冷杉每年大约吸收二氧化碳千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买冷杉棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． （1）直接写出与的函数解析式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请问如何购买，才能使这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最多，最多能吸收多少二氧化碳？ 24. 探究的图象及性质： （1）绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整； … … … … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）探究函数性质： 当________时，函数有最大值________； （3）运用函数图象及性质： 根据函数图象，不等式的解集是________． 25. 如图，在中，对角线，相交于点，，点是中点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 26. 阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 27. 已知，在正方形中，点是对角线中点，点是上一动点（不与点，，重合），作交直线于点． （1）如图，当点在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； （2）直接写出线段，，的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图． （1）已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； （2）已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $