精品解析：江苏省苏州中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省苏州中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据夹角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，又，所以， 即与的夹角是. 故选：C 2. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 3. 函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代换法求解即可. 【详解】由， 得， 即单减区间为， 又，所以单减区间为. 故选：C 4. 河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ） A. 10 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解. 【详解】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为， 则，，所以， 所以（），即小船在静水中的速度大小为. 故选：B. 5. 小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得到，且，在中，利用正弦定理，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】如图所示，设， 因为从两点测得建筑物顶端的仰角分别为， 可得，且， 因为，且， 在中，由正弦定理得，可得， 所以，解得m. 故选：A. 6. 若，，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将和平方后相加，结合的已知值，建立方程求解. 【详解】设，已知，令， 根据三角恒等式可得： 代入已知条件，， 得：， 计算得： ，即. 由于，均为非负数，故，即. 故选：B 7. 已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设分别为的中点，由点为的重心，得到，又由是的外心，得到，根据平面向量的数量积的定义，化简得到，即可求解. 【详解】如图所示，设分别为的中点，连接， 因为点满足，可得点为的重心，所以， 又因为，所以， 又因为是的外心，所以， 因为，则 . 故选：A. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 、不可能垂直 B. 、不可能共线 C. 不可能为 D. 若，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断B选项；利用平面向量的模长公式求出的取值范围，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】平面向量，， 对于A选项，因为，故、不可能垂直，A对； 对于B选项，若，则，所以，所以、可能共线，B错； 对于C选项，由题意可得， 则， 故不可能为，C对； 对于D选项，若，则，， 所以在方向上的投影向量为，D对. 故选：ACD. 10. 已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理和面积公式求出角，利用内角和定理可判断A；利用余弦定理可逐项判断BCD. 【详解】由余弦定理和面积公式可得，，整理得， 因为，所以， 对A，若，则，为直角三角形，A错误； 对B，若，，则由余弦定理得， 易知此时角最大，因为，所以角为锐角，B正确； 对C，若，，则，解得（负根已舍去）， 易知此时角最大，因为，所以角为锐角，C正确； 对D，若，，则，无实数解，D错误. 故选：BC 11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简各函数，然后根据平移变换逐一判断即可. 【详解】， 对A，可将图象向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到的函数图象，故A正确； 对B，，其振幅为，显然通过平移变化无法得到，故B错误； 对C，可将图象向左平移个单位长度后得到的函数图象，C正确； 对D， ， 可将图象向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到的函数图象，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的零点是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，令，即， 所以，解得， 所以函数在上的零点是. 故答案为： 13. 在中，已知，，，是的平分线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】如下图所示： 在中，，，，是的平分线， 由得， 即，解得. 故答案为：. 14. 已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可推出，进而可得，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案. 【详解】已知，则， 又， 那么 展开可得 因为是边长为3的正三角形， 所以，且， 代入上式得， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最大值为． （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合可得出关于的等式，解之即可； （2）由三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据的奇偶性以及的取值范围可得出的值，化简函数的解析式，再结合余弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 因为 ， 其中满足，， 所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象， 则， 由题意可得，，可得， 因为，故，故， 当时，，故. 故当时，函数的最小值为. 16. 如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. （1）试用、表示； （2）求的最小值； （3）若直线交的延长线于点，并有，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于的表达式，再由可得结果； （2）利用向量共线定理、平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量共线定理、平面向量的基本定理可求出的值，代入可得出的值，由此可得出的值. 【小问1详解】 因为是线段上一点，且满足，则， 所以，可得， 因为，故. 【小问2详解】 因为，，其中、， 由（1）可知， 因为、、三点共线，则存在，使得， 所以，可得， 又因为、不共线，所以，，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 小问3详解】 因为，，所以，即， 即，可得， 因为，所以，则， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，所以， 因为、不共线，所以，，则，解得， 由（2）可知，代入可得，故. 17. 在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，用表示出的坐标，进而表示出目标式，换元后利用对勾函数性质求解可得； （2）设，根据已知可得动点的轨迹，然后利用三角代换转化为三角函数最值问题可解. 【小问1详解】 以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则，易知， 则，即， 所以， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，即的取值范围为. 【小问2详解】 设，则由题可得， 即，表示以为圆心，为半径的四分之一个圆. 令， 因为，则有 ， 其中， 因，所以， 所以当时，取得最大值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，的值为,当时，的值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案； （2）求出的范围，利用两角和的正弦展开式化简可得答案； （3）在中，由余弦定理求出 ，在中，由余弦定理求出 或2，进而由余弦定理可得，利用两角和的正弦公式计算可得答案. 【小问1详解】 由，可得， ，则， 即， 在中，因为，所以，，所以. 小问2详解】 因为为锐角三角形，，则，所以. ， 因为，所以，所以， 所以 即的取值范围. 【小问3详解】 在 中，由余弦定理 ， 在中，由余弦定理或2， 又 ， 当时，， 所以，所以. 当时，， 所以，所以， 综上，当时，的值为，当时，的值为. 19. 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）当，且时，求； （2）角，，所对的边分别为，，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】（1）； （2）证明见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，再结合正余弦定理，分别表示，联立求解即可； （2）结合正弦定理可证明； （3）结合向量关系，可求得，进而求其范围即可. 【小问1详解】 当，且时，得， 由余弦定理，得，所以， 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得， 比如， 在中，由正弦定理得，解得， 所以，解得. 【小问2详解】 由，则， 中，由正弦定理得，解得①， 在中，， 由正弦定理得，，得②， 由①②+，即. 由正弦定理，可得 【小问3详解】 由题意有，，则 ， 所以， 因为，解得， 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则与夹角是（ ） A. B. C. D. 2. 中，“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ） A. 10 B. C. D. 12 5. 小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m． A. B. C. D. 6. 若，，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 、不可能垂直 B. 、不可能共线 C. 不可能为 D. 若，则在方向上投影向量为 10. 已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ） A B. ， C. ， D. ， 11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的零点是______． 13. 在中，已知，，，是的平分线，则______． 14. 已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数最大值为． （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 16. 如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. （1）试用、表示； （2）求的最小值； （3）若直线交的延长线于点，并有，求的值． 17. 在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的最大值． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值． 19. 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）当，且时，求； （2）角，，所对的边分别为，，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $