精品解析：河南省南阳市部分学校2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题

2023—2024学年高二下学期期中测试卷 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（ ） A. 0.41 B. 4.1 C. 0.3 D. 3 2. 某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示： 推销员编号 1 2 3 工作年限年 3 5 10 推销金额万元 2 3 4 由表中数据算出经验回归方程中的.若第4名推销员的工作年限为7年，则估计他的年推销金额为（ ） A 3.08万元 B. 3.14万元 C. 3.21万元 D. 3.27万元 3. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. －4 B. 4 C. －1 D. 1 5. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. 2025 B. 2023 C. 2021 D. 2019 6. 在数列中，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 7. 过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为 A. x+y+1=0 B. x-y-1=0 C. x+2y+2=0 D. 2x-y-1=0 8. 某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 90 95 100 105 110 销售量 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法不正确的有（ ） A. 变量与负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为13 D. 相应于点的残差为 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数是，且，则__________. 13. 在等比数列中，，，则_______. 14. 我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜欢游泳是否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 总计 男生 10 女生 20 总计 已知这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为. （1）请补充完整上述列联表； （2）判断是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关. 附：，. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3481 5024 6.635 7.879 10.828 16. 已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据. 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 （1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 18. 已知数列满足，． （1）记，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． （1）求值； （2）设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高二下学期期中测试卷 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为（ ） A. 0.41 B. 4.1 C. 0.3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由平均速度的定义求解即可 【详解】， 故选：B 2. 某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示： 推销员编号 1 2 3 工作年限年 3 5 10 推销金额万元 2 3 4 由表中数据算出经验回归方程中的.若第4名推销员的工作年限为7年，则估计他的年推销金额为（ ） A. 3.08万元 B. 3.14万元 C. 3.21万元 D. 3.27万元 【答案】D 【解析】 【分析】利用表格求出，代入经验回归方程，求得，即得回归方程，最后代入年限即可求得. 【详解】由题表中数据得， 由经验回归直线过点.又，所以， 所以，则当时，327， 所以估计第4名推销员的年推销金额为3.27万元. 故选：D. 3. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数几何意义，切线的斜率，判断求解即可． 【详解】由题图知函数是单调递增的， 则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零． 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以． 如图，记，连接． 直线的斜率． 由函数图象知：， 即， 故选：B． 4. 若，则（ ） A. －4 B. 4 C. －1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义直接求解 【详解】因为，所以． 故选：C 5. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. 2025 B. 2023 C. 2021 D. 2019 【答案】A 【解析】 【分析】先分析判断由等差数列产生的子数列也为等差数列，求出其首项和公差，利用等差数列的前项的和的公式计算即得. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以是公差为2的等差数列. 易得，令，得， . 故选：A. 6. 在数列中，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 又，， 所以. 故选：B 7. 过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为 A. x+y+1=0 B. x-y-1=0 C. x+2y+2=0 D. 2x-y-1=0 【答案】B 【解析】 【分析】 设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解. 【详解】=ln x+1， 设切点为，∴, ∴=ln x0+1， ∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0， 所以==1， ∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0， 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设每年偿还x万元，根据题意列出方程求解即可. 【详解】设每年偿还x万元， 则， 所以， 解得． 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可． 【详解】A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故符合题意； 故选：ACD． 10. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 90 95 100 105 110 销售量 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法不正确的有（ ） A. 变量与负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为13 D. 相应于点的残差为 【答案】C 【解析】 【分析】由回归直线可得变量线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，判断A，计算样本中心点坐标，计算求得，判断B;将代入线性回归直线求得的估计值，判断C;求出相应于点的残差即可判断D. 【详解】对于A，由回归直线可得变量 线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，故A正确， 对于B，由表中数据可得，﹐ ，故回归直线恒过点 ， 故 ，解得，故B正确， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，相应于点的残差为，故D正确． 故选：C. 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ） A B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列，得数列为等差数列，用等差数列的性质得出和的大小关系 【详解】解：因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为， 由于，，则且，得，， 由 ，得，， 若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确； 由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确， 因为，所以，所以B不正确， 因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确， 故选：AD 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的性质和前项和公式的应用，属于中档题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数是，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数求导代值，求出，回代入导函数解析式，计算即得. 【详解】由求导得，， 故，解得0， 则有，故. 故答案为：. 13. 在等比数列中，，，则_______. 【答案】9216 【解析】 【分析】 由题可求出，然后利用错位相减法计算即可求出结果. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由题可得 ，解之得，则， 则，① ①得：，② ①②得：， 则， 则. 故答案：9216. 【点睛】方法点睛：一般情况下对于数列，有，其中数列和分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例. 14. 我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及求和表示出，读懂，然后利用分组求和，错位相减法进行求和即可． 【详解】由题意得： ； 所以 ． 令①， 则②， 由①②得 ， 所以， 所以， 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜欢游泳是否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 总计 男生 10 女生 20 总计 已知这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为. （1）请补充完整上述列联表； （2）判断是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关. 附：，. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）见解析 （2）有把握认为喜欢游泳与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表； （2）计算卡方值，和10.828比较即可得出结论． 【小问1详解】 因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为． 其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下： 喜欢游泳 不喜欢游泳 总计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 总计 60 40 100 【小问2详解】因为， 所以有的把握认为喜欢游泳与性别有关． 16. 已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，， 由成等差数列得，即， 而，则，解得， 又，即，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则，，， 所以 . 17. 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据. 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 （1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 【答案】（1）模型中与的相关性较强. （2）（i）；（ii）27.1亿元. 【解析】 【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出，比较大小即可判断； （2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得； （ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量. 【小问1详解】 由题意知 . 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强. 【小问2详解】 （i）由，得，即. 因为， 所以， 故关于的经验回归方程为，即 ,所以. （ii）将代入得. ，故得，解得， 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 18. 已知数列满足，． （1）记，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）令结合已知条件可求，再由已知可得，，两式相减可得是等差数列，即可求通项； （2）分别计算是偶数和是奇数时，利用并项求和求，再检验是否满足，将写成分段的形式即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，，因为，所以， 由， 可得， ， 两式相减可得：， 因为，所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列， 所以， （2）当时， ， 当时， ， 经检验也满足上式， 综上所述： . 19. 已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． （1）求的值； （2）设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可得关于的方程，解方程，即可求得答案； （2）利用导数的几何意义求出点M的坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求得答案. 【小问1详解】 根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，． 两个函数的导函数分别是，， 又，，则， 解得，，． 【小问2详解】 要使抛物线上的点M到直线的距离最短， 则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则， 解得，又因为点M在抛物线上，解得． 所以最短距离即的最小值为点M到直线的距离， 代入点到直线的距离公式得． 即最短距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$